用函数观点看一元二次方程
3.3从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册
m+n
mn
=
1
2
1
=.
-1
2
1
1
m+n=2,mn=-1.所以m
1
+n
=
探究一
求二次函数的零点
例1已知函数y=x2-x-2a.
(1)若a=1,求函数f(x)的零点;
(2)若y有零点,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,y=x2-x-2.
令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.
即函数y的零点为-1和2.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定最高车
速为多少,才使此处的车流量最大?
知识点拨
从函数观点看一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫作一元二
次不等式.
2.三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0
Δ=0
方程ax2+bx+c=0 有两个相异的实数 有两个相等的实数
提示 不存在.理由如下,结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x1>0的解集为R,则 > 0,
1 + 4 < 0,
017-从函数的角度看一元二次方程
§3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1从函数观点看一元二次方程学习目标 1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程．知识点一二次函数的零点1．定义：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的，也称为二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的零点．2．关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的．提醒零点不是点，指的是一个实数．知识点二一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系1．所有的二次函数都有零点．()2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实根x1，x2，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()3．二次函数y＝x2－1的零点为－1,1.()4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ>0时有两个零点．( )一、求二次函数的零点 例1 求下列函数的零点：(1)y ＝3x 2－x －4； (2)y ＝－4x 2＋4x －1. 解：跟踪训练1 若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则x 1x 2＋x 2x 1的值为( )A ．6B ．4C ．3 D.32二、由二次函数的零点求参数的值例2 若二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的两个零点分别是2和3，则2a ＋b 的值为________． 延伸探究函数y ＝x 2＋mx ＋4m 2－3的两个零点分别为x 1，x 2且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值为________．反思感悟 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及根与系数的关系．跟踪训练2 若二次函数y ＝x 2＋(p －2)x －21的图象与x 轴的交点为A (α，0)，B (β，0)，与y 轴的交点为C . (1)若α2＋β2＝51，求p 的值；(2)若△ABC 的面积为105，求p 的值． 解：三、由二次函数的零点求参数的范围例3 函数y ＝x 2－5x ＋1－m 的两个零点均大于2，则实数m 的取值范围是( ) A.[−214,+∞) B ．(－∞，5) C.[−214,−3) D.(−214,−3)反思感悟 二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，由此列出不等式组进行求解．1．函数y ＝2x 2－3x ＋1的零点是( )A ．－12，－1B ．－12，1 C.12，－1D.12，12．若函数y ＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)3．二次函数y ＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定4．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－3x －4的两个零点，则x 1＋x 2的值是( ) A ．1 B ．－3 C ．3 D ．－45．已知函数y ＝x 2－ax －3a 的一个零点是－2，则它的另一个零点是________．1．知识清单：(1)二次函数零点的概念．(2)一元二次方程的根、二次函数零点以及二次函数图象间的关系． 2．方法归纳：参数分离的方法，转化思想．3．常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错．1．函数y＝x2－8x＋16的零点是()A．(0,4) B．(4,0)C．4 D．82．函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是() A．－1 B．1 C．－2 D．23．若函数y＝x2－4x＋2m没有零点，则m的取值范围为()A．m<4 B．m>2C．m>6 D．m<84．函数y＝(x＋1)x＋x(x－1)＋(x－1)(x＋1)的两个零点分别位于区间() A．(－1,0)和(0,1)内B．(－∞，－1)和(－1,0)内C．(0,1)和(1，＋∞)内D．(－∞，－1)和(1，＋∞)内5．已知方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0有两个正根，则实数m的取值范围是() A．m≤－2 B．m≤－4C．m>－5 D．－5＜m≤－46．设x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则1x1＋1x2的值为________．7．函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝________.8．已知y＝x2＋ax＋b，集合{x|y＝x}＝{4}，将集合M＝{x|y＝4}用列举法表示为________．9．已知函数y ＝x 2－x －2.求： (1)y ＝x 2－x －2的零点； (2)y <0时,求x 的取值范围．10．若函数y ＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则y ＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16C.12和13 D ．－12和－1311．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－m －1的零点，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为( ) A ．－1或2 B ．1或－2 C ．－2 D ．112．函数y ＝(1－k )x 2－2x －1有两个不相等的零点，则实数k 的取值范围是________．13．已知y ＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程y ＝0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( ) A ．a <α<b <β B ．a <α<β<b C ．α<a <b <β D ．α<a <β<b。
用函数观点看一元二次方程
(3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 +b2x+c=m(或 ax +bx+c-m=0) (a≠0).
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 , 则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的
§26.2
用函数观点看一元二次方程
§26.2用函数观点看一元 二次方程（第1课时）
s表示离天台的距离; t表示行驶的时间.
s(km)
120
s= - 60t+120(0≤t ≤2)
0
t(h)
探究新知
高度y(m)与水平距离x(m)
之间具有y=的-关112系x :+2 25x4
请问这位同学的跳远成绩是多少？ 已知函数值y=o，求对应自变量x.
知识巩固:
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿(＿0,-＿5) ＿,与 x轴交于点＿(5＿/2,＿0)＿(-.1,0)
2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x10与x轴的交点坐标是＿(-2＿,0＿) (＿5/＿3,0.)
从函数观点看一元二次方程
答案 不是,二次函数的零点是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.
课前预学
课堂导学
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)当函数
值取零时自变量 x 的值,即二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐
标,也称为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
轴的交点的横坐标.
