甘肃省民勤县第五中学2013届高三上学期数学模拟试卷二Word版含答案

高考模拟试卷（二）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知i 是虚数单位，复数i
i i z -+
++-=
12
221，则=z A.1 B. 2 C. 5 D. 22
2．设B A ,是非空集合，定义A B ⊗={B A x x ∈且B A x ∉}，己知集合
{}02A x x =<<，{}0≥=y y B ，则A B ⊗等于
A ．{}()+∞,20
B ．[)[)+∞,21,0
C ．()()+∞,21,0
D ．{}[)+∞,20 3．下列选项中，说法正确的是
A ．命题“0,0200≤-∈∃x x x R ”的否定是“0,2
>-∈∃x x x R ” B ．命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件 C ．命题“若2
2
am bm ≤，则a b ≤”是假命题
D ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题
4．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅等于
A ．12-
B ．12
C ．32-
D ．3
2
5．已知随机变量X 服从正态分布(
)2
,σ
μN ，且()9544.022=+<<-σμσμX P ，
()6826.0=+<<-σμσμX P ，若1,4==σμ, 则()=<<65X P
A ．0.1358
B ．0.1359
C ．0.2716
D ．0.2718 6．已知ABC ∆，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 sin ac A BA BC <⋅，则
A ．ABC ∆是钝角三角形
B ．AB
C ∆是锐角三角形
C ．ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D ．无法判断
7．如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按
逆时针方向匀速转动（转动角度不超过
90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是
8．平面区域D 由以点)1,3(
),2,5(),3,1(C B A 为顶点的三角形内部及边界组成，若在D 上有无穷多个点(,)x y 使目标函数my x z +=取得最大值，则=m A ． 4 B ．2- C ．12-
或1
4
D ．2-或4 9．设12A A 、分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点，若在椭圆上存在异于12
A A 、的点P ，使得20PO PA ⋅=，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是 A ． ,1)2
B ．[2
C ． (0)2，
D ．(02
， 10．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设
函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为
A ．8
B ．9
C ． 10
D ． 11
11．定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意α，β∈R ，总有()[()()]f f f αβαβ+-+2012=，
则下列说法正确的是
A ．()1f x -是奇函数
B ．()1f x +是奇函数
t
l
C ．()2012f x -是奇函数
D ．()2012f x +是奇函数
12．三棱锥P-ABC 中，顶点P 在平面ABC 上的射影为D 满足0OA OB OC ++=，A 点在侧
面PBC 上的射影H 是△PBC 的垂心，PA =6，则此三棱锥体积最大值是
A ．12
B ．36
C ．48
D ．24
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
13．下图给出的是计算
1111
246
18
++++
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________.
14. 一个空间几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为 . 15. 已知lg 8
(2)x x x
-的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则实数x 的值
为 .
16. 为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小
圆部分种植草坪，周围的圆环分为()N ∈≥n n n ,3等份种植红、黄、蓝三色不同的花. 要求相邻两部分种植不同颜色的花. 如图①，圆环分成的3等份分别为1a ，2a ，3a ，有6种不同的种植方法.
（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 1a ，2a ，3a ，4a ，有
种不同的
种植方法；
（2）如图③，圆环分成的()N ∈≥n n n ,3等份分别为1a ，
2a ，3a ，,n a , 有 种
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）
已知函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
-=6
72sin cos 22
πx x x f . （Ⅰ）求函数)(
x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3
(),2
f A = 2.b c +=求实数a 的最小值.
18．（本题满分12分）
在平面xoy 内，不等式2
2
4x y +≤确定的平面区域为U ，不等式组20
30x y x y -≥⎧⎨+≥⎩
确
定的平面区域为V .
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点．．”. 在区域U 任取3个整点．．，求这些整点．．中恰有2个整点．．
在区域V 的概率； （Ⅱ）在区域U 每次任取1个点．，连续取3次，得到3个点．，记这3个点．在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19．（本题满分12分）
已知数列{}n a ，{}n b 满足：31=a ，当2≥n 时，n a a n n 41=+-；对于任意的正整数
n ， ++212b b
①
②
③
……
n n n na b =+-12．设数列{}n b 的前n 项和为n S .
（Ⅰ）计算2a 、3a ，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足1413<<n S 的正整数n 的集合.
20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA AD =，
AB =，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且
).0(>==λλFA
BF
ED PE （Ⅰ）当1λ=时，证明DF ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为
60？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.
21．（本题满分12分）
如图，已知抛物线2
:4C y x =，过点(1,2)A 作抛物线C 的弦AP ,AQ ． （Ⅰ）若AP AQ ⊥,证明直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅱ）假设直线PQ 过点(5,2)T -，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ? 若
存在，求出APQ ∆的个数？如果不存在，请说明理由．
A B
C
D
P
E
F
22．（本小题满分14分）
已知函数()ln (0)f x x p =
>.
