吉林省舒兰市高一数学上学期质量监测试题

2017—2018学年度上学期质量监测
高一数学
第Ⅰ卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.每小题只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}3,5,7的非空真子集的个数是 A. 7
B. 8
C. 6
D. 4
2．已知集合{}
(3)(7)0A x x x =∈--≤Z ，{}
2log 2B x x =>，则A B =
A.{}4,5,6
B.{}5,6,7
C.{}5,6
D.{}4,5,6,7
3．长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =3AD =，则长方体1111ABCD A B C D - 的外接球的直径为 A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A.
16
B.
13
C.
23
D. 1
6．一个三角形的直观图是一个边长为1的等边三角形，则原三角形的面积等于
A.
16
B.
C.
2
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BA 与1CC 所成的角为 A. 75°
B. 60°
C. 30°
D. 45°
8．已知3log 25q =，4log 3p =，则lg2=
A.
pq
p q
+ C.
1pq
p q
++ 9．已知0||1a <<，则||22log |2|a a a ，
，的大小关系是
A. 2||2|log |2a a a <<
B. 2||22g |lo |a a a <<
C. 2||
2log ||2a a a <<
D. ||2
22log ||a a a <<
10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使直线l 分别与1,,AB AD AA 三条棱所成
的角都相等，则这样的直线l 有
A. 4条
B. 2条
C. 5条
D. 无数条
11．已知函数()1y f x =-是奇函数，()1
x g x x +=
，且()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，
，(),m m x y ，则12m y y y +++=
A. 0
B. 3m
C. 2m
D. m
12的两个根分别为12,x x ，则
A.120x x <
B.1201x x <<
C.121x x >
D. 121x x =
第Ⅱ卷（非选择题共72分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13
14．已知幂函数a y x =
15．函数()2
231f x x x =-+的零点大于
2
3
的有个．
16．在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的重心，,M N 分别为侧棱
,PA PB 的中点，有下列结论：①PC ∥平面OMN ；②平面PCD ∥平面OMN ；
③OM PA ⊥；④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：解答应写出详细的文字说明、证明过程或演算步骤．
17． （本小题满分10分）在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥底面ABC ，2AC BC ==，
AB =14CC =，M 是棱1CC 上一点．
（Ⅰ）求证：BC AM ⊥；
（Ⅱ）若M 、N 分别是1CC 、AB 的中点，求证：CN
平面
1AB M ．
18． （本小题满分10分）已知函数1
21
2)(+-=x x x f ．
（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义证明：)(x f 是其定义域上的增函数．
19． （本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，
PA AD =，E 为PD 中点．
（Ⅰ）证明：AB
平面PCD ；
（Ⅱ）证明：AE ⊥平面PCD ．
20． （本小题满分10分）已知函数()f x 4log (41)()x kx x =++∈R 为偶函数．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）若方程()f x 4log (2)x
a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围．
21． （本小题满分12分）已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，
且2()()2log (1)f x g x x +=-． （Ⅰ）求()f x 及()g x 的解析式及定义域；
（Ⅱ）如函数()
()2
(2)g x F x k x =++在区间(1,1)-上为单调函数，求实数k 的范围；
（Ⅲ）若关于x 的方程(2)0x
f m -=有解，求实数m 的取值范围．
2017—2018学年度上学期质量监测 高一数学参考答案及评分标准
1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．A 11．D 12．B 13．()1,214．6
y x =15．116．①②③