课堂导学
课前预学
解析
1
1
(1)由 3x -2x-1=0 解得 x1=1,x2=- ,所以函数 y=3x -2x-1 的零点为 1 和- .
2
2
3
3
(2)①当 a=0 时,y=-x-1,由-x-1=0 得 x=-1,所以函数的零点为-1.
②当 a≠0 时,由 ax -x-a-1=0 得(ax-a-1)(x+1)=0,解得 x1=
所以二次函数的解析式为 y=-x2+x+2.
(2)由(1)得 y=- x-
1 2 9
+ ,
2
4
9
5
4
4
所以结合图象可知当 1-k> ,即 k<- 时,方程 ax2+bx+c=1-k 无实根.
课前预学
课堂导学
任务 1: 二次函数的零点
已知 ax2+bx+c=0.
问题 1:当 a<0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根与二次函数 y=ax2+bx+c 的图
2022
必修第一册
第二章
2.2
用函数的观点看一元二次方程教学设计及反思
《用函数的观点看一元二次方程》教学设计新林三中尹春霞一、教材分析：《用函数的观点看一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（人教版）九年级上册，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。
这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。
这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。
本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。
2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
用函数观点看一元二次方程
B.k≥－ 且 k≠0;
7 4
C.k≥－ ;D.k>－ 且 k≠0
7 4
7 4
3、 找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象， 并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是（）. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是（ ）. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形， 长方形的面积与其中一边的长之间的 关系.对应的图象是（ ）.
7、如图 2，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图 象的一部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8， 9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m).
y B A O x
图2
8、 若抛物线 y=x2－(2k+1)x+k2+2， 与 x 轴有两个交点， 则整数 k 的最小值是______.
1 2 11 4
)
1 2 11 4
B.(－ ， )
1 2
5 4
C.( ， )
D.( ， －
1 2
11 ) 4
13、某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么总产值 y(万元)与新增加的投资额 x(万元)之间函数关系为( A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 )
B
图4
图5
6、如图 6 所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分 别在两直角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大， 其边长 x 应为( ) A.
从函数观点看一元二次方程(教学课件)-2024-2025学年高一数学同步备课备考系列
－ ± 2－4
2
2
∆＜0
无零点
2. 画出二次函数 y＝x2－x－2 的图象，并指出该函数的零点.
解：二次函数 y＝x2－x－2 图象如下：
由 x2－x－2＝0 得，x＝－1或x＝2.
故所求零点为－1，2.
3. 求下列二次函数的零点：
(1) y＝(x＋1)(x－1)；
解：令 y＝0，得x1＝－l，x2＝1，
x轴交点的横坐标
函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零点.
归纳总结
二、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象、
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点之间的关系.
(1) 关系 (当a＞0时).
判别式
∆＝b2－4ac
方程
ax2＋bx＋c＝0的
解析 由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6.
即函数的零点是－1，6，
∴函数在区间[1，4]上的零点个数为0.
三、解答题
9.已知二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，求实数a的值.
解
二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，即方程－x2－x＋a＝0有两个相
等的实数根，
∴Δ＝1＋4a＝0.
1
∴a＝－ .
y|
x＝－4＝8a＋1<0，
即a
1
∴a<－ ，
3
1
的取值范围是－∞，－3.
分层练习-巩固
1
0 或－
3
11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝___________.
解析
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(解析版)
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设24b ac ∆=-，它的解按照0∆>，0∆=，0∆<可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数 2y ax bx c=++（0a >）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20(0)ax bx c a ++<>的解集{}12x xx x <<∅ ∅（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集．知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立问题 【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式()273x x +≥-的解集为（ ）A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】()273x x +≥-可变形为22730x x ++≥， 令22730x x ++=，得13x =-，212x =-，所以3x ≤-或21x ≥-，即不等式的解集为(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集．例2．（多选题）（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥ D ．220x x +->【答案】ABC【解析】因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符. 故选：ABC例3．（2022·全国·高一课时练习）解下列不等式： (1)262318x x x -≤-<；(2)1232x x +≥-； (3)2320x x -+>.【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<； （2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--， 所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-， 故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则a b +=（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【解析】不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则方程220ax bx +-=根为2-、1， 则21221ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，解得1,1a b ==，2a b ∴+=，故选：D【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：例5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集为{|1}x m x <<,则=a ______，m =______． 【答案】 3- 3-【解析】由题意知，0a <，且1,x x m ==是关于x 的方程2260ax x a -+=的两个根，∴61m a m a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得33a m =-⎧⎨=-⎩或22a m =⎧⎨=⎩, 又因为0a <，∴33a m =-⎧⎨=-⎩. 故答案为：-3，-3.例6．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集是（ ）A ．{}03x x <<B ．{0x x <或}3x >C ．{}13x x <<D ．{}13x x -<<【答案】A【解析】由()()2112a x b x c ax ++-+>，整理得()()220ax b a x a c b +-++-> ①．又不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<， 所以0a <，且(1)2(1)2b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b ac a⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩②．将①两边同除以a 得：2210b c b x x a a a ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③．将②代入③得：230x x -<，解得03x <<． 故选：A例7．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,,23∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】∵不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3， ∴2和3是方程20ax bx c ++=的两个根.