（Ⅰ）若函数()f x 在定义域内为增函数，求实数p 的取值范围；
（Ⅱ）当*
∈N n
时，试判断
1
n
k =与2ln(1)n +的大小关系，并证明你的结论； (Ⅲ) 当2≥n 且*
∈N n 时，证明：2
1
ln ln n
k n k =>∑.
高考模拟试卷（二）参考答案及评分标准 一、选择题：
1.C
2.D
3.C
4.A
5.B
6.A
7.D
8.D
9.A 10.C 11.C 12. B 二、填空题：
13．9?i > 14．8π 15．1
110
x x ==或 16．18 ；3
22(1)n
n --⋅-(3n ≥且)n N ∈
三、解答题：
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666
f x x x x x x πππ=--
=+--
11+
2cos 21+sin(2)226
x x x π
=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6
x π
+
=
22()6
2x k k Z π
π
π∴+
=+
∈ ，解得,6
x k k Z π
π=+
∈.
故x 的取值集合为,6x x k k Z π
π⎧
⎫
=+
∈⎨⎬⎩
⎭
. ………………………………（6分）
（Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π
=+
+=
，化简得 1sin(2).62
A π+=
()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈， ∴ 5266
A ππ+=
， ∴.3π
=A 在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3
cos 22222-+=-+=π
.
由2=+c b ，知1)2
(
2
=+≤c b bc ，即12≥a . ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1…………………………………（12分） 18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题可知平面区域U 的整点为：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(1,1)±±±±±±共有13个，上述整点在平面区域V 的为：(0,0),(1,0),(2,0)共有3个，
∴
21
3103
1315143C C P C ==. ………………………………………（4分） （Ⅱ）依题可得，平面区域U 的面积为2
24ππ⋅=，
平面区域V 与平面区域U 相交部分的面积为2128
2ππ⨯⨯=
. （设扇形区域中心角为α，则11
23tan 1,
11
123α+
==-⨯
得
4πα=，也可用向量的夹角公式求α）.
在区域U 任取1个点，则该点在区域V 的概率为
188ππ=
，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3.
31343(0)(1)8512P X ==-=， 1
2311147(1)()(1)88512P X C ==⋅-=
， 2231121(2)()(1)88512P X C ==⋅-=， 3
3311(3)()8512P X C ==⋅=
，
∴X 的分布列为
∴X 的数学期望：
3431472113
()01235125125125128E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………………………（12分）
（或者：X ～⎪⎭⎫ ⎝⎛81,3B ，故
13()388E X np ==⨯=
）. 19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在n a a n n 41=+-中，取2=n ，得821=+a a ，又31=a ，故.52=a 同样取3=n ，可得.73=a
由n a a n n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减，可得411=--+n n a a ， 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而212=-a a ， 故
{}
n a 是公差为2的等差数列，
∴.12+=n a n ……………………………………………… （6分）
(注：猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分.)
（Ⅱ）在n n n na b b b =+++-1
2122 中，令1=n ，得.311==a b
由()111211222++-+=++++n n n n n a n b b b b 与1
1222n n n b b b na -+++=L (2)n ≥两式
相减，可得34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n
，
化简，得n
n n b 2
3
41+=
+. 即当2≥n 时，12
1
4--=n n n b .
经检验31=b 也符合该式，所以{}n b 的通项公式为1
21
4--=n n n b . ∴()1)2
1
(142173-⋅-++⋅
+=n n n S . ()()n n n n n S )2
1(14)21(54)21(72132112-+⋅-++⋅+⋅=- . 两式相减，得()n n n n S )2
1
(14])21()21(21[432112--++++=- .
利用等比数列求和公式并化简,得1
27
414-+-=n n n S . 可见，对+∈∀N n ，14<n S .经计算，1332
31
14,1316271465>-=<-=S S ，
注意到数列{}n b 的各项为正，故n S 单调递，
所以满足1413<<n S 的正整数n 的集合为{}
.,6N ∈≥n n n 20.（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）当1λ=时，则F 为AB 的中点.
又AB =
，1
2
AF AB =
∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆Rt ACD 中，22
2t a n ===
∠AD AD AF
AD
AFD ，
22tan ===
∠AD
AD
AD CD
CAD ，CAD AFD ∠=∠，∴AC DF ⊥. 又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ， ∴PA DF ⊥.
∴DF ⊥平面PAC ………………………………………………………… （6分） （Ⅱ）设1PA AD ==, 则2==PD AB .连结AE ，则⊥FA 面APD .
∴⊥FA AE . ∵)0(>==λλFA BF ED PE ，∴211λ+=AF ，21λ
λ
+=PE . 在
APE
∆中
，
2
2
2c
o s
A E P A
=+
⋅2
121
=+
-⋅ 设异面直线EF 与CD 所成的角为060，则0
60=∠AFE ， ∴
060tan =AF
AE
,
∴223AF AE
=.
∴21212+-⋅2
23(1)λ=+. 解得5=λ.
