浙江省平阳中学2015年自主招生数学试卷(含答案)

A
B
综合能力测试试卷
说明：1、本卷满分200分，其中数学、科学各80分，语文、英语各20分；
2、本卷考试时间150分钟，其中数学、科学各50分钟，语文、英语各25分钟。

3、请用钢笔或圆珠笔在答题卷．．．的密封区填上毕业学校、姓名、准考证号、考试科目和座位号。

请勿遗漏。

4、全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

答题时，请用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷．．．相应的位置上，写在试题卷上无效．．．．．．．．。

数学试卷
一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

）
1、实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）
A 、0a b +>
B 、0a b -<
C 、0ab >
D 、
0a
b
< 2、无论m 为何实数，直线y ＝2x ＋m 与直线y ＝－x ＋3的交点都不可能在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
3、已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0； ②b ＞a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ），（m ≠1的实数）其中正确 的结论有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
第3题图 第5题图
4、如果外切的两圆⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和4，那么半径为6，与⊙O 1和⊙O 2都相切的圆有（ ）
A 、4个
B 、5个 C
、6个 D 、7个
0 a 1 1
-0 b 第1题图
5、如图，从A 点沿线段走到B 点，要求每一步都是向右或向上，则走法共有（ ）
A 、9种
B 、16种
C 、20种
D 、25种 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 6、反比例函数x
y 3
=
，当y ≤3时，x 的取值范围是 。

7、圆的半径为13cm ，两弦AB ∥CD ，AB =24cm ，CD =10cm ，则两弦AB ,CD 的距离是 。

8、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能 性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率 为 ． 9、对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种数的运算：b a d c =ad －bc ，那么当32- 104
=x
时，x = 。

三、解答题（本题共4小题，共40分）
10、（本题11分）已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ,以 BC 为直径的
⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ,交BC 的延长线于点F 。

（1）求证：AD =BD ；
（2）求证：DF 是⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为3，sin ∠F =5
3
，求DE 的长。

11、（本题6分）如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直
的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分。

请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由。

12、（本题9分）小亮早晨从家里出发匀速步行去上学，小亮的妈妈在小亮出发后10分钟，发现小亮的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小亮上学的路线追赶小亮，结果与小亮同时到达学校．已知小亮在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA－AB所示．
（1）试求折线段OA－AB所对应的函数关系式；
（2）请解释图中线段AB的实际意义；
（3）请在所给的图中画出小亮的妈妈在追赶小亮的过程中，她所在位置与家的距离S（千米）与小亮出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图像．（友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注）
13、（本题14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD<BC，且AD=5，AB=DC=2.
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A。

C
D
A
P
B
①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。

（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE =∠A ，PE 交直线BC 于点E ，
同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP =x ，CQ =y ， 求y 关于x 的函数关系式，并求x 的取值范围；
②当CE =1时，求出AP 的长。

参考答案
一、选择题：（每小题4分，共20分）
1、D
2、C
3、C
4、B
5、C
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 6、x ≥1或x ＜0 7、7cm 或17cm 8、277
9、－1
三、解答题（本题共4小题，共40分） 10、（本题11分）
证明：（1）如图，连结CD ，……………… 1分 ∵BC 是直径，
∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB .………………2分 ∵AC =BC ,
∴AD =BD .………………………………… …3分
（2）连结OD ，………………………… …4分 ∵∠A ＝∠B , ∠AED =∠BDC =90°,
∴∠ADE =∠DCO .∵OC =OD ,∴∠DCO =∠CDO . ∴∠CDO =∠ADE .
由（1）得∠ADE +∠CDE =90°,
∴∠CDO +∠CDE =90°,……………… ……5分 即∠ODF =90°.∴DF 是⊙O 的切线.…………6分 （3）在Rt △DOF 中， ∵sin ∠F =
OF
353=, ∴OF =5.…………………………………………7分 ∵OC =3,∴CF =5－3=2.
由（2）得∠DEA =∠ODF =90°，∴OD ∥AC . ∴△CEF ∽△ODF .……………………………9分
∴
OF CF
DF EF =,………………………………10分 即
.5244=-DE ∴DE =5
12
.…………………11分 11、（本题6分）
12、（本题9分）
解：（1）线段OA 对应的函数关系式为：1
12
s t =
（012t ≤≤） 2分 线段AB 对应的函数关系式为：1(1220)s t =<≤． ············································ 4分
（2）图中线段AB 的实际意义是：小亮出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟． ···················································································· 7分 （3）如图中折线段CD DB -． ········································································ 9分
13、（本题14分）
解：（1）①如图，在梯形ABCD 中，AB =CD =2，∴∠A =∠D 。

∵∠BPD =∠A +∠ABP ,∠BPD =∠BPC +∠DPC ,又∠BPC =∠A ， ∴∠ABP =∠DPC 。

因此△ABP ∽△DPC 。

………………2分 ②设AP =x ，PD =5－x
由△ABP ∽△DPC ，得AP ：CD =AB ：DP ， 即x ：2=2：（5－x ）。

解得x =1或x =4. 因此AP =1或4. ………………6分
（2）①利用（1）的结果，△ABP ∽△DPQ 。

∴AB ：DP =AP ：QD 。

由于AB =2,AP =x ，PD =5－x ，DQ =2+y 因此2：（5－x ）=x ：（2+y ）。

∴y 关于x 的函数关系式为y =－0.5x 2+2.5x －2 （1<x <4）。

………………10分
1
A B
20 12 t (分钟)
s (千米)
O 10 16 D C
x y E
Q C
D A P B
②如图2，当CE =1，E 在BC 上时，由于△ABP ∽△CEQ ， 因此AP ：CQ =AB ：CE 。

即x =2y 。

从而x =2（－0.5x 2
+2.5x －2） 解得x =2
如图3，当E 在BC 的延长线上时，由△ABP ∽△DPQ ，有x ：（2－y ）=2：（5+x ） 所以y =0.5x 2－2.5x +2 由△ABP ∽△CEQ ，有x =2y 从而x =2（0.5x 2
－2.5x +2）。

解得x 1=3+5（舍去），x 2=53
∴AP 的长=2或者3—5 ………………14分
x
y E
Q
C D A P
B。