甘肃高二高中数学期中考试带答案解析

甘肃高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、解答题
1.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下列表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
已知在全班人中随机抽取人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否有﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.
下面的临界值表供参考：
(参考公式：，其中)
2.通过市场调查，得到某产品的资金投入（万元）与获得的利润（万元）的数据，如下表所示：
资金投入23456
利润
（1）画出数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；
（3）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元.
3.已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点为，过椭圆左顶点的直线与椭圆的
另一交点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若与直线交于点求的值；
（3）若，求直线的倾斜角.
4.（1）实数取什么数值时，复数分别是：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
（2）已知，（, 是虚数单位），求的值.
5.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列是等和数列，且公和为5，那么的值为__________．
6.设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，
（1）求的值；（2）求函数的递减区间．
7.已知函数，，.
（1）当时，求的极值；
（2）令，求函数的单调减区间.
二、选择题
1.已知椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则的值为（）
A．B．C．D．
2.复数的模为1，则的值为（）
A．B．C．D．
3.若，则（）
A．3B．-3C．-6D．6
4.下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则.
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质.
C．三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸边形内角和是．D．在数列中，，由此归纳出的通项公式.
5.已知是不相等的正数，，，则的关系是（）
A．B．C．D．6.程序框图输出的含义是（）
A．输出的是原来的，输出的是原来的，输出的是原来的
B．输出的是原来的，输出的是新的，输出的是原来的
C．输出的是原来的，输出的是新的，输出的是原来的
D．输出的均等于
7.双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心离为（）A．B．C．D．4
8.已知关于的方程有实根，则实数满足（）
A．B．C．D．9.已知与之间的一组数据（表一）：
0123
则对的线性回归方程为必过点（）
A. B. C. D.
10.如果且，则（）
A．B．C．6D．8
11.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
12.设：在内单调递增，：，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
三、填空题
1.如图：已知为抛物线上的动点，过分别作轴与直线的垂线，垂足分别为，则
的最小值为_____________.
2.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则
_____________；____________.（答案用表示）
甘肃高二高中数学期中考试答案及解析
一、解答题
1.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下列表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
已知在全班人中随机抽取人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否有﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.
下面的临界值表供参考：
(参考公式：，其中)
【答案】（1）详见解析；（2）有﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
【解析】（1）首先通过全班人中随机抽取人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为，得出喜爱打篮球的共有
人，进而完善此表；（2）通过列联表代入计算公式，得到的值，再查对临界值表，据此回答能否有﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
试题解析：（1）列联表补充如下：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
（2）
有﹪的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
【考点】独立性检验.
2.通过市场调查，得到某产品的资金投入（万元）与获得的利润（万元）的数据，如下表所示：
资金投入23456
利润
（1）画出数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；
（3）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元.
【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）.
【解析】试题分析:（1）根据所给的五对数据，在坐标系中描出对应的点，可得散点图；（2）将数据代入回归直线方程的计算公式计算，可得方程；（3）把所给的的值代入线性回归方程，可得的预报值.
试题解析：
（1）散点图如下图：
（2），
∴，∴
（3）当（万元），（万元）
【考点】回归直线方程．
3.已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点为，过椭圆左顶点的直线与椭圆的
另一交点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若与直线交于点求的值；
（3）若，求直线的倾斜角.
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】（1）依题意列方程组求解；（2）由（1）可知点，设,和直线的方
程, 令求出点的坐标,代入求解；（3）直线的斜率存在,设为,联立方程组后写出根与系数关系,用弦长公式求解.
试题解析：
（1）∵
∴
∴椭圆的方程为
（2）由（1）可知点，设，则
令，解得，既
∴
又∵在椭圆上，则，
∴
（3）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设其为，则
由可得，
由于，则设可得，，
∴
∴解得
∴直线的倾斜角为或.
【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.根与系数关系；3.弦长公式．
【方法点晴】本题第一问是求椭圆的参数,共给出两个条件,联立方程组就可以求出来,注意不要忘记隐含条件；第二问是求向量的数量积,那么关键就是将各个点的坐标求出来,注意点在椭圆上,就满足椭圆的方程；第三问是与弦长有关的问题,需要我们联立方程组写出根与系数关系,结合弦长公式来求.
4.（1）实数取什么数值时，复数分别是：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
（2）已知，（, 是虚数单位），求的值.
【答案】（1）或时，复数是实数；且时，复数是虚数；时，复数是纯虚数；（2）；
【解析】（1）虚部为0时，复数是实数；虚部不为0，复数是虚数；实部为0，虚部不为0时，复数是纯虚数；（2）将进行分母实数化的化简，然后等号两边实部和实部相等，虚部和虚部相等，计算得到.
试题解析：（1）当，即或时，复数是实数；
（2）当，即且时，复数是虚数；
（3）当，且时，即时，复数是纯虚数.
（2）解：∵，
∴.
∴，
∴，∴
【考点】复数的定义
5.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，
这个常数叫做该数列的公和，已知数列是等和数列，且公和为5，那么的值为__________．
【答案】3
【解析】由题意得，所以
6.设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，
（1）求的值；（2）求函数的递减区间．
【答案】（1）
（2）单调递减区间
【解析】（1）根据条件可得在原点处的条件，，，并可求得函数的极小值点，根据极小值为-4，计算可得的值；（2）结合（1）所求得函数的极小值点以及图像，可得到函数的单调递减区间.
