谈用法向量确定二面角的平面角的大小
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引导学生 反 思 比 较 可 以 通 过 问 题 设 定 形 式 来完成．课前两问：“通过预习能联想到哪些学 过 的知 识？ 你 习 得 了 哪 些 新 的 知 识？”课 中 两 问： “通过习得的知识你能解决哪 些 问 题？你 获 得 了 何种方法？”课后 两 问：“你 有 哪 些 收 获？ 你 有 哪 些困惑？”这些 问 题 内 容 我 们 可 以 通 过 设 计 表 格 的方式向学生了解，也 可 以 通 过 网 络 学 习 平 台 发 布 问 卷 ，学 生 根 据 自 己 的 实 际 情 况 提 交 观 点 ． ３．２．３ 关 注 教 学 资 源
结论：设 ｎ１，ｎ２分别是面 α和面 β的法向量，如 果 ｎ１，ｎ２的指向一致（都指向着二面角内或二面角 外），则法向量的夹角与二面角互补；如果 ｎ１，ｎ２ 的 指向相反，则法向量的夹角与二面角相等．
但是如何判断两个法向量的指向呢？我认为可
以这样判断：
在两个半平面内取非棱
上两个点，比如 Ｍ、Ｎ两点， 构造 向 量 Ｍ→Ｎ、Ｎ→Ｍ，用 向 量 Ｍ→Ｎ、Ｎ→Ｍ分 别 与 两 个 半 平 面
《数学之友》 ２０１９年第 ２４期
谈用法向量确定二面角的平面角的大小
解题探索
潘 冬
（江苏省淮北中学，２２３９００）
直线的方向向量、平面的法向量提供了用代数 的方法研究空间点、线、面位置关系的思路，所以我 们可以用平面的法向量研究二面角的平面角．但是 利用法向量求二面角时，需要直观估计二面角是锐 角还是钝角，在二面角的平面角比较接近 ９０°或者 图形放置的位置不适宜时，容易估错．《中学数学教 学》２００５年第 ５期上刊登的张家武老师撰写的文 章———《谈用法向量 确 定 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 》 一文中引入了“卦向量”解决了这一问题．《数学教 育》２０１５年 ３期上刊登福建省沙县一中黄清海老师 写的文章———《如何判断二面角与其平面法向量夹 角之间关系》一文利用空间法向量与坐标轴方向来 研究，但是这些方法对于中学生来说比较难理解，下 面笔者 介 绍 一 个 更 加 适 合 中 学 生 理 解 和 使 用 的 方法．
教学资源 指 在 教 学 过 程 中 可 以 被 利 用 的 一 切要素，包括教材、教案、课件、影 音 等，也 包 括 教 学 基 础 设 施、数 字 课 程 资 源 等．好 的 教 学 过 程 设 计需要整合可用的所有有助于开展有效教学的 素材．
教学设计 需 要 考 虑 针 对 具 体 的 教 学 内 容 和 对象，比较传统教学 资 源 和 现 代 教 育 信 息 化 教 学 资 源 之 间 的 不 同，优 选 适 合 的 资 源 用 于 教 学，以 达到提升学生兴趣以及提高学习效果的目的． ３．２．４ 关 注 教 学 评 价
方法 ２：设 ｎ１，ｎ２ 分别是二面角 α－ｌ－β的两 个面 α，β的法向量，在图②中 ｎ１，ｎ２的指向一致（都 指向二面角 内 或 二 面 角 外 ），则 法 向 量 的 夹 角 与 二
面角互 补，二 面 角 α－ｌ－β的 平 面 角 满 足 ｃｏｓθ＝
－ｃｏｓ＜ｎ１，ｎ２
＞＝－ ｎ１·ｎ２ ． ｜ｎ１｜｜ｎ２｜
在图③中 ｎ１，ｎ２ 的指向相反，则法向量的夹角
与二面角相等，二面角 α－ｌ－β的平面角满足 ｃｏｓθ
＝ｃｏｓ＜ｎ１，ｎ２ ＞＝｜ｎｎ１ １·｜｜ｎｎ２ ２｜．
例题 如 图，ＡＢＣＤ是 一 直 角 梯 形，∠ＡＢＣ＝
