函数y=Asin(ωx+φ)的图像画法

技法点拨
函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像画法
■赵东波
摘要：作出函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像是我们研究三角函数的图像和性质的前提和基础。

在高中数学教学中，我们要注重培养学生作图的能力，结合图形采用数形结合的思想方法解决三角函数的有关问题，从而有必要让学生掌握高效快捷的作图方法“一笔作图法”。

“一笔作图法”充分研究了函数y ＝A sin （ωx ＋φ）中的A 、ω和φ三个参数共同对图像形状的影响作用，是一种快捷有效的作图方法。

关键词：函数；作图；高效；本质
一、关于函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像作图的常用基本方法关于函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像，作图的基本方法有“五点作图法”和“变换法”这两种基本的作图方法，对于形如y ＝A sin （ωx ＋φ）的函数，其中（A >0，ω>0）时，我们通过观察研究函数y ＝A sin （ωx ＋φ）中的三个参数A 、ω和φ，其中ω决定着函数图像的周期，φ决定着图像的左右平移，A 为函数的振幅，决定着函数的最大（小）值。

二、“一笔作图法”作图的基本方法步骤
函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像向左还是向右，实际平移了多少个单位，是由ω和φ共同决定的，由此函数图像的实际平移
量公式为|φ|
ω
，实际平移量公式表示函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图
像向左还是向右实际平移了|φ|
ω
个单位。

图像到底是向左平移
还是向右平移，是由φ的正负决定的。

当φ为正数时，图像实
际向左平移了个|φ|
ω
单位；当φ为负数时，图像实际向右平移了
|φ|
ω
个单位。

当（A >0，ω>0）时，y ＝A sin （ωx ＋φ）在一个周期内的图像的单调性是“增减增”的类型。

通过研究A 、ω和φ这三个参数，我们可以归纳出一个更快捷有效的作图方法，这个方法称为“一笔作图法”，通俗的说就是“一笔”直接画出函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）的图像。

第一步：求出周期T 和实际
平移量|φ|
ω
；第二步：确定图像实际是向左还是向右实际平移了
|φ|
ω个单位；第三步：确定一个周期图像的起点位置点A 的坐标A （-φω
，0）；第四步：“一笔”作图画出函数y ＝sin （ωx ＋φ）在一个
周期上的图像，并确定一个周期图像的终点位置点B 的坐标B （-φ
ω
＋T ，0）；第五步：将一个周期图像上关键点的横坐标和纵坐标补充完整；第六步：将所得一个周期的图像，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）在R 上的图像．
三、“一笔作图法”作图的基本原理
“一笔作图法”的理论依据是，我们无论怎么画，这个函数
的周期是2π
|ω|
这一定值。

既然周期是固定不变的，那么一个周
期内的图像就是从起点到终点单调性是“增减增”类型的图像。

其次，就是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）这一个周期的起点位置点A 该如何确定，关于起点A 位置的确定，我们可以类比y ＝sin x 在一个基本周期的起点为（0，0）点，在这个点的基础上通过平移变换φ和周期变换ω的共同作用下就得到了函数y ＝A sin （ωx ＋
φ）的图像，一个基本周期的起点位置A 点的横坐标为－φ
ω
，为
什么起点位置A 点的横坐标为－φ
ω呢？因为φ决定着图像的
左右平移，ω与周期成反比，所以|φ|
ω
为实际平移量公式。

对于
三角函数图像的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，已知ω>0，所以y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像在一个周期的起点
位置A 点的坐标就为A （－φ
ω
，0）。

只要确定了起点位置A 点，
那么终点B 的位置就唯一确定了。

因为一个周期是一个定值，
所以一个周期图像的终点位置B 点的坐标为B （－φ
ω
＋T ，0）。

然后用平滑的曲线连接起点A 和终点B ，按照正弦函数y ＝sin x 的图像在一个周期内的走势“增减增”类型就可以画出函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）的图像。

“一笔作图法”这一作图方法经过推广，我们还可以归纳得出对于函数y ＝A cos （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）的图像的画法，按照余弦函数y ＝cos x 的图像在一个周期内的走势“先减后增”类型，结合“一笔作图法”作图的基本原理，就可以画出函数y ＝A cos （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）的图像。

采用“一笔作图法”作图的原理是充分研究了函数y ＝A sin （ωx ＋φ）中A 、ω和φ这三个参数共同对图像形状的影响作用，确定函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）图像的周期T 和实际
平移量|φ|ω，确定图像实际是向左还是向右实际平移了|φ|
ω
个单
位，然后确定一个周期图像的起点位置点A （－|φ|
ω
，0）并“一笔”
作图画出函数y ＝sin （ωx ＋φ）在一个周期上的图像，从而一个
周期图像的终点位置点B （－φ
ω
＋T ，0）是唯一确定的，最后将
所得一个周期的图像按周期向两侧扩展可得y ＝A sin （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）在R 上的图像。

这种作图方法为我们研究三角函数的图像和性质提供了的前提和基础。

（作者单位：新疆新源县第二中学）
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