∴02323a ba ca⎧⎪<⎪⎪-=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩，可得5,6b a c a =-=. 20cx bx a ++>可化为2650ax ax a -+>，即26510x x -+<，即()()31210x x --<,解得1132x <<.故选:A.例8．（2022·全国·高一专题练习）设集合{}|1A x x =≥，{}2|0B x x mx =-≤，若{}|14A B x x ⋂=≤≤，则m 的值为_________.【答案】4【解析】当0m =时，{}{}2|00B x x =≤=，显然A B =∅，不符合题意；当0m >时，{}2|0[0,]B x x mx m =-≤=，因为{}|14A B x x ⋂=≤≤，所以必有4m =； 当0m <时，{}2|0[,0]B x x mx m =-≤=，显然A B =∅，不符合题意.故答案为：4m =.例9．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________.【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <； 由根与系数的关系可得：b a αβ+=-，caαβ⋅= ， 所以不等式20cx bx a ++>化为 210c bx x a a++<，即：()210x x αβαβ-++<； 化为()()110x x αβ--<； 又,0αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，例10．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________.【答案】{13x x >-或}1x <-【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<， 所以0a >，且方程20ax bx c ++=得解为121,3x x ==， 则4,3b ca a-==， 所以4,3b a c a =-=，则不等式20cx bx a -+>，即为2340ax ax a ++>， 即23410x x ++>，解得13x >-或1x <-，所以20cx bx a -+>的解集是{13x x >-或}1x <-.故答案为：{13x x >-或}1x <-.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例11．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ） A ．{2|a a <-或2}a ≥ B ．{}22a a -<< C ．{}22a a -<≤ D ．{}2a a <【答案】C【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅， 所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式220ax bx -+>的解集为{}12x x x 或．(1)求实数a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式()20x ac b x bx -++>（其中c 为实数）．【解析】（1）由题意，121,2x x ==为一元二次方程220ax bx -+=， 由韦达定理，可得12212b aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1），不等式()20x ac b x bx -++>，可得()2330x c x x -++>，整理可得：()0x x c ->，当0c 时，不等式的解集为{}0x x ≠； 当0c >时，不等式的解集为{}0x x x c 或； 当0c <时，不等式的解集为{}0x x c x 或．例13．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0， 当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅，③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅， 当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．例14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>． 【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-， ①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ， ③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ， 综上，1a >时，不等式的解集是R ， 1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，例15．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【解析】原不等式可化为：()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ ，令1a a = 可得：1a =±∴当1a <-或01a <<时，1a a <， 1aa x ∴<< ； 当1a =或1a =-时，1a a=，不等式无解； 当10a -<<或1a > 时，1a a>，1x a a ∴<<综上所述，当1a =或1a =-时，不等式解集为∅； 当1a <-或01a <<时，不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当10a -<<或1a >时，不等式解集为1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．例16．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【解析】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a -<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a<-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a >-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a<-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．例17．（2022·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2220x m x m -++<（）的解集中恰有4个正整数，求实数m 的取值范围. 【解析】原不等式可化为(2)()0x x m --<,若2m <，则不等式的解是2m x <<；若2m =，则不等式无解； 即不等式的解集中均不可能有4个正整数，所以2m >； 此时不等式的解是2x m <<；所以不等式的解集中4个正整数分别是3456，，，； 则m 的取值范围是{|67}m m <≤．例18．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．【解析】(1)因为()()230a b x a b <++-，所以()32a b x b a +<-，因为不等式的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，所以0a b +<，且3234b a a b -=-+，解得3a b =． (2)由（1）得30a b =<则不等式()()()222120a b x a b x a -+--+->等价为()()242320bx b x b +-+->，即222430x x b b +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭⎝⎭-<，即()2130x x b ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭+<．因为231b -+<-，所以不等式的解为231x b-+<<-． 即所求不等式的解集为231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭．（说明：解集也可以用a 表示）题型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（ ）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1)∪(1，3]D ．[－1，1)∪(1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-. 故选：D.【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）()()00cx dax b cx d ax b+>⇔++>+ （2）()()00cx dax b cx d ax b+<⇔++<+ （3）()()00cx dax b cx d ax b+≥⇔++>+且0ax b +≠ （4）()()00cx dax b cx d ax b+≤⇔++≤+且0ax b +≠ 例20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式210ax bx ++>的解集为1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求不等式30ax x b +≤-的解集. 【解析】依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根，法1：由韦达定理，11111,2323b a a ∴-+=--⨯=，解得6,1a b =-=-，法2：直接代入方程得，22111022111033a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得6,1a b =-=-， ∴不等式30ax x b +≤-为6301x x -+≤+，即：()()631010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：1x <-或12x ≥， ∴不等式30ax x b +≤-的解集为{1xx <-∣或1}2x ≥.例21．（2022·陕西·长安一中高一期末）不等式22301x x x +-≥+的解集为__________．【答案】[3,1)[1,)--+∞【解析】原不等式等价于223010x x x ⎧+-≥⎨+>⎩或223010x x x ⎧+-≤⎨+<⎩，解得1≥x 或31x -≤<- ， 故答案为：[3,1)[1,)--+∞例22．（2022·全国·高一课时练习）不等式301x x +>-的解集为______________． 【答案】{3x x <-或1}x > 【解析】由301x x +>-，得(1)(3)0x x -+>， 所以3x <-或1x >，故不等式得解集为{3x x <-或1}x >． 故答案为：{3x x <-或1}x >．例23．