隐函数存在定理

(b) 为使 y f (x) 在 x0 连续, 应要求 F(x, y) 在点 P0 连续.
(c) 为使 y f (x)在 x0可导, 即曲线 y f (x) 在点 P0 存在切线, 而此切线是曲面 z F(x, y) 在点 P0 的切平面与 z 0 的交线, 故应要求 F(x, y)在点 P0 可微, 且
并且 u,v关于 x, y有连续的偏导数.
定理3 设函数 F(x, y,u,v)和 G(x, y,u,v)满足: (i) 在点 P0 (x0 , y0 ,u0 , v0 ) 的某邻域 U (P0 )内, F 和 G 对各变元有连续偏导数; (ii) F (P0 ) 0, G(P0 ) 0;
这表明两曲面的交线在点 (1,1,2)附近能用形 如 z f (x), y g(x) 的一对方程表示.
sin f (x, y) xyf (x, y).
若能, 求 z , z .
x y
隐函数存在定理(方程组情形)
不失一般性, 我们先研究两个方程和四个 变量的方程组
F(x, y,u, v) 0,

G(x,
y,
u,
v)

0
在什么条件下可以确定 u,v是 x, y 的函数
u u(x, y),v v(x, y),
使得当 (x1, x2 ,, xn ) U (Q0 )时, 有
F (x1, x2 ,, xn , f (x1, x2 ,, xn )) 0,
且 y(0)


f
(
x1(0)
,
x2(0)
,,
x
(0 n
)
);
(2) y f (x1, x2 ,, xn ) 在 U (Q0 )内连续;
(3) y f (x1, x2 ,, xn ) 在 U (Q0 )内有连续的偏
(F,G)
Fy (P0 )
Fz (P0 ) 2
4 4 0.
(y, z) P0
Gy (P0 ) Gz (P0 )
2 2
由隐函数组存在定理知, 在点 (1,1,2) 的某一
邻域内可唯一确定隐函数组 z f (x), y g(x),
它们定义在 x0 1 的某邻域内, 满足 f (1) 2, g(1) 1, 和 F(x, g(x), f (x)) 0,G(x, g(x), f (x)) 0.
换句话说, 存在函数 y f (x), 定义在
(x0 , x0 ) 上, 当 x (x0 , x0 ) 时, 有
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, 且 y0 f (x0 ); (2) y f (x) 在 (x0 , x0 ) 上连续; (3) y f (x) 在 (x0 , x0 )上有连续的导
隐函数存在性条件分析
当函数 F(x, y) 满足怎样一些条件时, 由方 程 F(x, y) 0 能确定一个隐函数 y f (x), 并使 该隐函数具有连续、可微等良好性质?
(a) 把上述隐函数y f (x)看作曲面 z F(x, y) 与坐标平面 z 0 的交线, 故至少要求该交集 非空, 即存在 P0 (x0 , y0 ), 满足 F (x0 , y0 ) 0.
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 x2 y2 1 可确定如下两个隐函数
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1],
y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方 程 F(x, y, z) 0 确定的隐函数 z f (x, y).
(y, z) P0
则在 P0 的某邻域内, 方程组
F(x, y, z) 0,G(x, y, z) 0
唯一地确定一组函数 z f (x), y g(x),它们定 义在 x0 的某邻域 I 内且在 I 内可微, 还满足
z0 f (x0 ), y0 g(x0 ),
当 x I 时, 有
例如, F (x, y) (x2 y 2 )2 x2 y 2 0 (双纽线),
在 (0,0) 同样不满足条件(iii), 而在该点无论
多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图). 注2. 必须注意, 定理1是一个局部性的隐
函数存在定理. 例如, 从双纽线图形可以看 出, 除了 (0,0),(1,0),(1,0) 三点以外, 曲线上其 余各点处都存在局部隐函数 y f (x) (这不 难用定理1加以检验).
(ii)
F
(
x1(0)
,
x
(0) 2
,,
xn(0)
,
y
(0)
)

0;
(iii)
Fy
(
x(0) 1
,
x(0) 2
,,
x(0) n
,
y (0)
)

0.
则
(1) 存在 Q0 (x1(0) , x2(0) ,, xn(0) )的一个邻域 U (Q0 ),
使得在点 P0 (x1(0) , x2(0) ,, xn(0) , y (0) )的某邻域内,
隐函数的概念
显函数: 因变量可由自变量的某一表达式 来表示的函数. 例如,
y 1 sin 3 x, z x2 y2 .
隐函数: 自变量与因变量之间的对应关系 是由某一个方程式所确定的函数. 例如,
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 , x3 y 3 z 3 3xyz 0.
注3. 在方程 F(x, y) 0中, x 与 y 的地位是 平等的. 当条件(iii)改为 Fx (x0 , y0 ) 0 时, 将在 点 P0 (x0 , y0 )的局部由方程 F(x, y) 0确定唯一 的隐函数 x g(y), 定理1相应的全部结论均 成立.
例1 方程 cos y sin x exy 能否在原点的某 邻域内确定隐函数 y f (x) 或 x g( y)?
u 1 (F,G) , u 1 (F,G) , x J (x, v) y J ( y, v)
v 1 (F,G) , v 1 (F,G) . x J (u, x) y J (u, y)
例4 问在点 (0,1) 附近是否存在连续可微函 数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足 f (0,1) 1, g(0,1) 1, 且
隐函数的一般定义: 设有一方程
F(x, y) 0,
其中 F : X Y R, X R,Y R.若存在I R, J R, 对任一 x I, 有唯一确定的 y J 与之对应, 使得 (x, y)满足上述方程, 则称由上述方程确 定了一个定义在 I , 值域含于 J 的隐函数. 如 果把此隐函数记为
J (F,G)
3u 2 x
30