试题解析：（1）函数的图象经过点，
∴，又图象与轴相切于点，
∴，得
∴，
当时，，当时，
当时，函数有极小值
∴，得
（2），解得
∴递减区间是
【考点】导数的基本应用
7.已知函数，，.
（1）当时，求的极值；
（2）令，求函数的单调减区间.
【答案】（1）当时，取极大值；（2）详见解析.
【解析】（1）将a=0代入，求出f（x）的导数，从而求出函数的极值；（2）先求出
h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的递减区间．
试题解析：
（1）当时，，故（）
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故当时，取极大值.
（2），令得，，
若，由得，的单调减区间为；
若，①当时，，由得，或，
所以的单调减区间为，；
②当时，总有，故的单调减区间为；
③当时，，由得，或，
所以的单调减区间为，；
综上所述，当，的单调减区间为，；
当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为，；
当时，的单调减区间为.
点睛：本题考查利用导数研究函数的极值和单调性，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想，属中档题．
二、选择题
1.已知椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【解析】∵P是椭圆上的点，∴，又∵轴，∴，
∴，故选C．
【考点】椭圆的标准方程及其性质．
2.复数的模为1，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,所以,解得.
【考点】复数四则运算.
【易错点晴】复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的特点及熟练应用运算技巧，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.
3.若，则（）
A．3B．-3C．-6D．6
【答案】A
【解析】由于,所以是周期为的数列，.
【考点】递推数列求通项.
4.下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则.
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质.
C．三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸边形内角和是．D．在数列中，，由此归纳出的通项公式.
【答案】A
【解析】三段论是演绎推理的一般模式，包含三个部分：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断.所以A是演绎推理,B，C，D是合情推理.
【考点】合情推理与演绎推理.
5.已知是不相等的正数，，，则的关系是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】特殊值法,令,则,所以.
【考点】1.基本不等式；2.特殊值法.
6.程序框图输出的含义是（）
A．输出的是原来的，输出的是原来的，输出的是原来的
B．输出的是原来的，输出的是新的，输出的是原来的
C．输出的是原来的，输出的是新的，输出的是原来的
D．输出的均等于
【答案】A
【解析】按程序框图运行分析可知: 输出的是原来的，输出的是原来的，输出的是原来的,故选A.【考点】算法与程序框图.
7.双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心离为（）A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】抛物线准线为,所以双曲线左焦点为,所以,解得,双曲线离心率为
.
【考点】1.双曲线；2.抛物线.
8.已知关于的方程有实根，则实数满足（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】,方程的两根为
,因为方程有实根,所以.
【考点】1.一元二次方程实数根；2.复数四则运算.
【思路点晴】一元二次方程的两个根为,当为实数时,若,则方程有两个实数根,若,则方程有两个互为共轭复数的根；当是复数的时候,要根据求根公式来求解,注意活用.复数还要注意的就是几个概念的辨析,如纯虚数,是实部为零,虚部不为零；复数的模．
9.已知与之间的一组数据（表一）：
则对的线性回归方程为必过点（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】回归直线方程过样本中心点，其中.
10.如果且，则（）
A．B．C．6D．8
【答案】C
【解析】由题意得，令，则
即，故答案选C.
11.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得且k＜0
则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥-1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象可得，
【考点】导数的几何意义
12.设：在内单调递增，：，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，当时，恒成立，由于，当且仅当，即时等号成立，故对任意的，必有，即恒成立，不能得到，反过来，当时，必有成立，即在上成立，所以p
不是q的充分条件，p是q的必要条件，及p是q的必要不充分条件，故选B.
【考点】充分必要条件
【方法点睛】本题考查了利用导数解决函数恒成立问题，属于中档题型，根据求导后，基本不等式以及函数的单调性可求得恒成立，但不能说明，反过来成立，即小集合能推出大集合，但大集合推不出小集合，用集合的关系判断充分必要条件.
三、填空题
1.如图：已知为抛物线上的动点，过分别作轴与直线的垂线，垂足分别为，则
的最小值为_____________.
【答案】
【解析】设为抛物线的焦点,根据抛物线的定义,有,所以,
的最小值即是由焦点到直线的距离,此距离为,故最短距离为.
【考点】1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.抛物线的定义.
【思路点晴】有关圆锥曲线的最值问题,往往采用定义法来做.本题是抛物线,抛物线的定义是到定点的距离等于到定直线的距离,我们就将题目中的等价转换为,把问题转化为焦点到直线距离就为最小值来求解.在解决圆锥曲线有关题目的过程中,往往是先按题意将图象画出来,然后利用圆锥曲线的定义来解题.
2.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则
_____________；____________.（答案用表示）
【答案】
【解析】；，
注意到,所以
.
【考点】1.数列求和；2.合情推理与演绎推理.
【思路点晴】本题考查了合情推理与演绎推理和数列求和两个知识点.第一步是归纳出乒乓球的放置规律为
;第二部是求和,思路就是先处理最后一项
,观察到它分成两个部分,所以采用分组求和法求和.的公式在课本上是给出来的,需要记忆好．。