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）不等式201xx->+的解集为___________. 【答案】(1,2)- 【解析】20(2)(1)01xx x x->⇔-+<+，解得12x -<<，故解集为(1,2)-， 故答案为(1,2)-.例24．（2022·全国·高一课时练习）不等式21131x x ->+的解集是____________. 【答案】1{2}3xx -<<-∣ 【解析】21131x x ->+可化为211031x x -->+， 2031x x +<+，等价于()()2310x x ++<， 解得123x -<<-，所以不等式21131x x ->+的解集是1{2}3x x -<<-∣， 故答案为：1{2}3xx -<<-∣. 例25．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >，(1)求关于x 的不等式220x bx a +-<的解集 (2)求关于x 的不等式11x ax b->-的解集． 【解析】（1）不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >， 所以0513a ab >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩，解得5a =，3b =-；所以不等式220x bx a +-<化为23100x x --<，解得25x -<<； 所求不等式的解集为{|25}x x -<<； （2）1153x x ->+化为11053x x -->+即44053x x -->+，()()1530x x ∴++< 所求不等式的解集为31,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭．题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例26．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：m 3）与天数()*n n N ∈的关系是5000()(10)n S n n t n =+≤，水库原有水量为80000m 3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m 3；水库水量差最大容量23000m 3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求t 的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【解析】(1)由题意得： 1280008000050001(1)23000t --⨯+， 即24t =(2)由（1）得5000(24)(10)n S n n n =+≤设第n 天发生危险，由题意得 5000(24)400012800080000n n n +>-，即2242560n n +->，得8n >．所以汛期的第9天会有危险【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 例27．（2022·全国·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元（x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【解析】设该旅店某晚的收入为y 元，则 *(5010)(20010),y x x x N =+-∈由题意12600y >，则(5010)(20010)12600x x +-> 即210000150010012600x x +->，即215260x x -+<， 解得：213x <<，且*x ∈N所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）例28．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？【解析】因为甲种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：210.10.01s v v =+， 所以由题意可得：2210.10.0112101200030s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或40v <-舍去，即30v >，当40v =时，10.1400.0116002012s =⨯+⨯=>，显然甲种车型没有超速现象；因为乙种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：220.050.005s v v =+，所以由题意可得：2220.050.005102000040s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或50v <-舍去，即40v >，因此乙种车型有超速现象.例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【解析】(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为200平方米，得200y x=， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以20010x x≥+，又0x >， 所以2102000x x +-≤，解得010x <≤， 所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S 平方米，由题意得，200150(26)(4)(26)442484246S x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭56x =时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424806)+平方米题型六：不等式的恒成立问题例30．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,24 B ．(]24,0-C ．(]0,24D ．[)24,∞+【答案】B【解析】由题意，对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立， 当0k =时，不等式即为30-<，不等式恒成立； 当0k ≠时，若不等式2230kx kx +-<恒成立，则满足2Δ240k k k <⎧⎨=+<⎩，解得240k -<<， 综上，实数k 的取值范围为(24,0]-． 故选：B ．【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．例31．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．【解析】方法一（判别式法）关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为22370ax ax a -+-<,由题可得()()223470a a a ∆=--->，解得744a -<<,又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4；方法二（分离变量法）因为0a >，所以关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为2273a x x a--<，因为223993244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以2974a a--<，解得744a -<<，又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4．例32．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________． 【答案】315a -<≤【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<，当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤，故答案为：315a -<≤.例33．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知命题p ：x R ∃∈，210x ax -+<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为_________．【答案】[]22-,【解析】若命题p 是假命题，则210x ax -+≥恒成立， 则2Δ40a =-≤，解得22a -≤≤.故答案为：[]22-,. 例34．（2022·全国·高一专题练习）不等式 2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤【答案】B【解析】当2a =时，原不等式为120-<满足解集为R ；当a ≠2时，根据题意得20a -<，且216(2)4(2)(12)0a a ∆=---⨯-<，解得1a 2-<<． 综上，a 的取值范围为{}|12a a -<≤． 故选：B ．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1515-+⎝⎭【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，2min12x x m ⎛-+<= ⎝，所以212x x -+<1515x -+<<故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．例36．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．例37．（2022·全国·高一课时练习）在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤． 由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥， 又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 【同步练习】一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->， 即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0， ∴2404b a -=，∴24a b =， ∴函数222224a y x ax b x ax x a ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭，其图像的对称轴为2a x =-．∵不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+， ∴方程2204a c x ax ++-=的根为m ，4m +，∴4m m a ++=-，解得42a m --=，22am ∴+=-， 又∵2204a m am c ++-=，∴222442a a c m am m ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭．故A ，B ，C 错误.故选：D ．4．