９０°，ＳＡ⊥面 ＡＢＣＤ，ＳＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝１２，求面
设面 ＳＣＤ的法向量为 ｎ２＝（ｘ，ｙ，ｚ），
{ｘ－２ｙ＝０，
则有
取 ｚ＝１，得 ｘ＝１，ｙ＝２，
２ｙ－ｚ＝０
∴ｎ２ ＝（１，２，１）， ∴ｃｏｓ〈ｎ１，ｎ２〉＝｜ｎｎ１１·｜｜ｎｎ２２｜＝槡３６． 又 ｎ１方向朝面内，ｎ２ 方向朝面外，属于“一进
·７６·
《数学之友》 ２０１９年第 ２４期
Hale Waihona Puke 一出”的情况，二面角等于法向量夹角，即所求二面
角的余弦值为槡３６． 思考：ｎ１ 方向朝面内，ｎ２ 方向朝面外，为什么
呢？我认为可以这样判断： 取 Ａ→Ｃ＝（－１，１，０），Ａ→Ｃ·ｎ１ ＝（－１，１，０）·
( ) ０，１２，０ ＝１２＞０，所以 ｎ１方向朝面内，取Ｃ→Ａ＝（１，
－１，０），Ｃ→Ａ·ｎ２ ＝（１，－１，０）· （１，２，１）＝１－２＋０ ＝－１，所以 ｎ２ 方向朝面外．当然也可以取Ａ→Ｄ、Ｄ→Ａ， Ｂ→Ｄ、Ｄ→Ｂ分别与法向量求数量积，来判断法向量向内
向外．
檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸
（上接第 ７５页） ３．２．２ 关注学法指导
除关键能力和 核 心 素 养 外，初 中 学 段 还 强 调 应 用 创 新，高 中 学 段 则 增 加 了 学 会 学 习．这 是 教 学 设 计 中 不 能 忽 略 的 原 则 ．“学 会 学 习 ”的 要 求 强 调设计对学生学法指 导，着 眼 对 学 生 课 前、课 中、 课后的学习提出具 体 要 求，引 导 学 生 通 过 反 思 比 较获得学习能力的提升．
的法 向 量 求 数 量 积．例 如：
Ｍ→Ｎ·ｎ１≥０，则 ｎ１向内，否则 向外，Ｎ→Ｍ·ｎ２≥０，则 ｎ１向内，否则向外．
２ 例题分析
１ 二面角的求法
方法 １：如图①，ＡＢ，ＣＤ分别是二面角 α－ｌ－β
的两个面内与 ｌ垂直的异面直线，则二面角 α－ｌ－β 的平面角 θ满足 ｃｏｓθ＝｜Ａ→ＡＢ→Ｂ｜· ·Ｃ｜→ＣＤ→Ｄ｜．
ＳＣＤ与面 ＳＢＡ所成二面角的余弦值．
解：如 图 建 立 空 间
直角坐标系 Ａ－ｘｙｚ，则
Ａ（０，０，０），Ｃ（－１，１，０），Ｄ
( ) ０，１２，０，Ｓ（０，０，１），易知
面 ＳＢＡ的法向量为 ｎ１ ＝
( ) ( ) ( ) Ａ→Ｄ＝ ０，１２，０，Ｃ→Ｄ＝ １，－１２，０，Ｓ→Ｄ＝ ０，１２，－１．
结论：设 ｎ１，ｎ２分别是面 α和面 β的法向量，如 果 ｎ１，ｎ２的指向一致（都指向着二面角内或二面角 外），则法向量的夹角与二面角互补；如果 ｎ１，ｎ２ 的 指向相反，则法向量的夹角与二面角相等．
但是如何判断两个法向量的指向呢？我认为可
以这样判断：
在两个半平面内取非棱
上两个点，比如 Ｍ、Ｎ两点， 构造 向 量 Ｍ→Ｎ、Ｎ→Ｍ，用 向 量 Ｍ→Ｎ、Ｎ→Ｍ分 别 与 两 个 半 平 面
《数学之友》 ２０１９年第 ２４期
谈用法向量确定二面角的平面角的大小
解题探索
潘 冬
（江苏省淮北中学，２２３９００）
直线的方向向量、平面的法向量提供了用代数 的方法研究空间点、线、面位置关系的思路，所以我 们可以用平面的法向量研究二面角的平面角．但是 利用法向量求二面角时，需要直观估计二面角是锐 角还是钝角，在二面角的平面角比较接近 ９０°或者 图形放置的位置不适宜时，容易估错．《中学数学教 学》２００５年第 ５期上刊登的张家武老师撰写的文 章———《谈用法向量 确 定 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 》 一文中引入了“卦向量”解决了这一问题．《数学教 育》２０１５年 ３期上刊登福建省沙县一中黄清海老师 写的文章———《如何判断二面角与其平面法向量夹 角之间关系》一文利用空间法向量与坐标轴方向来 研究，但是这些方法对于中学生来说比较难理解，下 面笔者 介 绍 一 个 更 加 适 合 中 学 生 理 解 和 使 用 的 方法．