∴存在实数5=
λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为 60. …………… （12分）
方法二：（坐标法）
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（Ⅰ）当1λ=时，则F 为AB 的中点，设1PA AD ==, 则2=
=PD AB ，则
(0,0,0A ）
，C ），(0,0,1P ），
(0,1,0D ）
,2
F ）. 2
(
1,0)2
DF ∴=-,(2AC =，
，(0,0,1)AP =. 0DF AC ⋅=，0DF AP ⋅=,,DF AC ∴⊥DF AP ⊥.
∴DF ⊥平面PAC . 6分 （Ⅱ）设1PA AD ==, 则2=
=PD AB ，
∴
(0,0,0A ），C ），(0,0,1P ）,(0,1,0D ）. ∵
(0)PE BF
ED FA
λλ=
=>, ∴ (
,0,01F λ+）, 1(0,,11E λλλ
++）. 1
(,,111FE λλλλ
∴=-
++
+）,(CD =. 2,1FE CD λ
∴⋅=
+ 依题意，有
1=cos ,2FE CD FE CD FE CD
⋅<>=， ∵0λ>
，∴
1
2= ∴λ=.
∴存在实数5=
λ使异面直线EF 与CD 所成的角为 60. …………… （12分）
21.（本小题满分12分）
证明（Ⅰ）设直线PQ 的方程为x my n =+，点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .
由24x my n
y x =+⎧⎨=⎩消x ，得2
440y my n --=. 由0>∆，得20m n +>,124,y y m +=124y y n ⋅=-.
∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ ⋅=，∴1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=.
221212,44
y y x x == ∴1212(2)(2)[(2)(2)16]0y y y y --+++=，
∴12(2)(2)0y y --=或12(2)(2)160y y +++=.
∴ 21n m =-或25n m =+，∵0>∆恒成立. ∴25n m =+.
∴直线PQ 的方程为 5(2)x m y -=+ ，
∴直线PQ 过定点(5,2)-. ………………………………（6分）
（Ⅱ）假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ，由第（Ⅰ）问可知，将n 用25m +代换得
直线PQ 的方程为25x my m =++.设点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y . 由2254x my m y x
=++⎧⎨=⎩消x ，得248200y my m ---=. ∴ 124,y y m += 12820y y m ⋅=--.
∵PQ 的中点坐标为1212(,)22
x x y y ++，即221212(,)82y y y y ++， ∵ 221212()22258
y y y y m m +-=++， ∴PQ 的中点坐标为2(225,2)m m m ++. 由已知得2222251
m m m m -=-++-，即32310m m m ++-=． 设32()31g m m m m =++-，则2()3230g m m m '=++>，
()g m ∴在R 上是增函数.
又(0)10,g =-<(1)40g =>，()g m ∴在(0,1)内有一个零点.
函数()g m 在R 上有且只有一个零点，即方程32310m m m ++-=在R 上有唯一实根． 所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．………………………………… （12分）
22. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）0p >
，函数()ln f x x 的定义域为[1,)+∞
.
1()f x x
'=.
1x ≥在(1,)x ∈+∞恒成立，24(1)x p x -∴≥在(1,)x ∈+∞恒成立. 224(1)1114[()]124
x x x -=--+≤， 1p ∴
≥，∴p 的取值范围为[1,)+∞. ……………………… （4分）
（Ⅱ）当*n N ∈时，1
n k =2ln(
1)n >+. 证明：当*n N ∈时，欲证
1n k =2ln(1)n >+，只需证
*2[ln(1)ln ]()k k k N k
>+-∈. 由（Ⅰ）可知：取1p =，则()(1)
(1)f x f x ≥≥，
而()01=f ，ln x ≥（当1
x =时，等号成立）.
用21()x x +代换x ，得21
ln()(0)x x x +>>，即
2[ln(1)ln ](0)x x x x
>+->， ∴*2[ln(1)ln ]()k
k k N k
>+-∈. 在上式中分别取1,2,3,,k n =，并将同向不等式相加，得1n
k k
=>∑2ln(1)n +. ∴当*n N ∈时，1n k =2ln(1)n >+. …………… （9分）
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知x x ln 1≥-（1x =时，等号成立）.
而当2x ≥
时：1x -≥ 当2x ≥时，1ln x x ->.
设()1ln ,(0,2)g x x x x =--∈，则11()1x g x x x
-'=-
=， ∴()g x 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增， ∴()(1)0g x g ≥=，即1ln x x -≥在(0,2)x ∈时恒成立.
故当(0,)x ∈+∞时，1ln x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）. …… ① 用x 代换1x -得： ln(1)x x ≥+（当且仅当0x =时，等号成立）. …… ②
当*
2,k k N ≥∈时，由①得1ln 0k k ->>，11ln 1
k k ∴>-. 当*2,k k N ≥∈时，由②得 ln(1)k k >+，用11k -代换k ，得11ln(1)11
k k >+--. ∴当*2,k k N ≥∈时，11ln(1)ln 1k k >+-，即1ln ln(1)ln k k k >--. 在上式中分别取2,3,4,,k n =，并将同向不等式相加，得21ln ln1ln n
k n k =>-∑
. 故当2≥n 且*n N ∈时，
21ln ln n k n k =>∑. …………………（14分）。