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1a a >- B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集， 不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤，①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤； ②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-， 若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤， 所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤； 综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-． 故选：B ．5．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()2022y x m x n n m =--+<，且(),αβαβ<是方程0y =的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【答案】C【解析】∵α，β为方程0y =的两实数根，∴α，β为函数()()2022y x m x n =--+的图像与x 轴交点的横坐标，令()()1y x m x n =--，∴m ，n 为函数()()1y x m x n =--的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数()()2022y x m x n =--+的图像可由()()1y x m x n =--的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m n αβ<<<. 故选:C.6．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（ ） A ．2275a -<<B ．25a > C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ， 则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D7．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y+=，∴1444()()5259y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥⋅=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<， 故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-.若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<.故选：A. 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【解析】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误； 由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．10．（2022·江苏·高一）已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则该不等式的解集可能是（ ） A ．∅ B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】不等式变形为(2)(1)0x ax -+>，又0a <，所以1(2)()0x x a-+<，12a =-时，不等式解集为空集；12a <-，12x a -<<，102a -<<时，12x a <<-，因此解集可能为ABD ． 故选：ABD ．11．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭ D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误； 对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误； 对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确. 故选：AD.12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ） A ．5- B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<； 所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-. 故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为__________. 【答案】1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.14．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）不等式517x ≥--的解集为__________. 【答案】{|7x x >或2}x ≤ 【解析】因为517x ≥--，所以5107x +≥-，即207x x -≥-， 等价于(2)(7)070x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得7x >或2x ≤，所以不等式的解集为{|7x x >或2}x ≤. 故答案为：{|7x x >或2}x ≤15．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)(]1,02,3-⋃【解析】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ，若1a =，则不等式无解；若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤；若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<．综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]1,02,3-⋃． 故答案为：[)(]1,02,3-⋃.16．（2022·全国·高一课时练习）知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4(,)m m，其中0m <，则44b a b+的最小值为______． 【答案】2【解析】∵2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴0a >,且方程2240ax bx ++=的两根为m ，4m， ∴42bm m a +=-,44m m a ⋅=，∴1a =，∵0m <，∴424b m m=-+≥-， 即2b ≥，当且仅当2m =-时取“=”． ∴44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， ∴44b a b+的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22530x x +->； (2)220x x +-≤； (3)4220x x --≥； (4)21x x >．【解析】（1）由22530x x +->，得()()3210x x +->，解得3x <-或12x >， 所以不等式的解集为{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭.（2）由220x x +-≤，得220x x --≥，()()120x x +-≥， 解得1x ≤-或2x ≥，所以不等式的解集为{1x x ≤-或}2x ≥.（3）由4220x x --≥，得()()22120x x +-≥，解得21x ≤-（舍去）或22x ≥，得2x ≤-2x ≥，所以不等式的解集为{2x x ≤-}2x ≥. （4）由21x x ，得2210xx >，1x >12x -（舍去），所以1x >，所以不等式的解集为{}1x x >.18．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->， 当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 19．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--。
人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计
人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》这部分内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法的基础上进行教学的。
这部分内容主要是让学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程，培养学生运用函数观点解决问题的能力。
教材通过引入函数的概念，让学生理解一元二次方程和函数之间的关系，从而提高学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，包括一元二次方程的解法。
但是，对于如何从函数的角度来理解和认识一元二次方程，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。
2.培养学生运用函数观点解决问题的能力。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解一元二次方程和函数之间的关系。
2.难点：如何引导学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，通过师生互动，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的解法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程。
让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与一元二次方程相关的问题，引导学生运用函数观点解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用函数观点解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了用函数观点看待一元二次方程，还可以用其他方法来理解和解决问题吗？激发学生的思维，培养学生的创新能力。
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。
一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。