17．解析：（Ⅰ）∵1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1CC BC ⊥．
（1分）
∵2AC BC ==，AB =
∴ABC 中，2228AC BC AB +==，∴BC AC ⊥． （3分）
∵1AC
CC C =，∴BC ⊥平面11ACC A ．
∵AM ⊂平面11ACC A ，∴BC AM ⊥．
（5分）
（Ⅱ）连接1A B 交1AB 于点P ．
∵四边形11AA B B 是平行四边形，∴P 是1A B 的中点． 又∵M ，N 分别是1CC ，AB 的中点，∴NP
CM ， （7分）
且NP CM =，∴四边形MCNP 是平行四边形， （8分）
∴CN
MP ．又CN ⊄平面1AB M ，MP ⊂平面1AB M ，
∴CN
平面1AB M ．
（10分）
18．解析：（Ⅰ）∵)(x f 为奇函数且210x +≠∴)(x f 的定义域为R ，
（1分）
)(1
21
221211212)(x f x f x x x
x x x -=+--=+-=+-=--- ， （3分）
∴)(x f 为奇函数．
（4分）
（Ⅱ）任取1x 、R x ∈2，且21x x <，
（5分）
)122
1()1221()()(2
121+--+-
=-x x x f x f
（6分）
)121
121(212+-+=x x )
12)(12()22(22121++-=x x
x x ． （7分）
022********<-∴<∴<x x x x x x ， , 又12210,210x x +>+>， （8分）
)()(0)()(2121x f x f x f x f <∴<-∴，．
（9分）
)(x f ∴在其定义域R 上是增函数．
（10分）
19．解析：（Ⅰ）证明：∵在矩形ABCD 中，AB
CD ， （1分）
CD ⊂平面PCD ，
（2分） AB ⊄平面PCD ，
∴AB
平面PCD ．
（3分）
（Ⅱ）∵在等腰APD 中，E 是PD 边中点，∴AE PD ⊥， （4分） 又∵CD AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ， （5分） ∴PA CD ⊥，
（6分） PA AD A =，PA ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，
（7分） AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥，
（8分）
∵PD CD D =点，
（9分） PD 、CD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥平面PCD ．
（10分）
20．解析：（Ⅰ）由题意得()()f x f x -=，
即44log (4
1)()log (41)x
x k x kx -++-=++．
（1分）
化简得4
14log 214
x
x
kx -+=+， （2分）
从而(21)4
1k x
+=，
（3分）
此式在x ∈R 恒成立，∴12
k =-
． （4分）
2)x a a -， 20(1)142(2)(2)
x
x x x
a a a a ⎧⋅->⎪⇒⎨+=-⎪⎩． （5分）
令2x t =，则(2)式变为2
(1)10a t at -++=．只需其有一个正根即可满足题意． ①当1a =
时，1t =-，不符合题意，舍去．
（6分）
②若(2)式有一正一负根，令12,t t 1a >， 经验证满足20x
a a ->，所以1a >．
（8分）
③若(2)式有两相等实根，则24(1)02a a a ∆=--=⇒=±，
当2a =时，则02(1)
a
t a =
<-，此时方程无正根，故2a =舍去．
当2a =-时，则02(1)
a
t a =
>-，且20x a a ->，所以2a =-． （9分）
综上所述：1a >或2a =-． （10分）
21．解析：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，
所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，
因为2()()2log (1)f x g x x +=-①
（1分）
令x 取x -代入上式得2()()2log (1)f x g x x -+-=+，
即2()()2log (1)f x g x x -+=+②
（2分）
联立①②可得，222
1()log (1)log (1)log (11)1x
f x x x x x
-=--+=-<<+， （3分）
2222()log (1)log (1)log (1)(11)g x x x x x =-++=--<<．
（4分）
（Ⅱ）因为2
2()log (1)g x x =-，所以2
()(2)1F x x k x =-+++，
（5分）
因为函数()F x 在区间(1,1)-上为单调函数，
所以
212k +≤-或2
12
k +≥， （6分）
所以所求实数k 的取值范围为：4k ≤-或0k ≥．
（7分）
（Ⅲ）因为21()log 1x f x x
-=+，所以212(2)log 12x x
x f -=+，
（8分）
设1212x x t -=+，则122
11212
x x x
t -==-+++， （9分）
因为()f x 的定义域为(1,1)-，20x >，
所以021x <<，1212x <+<，
111221x <<+，2
01121
x <-+<+． （10分）
即01t <<，则2log 1t <，
（11分）
因为关于x 的方程(2)0x
f m -=有解，则0m <，
故m 的取值范围为(,0)-∞．
（12分）。