0.
(u, v) (0,1,1,1)
y 3v 2
13
( 0 ,1,1, 1)
方程组情形的更一般情形
定理4 课本237页定理17.5 定理5 设 F(x, y, z) 和 G(x, y, z) 满足: (i) 在点 P0 (x0 , y0 , z0 )的某邻域 U (P0 )内, 对各 变元有连续偏导数; (ii) F (P0 ) 0, G(P0 ) 0; (iii) J (F,G) 0.
方程 F(x1, x2 ,, xn , y) 0 唯一地确定一个定义
在U (Q0 )的 n元隐函数 y f (x1, x2 ,, xn ), 满足
y (0)

f
( x1(0)
,
x2(0)
,,
x
(0) n
).
换句话说, 存在函数
y f (x1, x2 ,, xn ), (x1, x2 ,, xn ) U (Q0 ),
u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 ),
和
F(x, y,u(x, y),v(x, y)) 0, G(x, y,u(x, y),v(x, y)) 0, (x, y) D;
(2) u(x, y)和 v(x, y)在 D 内连续; (3) u(x, y)和 v(x, y) 在 D 内有关于 x, y 的连 续偏导数, 且
的一对方程表示,
并求
dz dx
,
dy . dx
解: 令 F(x, y, z) x2 ( y2 z 2 ) 5,
G(x, y, z) (x z)2 y 2 2,
则有 F(1,1,2) 0,G(1,1,2) 0. 显然, F,G 在点
P0 (1,1,2) 的任何邻域内有连续的偏导数, 且
数, 且
f (x) Fx (x, y) . Fy (x, y)
注1. 一方面, 定理1中的条件仅是存在隐
函数的充分条件, 而非必要条件. 例如, 方程
F (x, y) y3 x 0,
1
显然 Fy (0,0) 0, 但仍能确定唯一隐函数 y x 3 . 另一方面, 定理1中的条件又是非常重要的.
导数, 且 f Fxi (x1, x2 ,, xn , y) ,i 1,2,, n.
xi
Fy (x1, x2 ,, xn , y)
例3 设 sin z xyz, 问方程是否能在原点 (0,0,0)的某邻域唯一地确定一个定义在 (0,0) 的某邻域的可微函数 z f (x, y), 使得
[ f (x, y)]3 xg(x, y) y 0, [g(x, y)]3 yf (x, y) x 0.
解:设 F(x, y,u,v) u3 xv y,
G(x, y,u, v) v3 yu x,
则F(0,1,1,1) 0,G(0,1,1,1) 0, F 和G 在点(0,1,1,1) 的附近存在对各变元的连续偏导数, 且
F(x, f (x), g(x)) 0,G(x, f (x), g(x)) 0.
例5 点 (1,1,2)在方程 x2 ( y 2 z 2 ) 5 及
(x z)2 y 2 2 所表示的曲面上, 证明在这点
的一个邻域内, 两曲面的交线能用形如
z

f (x), y
g(x)
(Fx (x0 , y0 ), Fy (x0 , y0 )) (0,0).
隐函数存在定理(单个方程情形)
定理1 设 F(x, y) 满足下列条件: (i) Fx , Fy 在 D :| x x0 | a,| y y0 | b 上连续; (ii) F (x0 , y0 ) 0; (iii) Fy (x0 , y0 ) 0. 则 (1) 0, 在 P0 的某邻域 U (P0 )内, 由方程 F(x, y) 0 唯一地确定了一个定义在 (x0 , x0 )上的隐函数 y f (x), 满足 y0 f (x0 ).
(iii) J (F,G) 0.
(u, v) P0
则
(1) 在点 P0 的某邻域 U (P0 )内, 方程组
F(x, y,u, v) 0,

G(x,
y,
u,
v)

0
唯一地确定一组函数 u u(x, y),v v(x, y), 它
们定义在 (x0 , y0 )的某邻域 D 内, 当 (x, y) D 时, 有 (x, y,u,v) , 且满足
多元隐函数存在定理
定理2 设 F (x1, x2 ,, xn , y)满足下列条件:
(i) 偏导数 Fxi (i 1,2,, n)和 Fy在
D :| xi xi(0) | ai (i 1,2,, n), | y y (0) | b
上连续, 其中 ai 0,b 0;
y f (x), x I, y J,
则成立恒等式 F(x, f (x)) 0, x I. 注1. 隐函数不一定能化为显函数, 也不一
定需要化为显函数. 上面把隐函数仍记为 y f (x), 这与它能否用显函数表示无关.
注2. 不是任一方程 F(x, y) 0都能确定隐 函数. 例如, x2 y 2 1 0.