而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。
对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。
当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。
而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。
当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。
此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。
具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。
同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。
针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。
4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。
用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程一元二次方程是数学中的重要内容，通过函数的观点来看待一元二次方程可以更加深入地理解其性质和解法。
在本文中，将从函数的角度出发，探讨一元二次方程的定义、特点以及解法，并结合具体例子进行说明。
我们来回顾一下函数的概念。
函数是数学中的基本概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在一元二次方程中，我们可以将自变量视为方程中的未知数，因变量视为方程的解。
通过这种角度，我们可以将一元二次方程看作是一个函数关系。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0。
其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在函数的观点下，我们可以将一元二次方程看作是一个关于x的二次函数。
而二次函数的图象是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负性。
接下来，我们来讨论一元二次方程的特点。
首先，一元二次方程在解的个数上有一些特殊性。
根据韦达定理，一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
一元二次方程在图象上也有一些特点。
根据二次函数的性质，当a 大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，方程的解对应了抛物线与x轴的交点，这些交点被称为方程的根。
根的个数和位置与方程的系数有关，可以通过观察方程的图象来判断方程的解的情况。
我们来探讨一元二次方程的解法。
求解一元二次方程的一种常见方法是配方法。
通过变形、配方和化简，我们可以将一元二次方程转化为完全平方式，从而求得方程的解。
另一种常见的解法是使用求根公式，即利用判别式和一些公式来求解方程的根。
除了这些常见的解法，我们还可以利用图象的性质来求解一元二次方程。
通过观察抛物线与x轴的交点，我们可以直观地得到方程的解。
这种方法在一些特殊情况下尤为有效，例如当方程的系数为整数或有理数时。
通过函数的观点来看待一元二次方程，我们可以更加深入地理解其性质和解法。
用函数观点看一元二次方程.资料重点
边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1
的图象如图所示。
y x2 x 2
y x2 6x 9
y x2 x 1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1. 如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴 有公共点，公共点的横坐标是x0, 那此x么=当x0x就=是x0方时程，函ax数2+的bx值+c是=00的，一因 个根。
o
1 2 3 4t
t1=t2=2
h 20t 5t2 ∴当球飞行2s时，它的高度为20m。
（3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0
那两的你形么间那只间为为么个高能指在球么在求12呢50为时度结出两的为一得mm？什间为吗 呢合为个高什个高么球零？？图什时度么时度ht一？=元从其2二0（上实t次4面就–）∴因方t球我5是1解=为程的t0方们把2(,中-t飞的程42看函=)行，20解4-出数=4高已2×。，值0度知4t-.h达51对h换t＜2不的于成0到，值二即常2所0，：次数.以5求mt函，方2-。时4数程求t=间无0 解，
6、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1从函数观点看一元二次方程课标要求素养要求1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况. 用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养.新知探究从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等.问题你知道竹竿有多长吗？提示设竹竿长为x，则列方程(x－4)2＋(x－2)2＝x2，求方程的根.1.二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.2.二次函数图象、一元二次方程的根与零点之间的关系(当a>0时)判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异实根x1，2＝－b±b2－4ac2a两相等实数x1＝x2＝－b2a没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，2＝－b±b2－4ac2a有一个零点x1＝x2＝－b2a无零点拓展深化[微判断]1.二次函数的零点是图象与x轴的交点.(×)提示零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c一定有零点.(×)提示当Δ＝b2－4ac<0时，没有零点.3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根.(√) [微训练]1.二次函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是________.解析方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝12，故零点为1，12.答案1和1 22.二次函数y＝x2－x＋1有________个零点.解析∵Δ＝1－4＝－3<0，故没有零点.答案0[微思考]二次函数的零点与一元二次方程有何关系？零点是个点吗？提示二次函数的零点即对应一元二次方程的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标.零点不是点，是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零.题型一二次函数零点的判断【例1】判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点.(1)y＝－x2＋2x＋3.(2)y＝x2－x－6.(3)y＝2x2＋3x＋2.解(1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，∵Δ＝4＋4×3＝16>0，∴方程有两个不等实根，得x1＝－1，x2＝3.二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3.(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3.∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3.(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0.∴方程没有实数根，即二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点.规律方法二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.【训练1】判断下列函数零点的个数.(1)y＝x2－7x＋12.(2)y＝x2＋1.(3)y＝3x2＋6x＋3.解(1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，即函数有两个零点.(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点.(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0.∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点.题型二函数零点与参数的值【例2】若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点.解由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴y＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数其余的零点是2.规律方法由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解.【训练2】(1)已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1零点个数为________.(2)若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是()A.－1，16 B.1，－16C.12，13 D.－12，－13解析(1)函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x 轴有两个不同的交点，因而Δ1＝a2－4b>0.对于函数y2＝－bx2＋ax－1，当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，因而y 2＝－bx 2＋ax －1有2个零点.综上，函数y 2＝－bx 2＋ax －1的零点个数为1或2.(2)由2和3是函数的零点，故2＋3＝a ，2×3＝b ，∴a ＝5，b ＝6，则y 2＝6x 2－5x －1的零点为1，－16. 答案 (1)1或2 (2)B题型三 一元二次方程根的分布【例3】 已知一元二次方程x 2＋mx ＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m 的取值范围.解 设y ＝x 2＋mx ＋1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，y |x ＝0＝1>0，y |x ＝2＝4＋2m ＋1>0，0<－m 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2或m ≥2，m >－52，－4<m <0，∴－52<m ≤－2. ∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2.规律方法 解决一元二次方程根的分布问题应注意 (1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图.(2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点的函数值与零的关系. (3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合.(4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列式求解.【训练3】 (1)若函数y ＝x 2＋(1－m )x ＋m －2的一个零点大于0，另一个零点小于0，则实数m的取值范围是________.(2)若关于x 的方程4x 2＋(m －2)x ＋m －5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53∪(5，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53 解析 (1)由题意知方程x 2＋(1－m )x ＋m －2＝0有两个异号的实数根.∴Δ＝(1－m )2－4(m －2)>0，x 1·x 2＝m －2<0，即m <2.(2)设y ＝4x 2＋(m －2)x ＋m －5，依题意得出函数f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(0，2)内，画出函数的大致图象如图所示. 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧y |x ＝－1>0，y |x ＝0<0，y |x ＝2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－（m －2）＋m －5>0，m －5<0，16＋2（m －2）＋m －5>0， 解得－73<m <5，故选B. 答案 (1)(－∞，2) (2)B一、素养落地1.结合二次函数的图象判断一元二次方程根的分布，提升直观想象素养和逻辑推理素养.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点就是方程y ＝0的实数根，也就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标；所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标.注意问题的相互转化.二、素养训练1.函数y ＝x 2＋x ＋3的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 由x 2＋x ＋3＝0得Δ＝1－12<0，∴方程没有实数根，而函数没有零点. 答案 A2.函数y ＝2x 2－5x ＋2的零点是( ) A.(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.(－2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.2，12D.－2，－12 解析 由2x 2－5x ＋2＝0得x 1＝2，x 2＝12.且零点不是点的坐标. 答案 C3.若一元二次方程x 2－4x ＋2k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________. 解析 由Δ＝16－8k ≥0，得k ≤2. 答案 (－∞，2]4.函数y ＝x 2－5x －14的零点是________. 解析 由x 2－5x －14＝0，得x 1＝－2，x 2＝7. 答案 －2和75.判断下列函数是否有零点，若有，求出零点. (1)y ＝x 2－3x －4； (2)y ＝x 2－4x ＋15.解 (1)由y ＝x 2－3x －4＝0，得x 1＝－1，x 2＝4. ∴函数y ＝x 2－3x －4有两个零点为－1和4.(2)由y＝x2－4x＋15＝0，因为Δ＝16－4×15<0，∴方程x2－4x＋15＝0没有实数解，则函数没有零点.基础达标一、选择题1.函数y＝－x2＋x＋2的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0，∴方程有两个实根，即函数有两个零点.答案 C2.已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a 的取值范围是()A.(4，＋∞)B.(－∞，4)C.(－∞，2)D.(2，＋∞)解析∵关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，∴令y＝x2－ax＋3，其图象开口向上，只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4.故选A.答案 A3.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足y|x＝1＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为()A.1B.2C.0D.不能确定解析由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，∴函数的零点有2个.答案 B4.若二次函数y ＝ax 2＋2x ＋1(a ≠0)有一个正零点和一个负零点，则有( ) A.a <0 B.a >0 C.a <－1D.a >1解析 法一 由y ＝ax 2＋2x ＋1(a ≠0)的图象过(0，1)点，要使函数的图象与x 轴的交点分别在y 轴的左右两侧，则a <0.法二 由方程ax 2＋2x ＋1＝0有两相异号实根，设两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，且Δ＝4－4a >0，∴a <0. 答案 A5.若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1，2，则函数y ＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( ) A.1，2 B.－1，－2 C.1，12D.－1，－12解析 1和2是ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴－b a ＝3，ca＝2.则y ＝cx 2＋bx ＋a ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x 2＋b a x ＋1＝a ·(2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，故零点为1，12.答案 C 二、填空题6.函数y ＝2x 2－ax ＋3有一零点为32，则y |x ＝1＝________. 解析 ∵32是函数的零点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－a ×32＋3＝0，∴a ＝5，∴y ＝2x 2－5x ＋3，∴y |x ＝1＝0. 答案 07.已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________. 解析 ax 2＋2ax ＋c ＝0的一个根为1，设另一根为x 0.则1＋x 0＝－2，∴x 0＝－3.答案 －38.函数y ＝x 2－5x －6在区间[1，4]上的零点个数是________. 解析 由x 2－5x －6＝0得x 1＝－1，x 2＝6.即函数的零点是－1，6，∴函数在[1，4]上的零点个数为0. 答案 0 三、解答题9.已知二次函数y ＝－x 2－x ＋a 只有一个零点，求实数a 的值.解 二次函数y ＝－x 2－x ＋a 只有一个零点，即方程－x 2－x ＋a ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1＋4a ＝0.∴a ＝－14.10.已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2且x 1∈(0，1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围.解 因为y ＝ax 2＋2x ＋1有两个零点，则函数的图象过(0，1)且与x 轴有两个交点，又x 1∈(0，1)，x 2∈(－4，－2)，又∵y |x ＝0＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，y |x ＝1＝3a ＋1<0，y |x ＝－2＝1>0，y |x ＝－4＝8a ＋1<0，∴a <－13，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.能力提升11.若函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1有且仅有一个零点，则a ＝________. 解析 当a ＝0时，由y ＝0得－2x －1＝0，即x ＝－12，符合题意； 当a ≠0时，ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0为一元二次方程有且仅有一个根. ∴Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)＝12a ＋4＝0，∴a ＝－13. 答案 0或－1312.若关于x 的方程x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，试说明关于x 的方程x 2＋mx ＋12m ＝1一定有实数根.解∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，∵m<0，∴m2>0，－48m>0，∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根.创新猜想13.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，下列关于x1，x2的式子错误的是()A.x1<2且2<x2<5B.x1>2且x2>5C.x1<2且x2>5D.2<x1<5且x2>5解析令y2＝(x－2)(x－5)，则y1＝y2－1，∴函数y1＝(x－2)(x－5)－1的零点就是函数y2＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图象交点的横坐标.在同一坐标系内画出y2＝(x－2)(x－5)的图象与y＝1的图象如图所示，结合图象知只有C正确.答案ABD14.(多空题)函数y＝x2－mx－2的一个零点是－1，则m＝________，另一个零点是________.解析由y|x＝－1＝1＋m－2＝0得m＝1，∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2.答案1 2。
用函数观点看一元二次方程
26.2 用函数的观点看一元二次方程教学目标：感受二次函数与一元二次方程之间的关系，会判断抛物线与x 轴交点个数，掌握方程与函数之间的转化。
重点、难点：1、 探索函数图象与一元二次方程的关系，理解与x 轴交点。
2、 函数、方程、x 轴交点之间的关系。
3、 运用二次函数及其图象，性质解决方程的根。
教学过程：一、 复习回顾解方程：1、022=-+x x 2、0962=+-x x 3、012=+-x x回顾复习解一元二次方程的过程中，问：在不求解情况下，可以用什么方法来知方程根的情况呢？（此处可让学生独立思考，点名回答）总结出：一元二次方程：()002≠=++a c bx ax 可以用ac b 42-=∆这个判别式来判断根的情况。
（适当的让学生复习出求根公式）问：那函数()02≠++=a c bx ax y 与方程之间的关系是如何呢？这就是我们今天要学习的方法……用函数观点看一元二次方程。
二、 解读探究，新课新授（用小黑板展示题目）探究：以40m ／s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t (单位：s) 之间具有关系：2520t t h -=问：⑴球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ ⑵球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？ ⑶球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ⑷球从飞出到落地用多少时间？分析：在现实问题中没存在坐标系，函数的图形也无法确定顶点。
在这可加上坐标后，让学生了解把现实生活搬到纸上可以更好的分析问题。
球的高度与时间之间的关系是：2520t t h -=二次函数的解析式，存在两个变量的关系。
（1） 当h=15m 时，变成252015t t -=关于t 的二次方程。
求解方程：11=t 32=t 。
表示当1s 和3s 时球达到了15m 。
为何有两个呢？（抛物线关于对称轴对称）⑵当h=20m 时，代入得到252020t t -=的方程，解得221==t t 到达2s 时达到20m 高。
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用函数观点看一元二次方程—知识讲解（提高）撰稿：张晓新 审稿：杜少波【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac=-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=a <△＝0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-a <△＜0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）a <要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点诠释：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12bx x a+=-，12c x x a =．∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点诠释：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点1. 已知抛物线22(1)423y k x kx k =+++-．求：(1)k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与x 轴没有交点．【总结升华】根据抛物线与x 轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与x 轴的交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．特别提醒：易忽视二次项系数2(k+1)≠0这一隐含条件．【变式】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根；（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.类型二、利用图象法求一元二次方程的解2. 利用函数的图象，求方程组的解.【总结升华】可以通过画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用3. 已知关于x 的二次函数22(21)34y x m x m m =--+++．(1)探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数为2，1，0．(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，且22125x x +=与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式．【变式】已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式． 4. 已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点(1，0)，一次函数图象经过原点和点(1，-b)，其中a ＞b ＞0且a 、b 为实数．(1)求一次函数的表达式(用含b 的式子表示)； (2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，求12||x x -的范围．【总结升华】两函数图象的交点个数−−−−→转化为两函数解析式联立得到的方程组的解的组数y−−−−→消去转化为一元二次方程的根的情况．当△＞0时，两函数的图象有两个不同的交点；当△＝0时，两函数的图象只有一个交点；当△＜0时，两函数图象没有交点．(1)把(1，-b)代入y kx =即可．(2)要说明两函数图象交于不同的两点可转化为22y kxy ax bx =⎧⎨=+-⎩有两组不同的解y−−−→消去可转化为一元二次方程有两个不同的实根，即△＞0．(3)利用根与系数的关系。
表示出12||x x -的表达式，然后求范围．二次函数的概念——巩固练习（基础）【巩固练习】 一.选择题1．如图，表示y 是x 的函数图象是（ ）2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（ ） A ．-19 B ．-20 C ．-21 D ．-223. 在函数131y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．13x <B ．13x ≠-C ．13x ≠D ．13x >4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（ ）A ．(9)(09)S x x x =-<<B ．(9)(09)S x x x =+<≤C ．(18)(09)S x x x =-<≤D ．(18)(09)S x x x =+<<5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（ ）6. 下列函数中是二次函数的有（ ）个.（1）3y=x(x-1)；（2)y=3x(2-x)＋3x 2；（3)y=x 4＋2x 2＋1；（4)y=2x 2＋3x+1 A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）． 8．当k=____________时，函数1)1(2+-=+kkx k y 为二次函数？9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为x 厘米，则它的面积)(2cm y 与x )(cm 之间的函数解析式y=____________. 10.当x________________时，函数23y x x =+--有意义.11.将(23)(1)3y x x =+--化成二次函数的一般式是：________________.12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________________. 三.解答题13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元. （1）写出年产值y (万元)与年数x 的函数关系； （2）画出函数图象；（3）求计划7年后的年产值.14. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量m （件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系式m=162-3x ，求商场销售这种商品的日销售利润y （元）与每件商品的销售价x 元之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍).（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. （2）设该宾馆每天的利润为w 元，请写出w 关于x 的函数关系式. 类型一、函数的相关概念1、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数. 举一反三：【变式】下列等式中，y 是x 的函数有（ ）个. 22320,1,,||,||x y x y y x y x x y -=-====A.1B.2C.3D.4 2、求出下列函数中自变量x 的取值范围. （1）．52+-=x x y（2）．423xy x =- （3）．23y x =+（4）．21xy x =- （5）．312y x =- （6）．32x y x +=+ 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.3、若y 与x 的关系式为2-+4+5y x x =，当x ＝2时，y 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 类型二、函数的三种表示方法4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．t/时 0 1 2 345… y/米1010．0510．1010．15 10．20 10．25…(1)由记录表推出这5小时中水位高度y （米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、二次函数的概念5、下列函数中，是关于x 的二次函数的是__________________(填序号)．(1)y ＝-3x 2；(2)21y x x =+；(3)y ＝3x 2-4-x 3； (4)2123y x =--；(5)y ＝ax 2+3x+6； (6)223y x x =++．【思路点拨】抓住二次函数的定义进行判断：自变量的最高次数为2，二次项系数不为0.【总结升华】判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个特征： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意含字母的二次项系数是否为0． 举一反三：【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A.22x y -= B.xx y 12-= C.22)2(x x y --= D.123+-=x x y 【变式2】如果函数232(3)1m m y m x mx -+=-++是二次函数，求m 的值．。