教学资源 指 在 教 学 过 程 中 可 以 被 利 用 的 一 切要素，包括教材、教案、课件、影 音 等，也 包 括 教 学 基 础 设 施、数 字 课 程 资 源 等．好 的 教 学 过 程 设 计需要整合可用的所有有助于开展有效教学的 素材．
教学设计 需 要 考 虑 针 对 具 体 的 教 学 内 容 和 对象，比较传统教学 资 源 和 现 代 教 育 信 息 化 教 学 资 源 之 间 的 不 同，优 选 适 合 的 资 源 用 于 教 学，以 达到提升学生兴趣以及提高学习效果的目的． ３．２．４ 关 注 教 学 评 价
方法 ２：设 ｎ１，ｎ２ 分别是二面角 α－ｌ－β的两 个面 α，β的法向量，在图②中 ｎ１，ｎ２的指向一致（都 指向二面角 内 或 二 面 角 外 ），则 法 向 量 的 夹 角 与 二
面角互 补，二 面 角 α－ｌ－β的 平 面 角 满 足 ｃｏｓθ＝
－ｃｏｓ＜ｎ１，ｎ２
＞＝－ ｎ１·ｎ２ ． ｜ｎ１｜｜ｎ２｜
在图③中 ｎ１，ｎ２ 的指向相反，则法向量的夹角
与二面角相等，二面角 α－ｌ－β的平面角满足 ｃｏｓθ
＝ｃｏｓ＜ｎ１，ｎ２ ＞＝｜ｎｎ１ １·｜｜ｎｎ２ ２｜．
例题 如 图，ＡＢＣＤ是 一 直 角 梯 形，∠ＡＢＣ＝
９０°，ＳＡ⊥面 ＡＢＣＤ，ＳＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝１２，求面
设面 ＳＣＤ的法向量为 ｎ２＝（ｘ，ｙ，ｚ），
{ｘ－２ｙ＝０，
则有
取 ｚ＝１，得 ｘ＝１，ｙ＝２，
２ｙ－ｚ＝０
∴ｎ２ ＝（１，２，１）， ∴ｃｏｓ〈ｎ１，ｎ２〉＝｜ｎｎ１１·｜｜ｎｎ２２｜＝槡３６． 又 ｎ１方向朝面内，ｎ２ 方向朝面外，属于“一进
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《数学之友》 ２０１９年第 ２４期
Hale Waihona Puke 一出”的情况，二面角等于法向量夹角，即所求二面
角的余弦值为槡３６． 思考：ｎ１ 方向朝面内，ｎ２ 方向朝面外，为什么
呢？我认为可以这样判断： 取 Ａ→Ｃ＝（－１，１，０），Ａ→Ｃ·ｎ１ ＝（－１，１，０）·
( ) ０，１２，０ ＝１２＞０，所以 ｎ１方向朝面内，取Ｃ→Ａ＝（１，
－１，０），Ｃ→Ａ·ｎ２ ＝（１，－１，０）· （１，２，１）＝１－２＋０ ＝－１，所以 ｎ２ 方向朝面外．当然也可以取Ａ→Ｄ、Ｄ→Ａ， Ｂ→Ｄ、Ｄ→Ｂ分别与法向量求数量积，来判断法向量向内
向外．
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（上接第 ７５页） ３．２．２ 关注学法指导
除关键能力和 核 心 素 养 外，初 中 学 段 还 强 调 应 用 创 新，高 中 学 段 则 增 加 了 学 会 学 习．这 是 教 学 设 计 中 不 能 忽 略 的 原 则 ．“学 会 学 习 ”的 要 求 强 调设计对学生学法指 导，着 眼 对 学 生 课 前、课 中、 课后的学习提出具 体 要 求，引 导 学 生 通 过 反 思 比 较获得学习能力的提升．
的法 向 量 求 数 量 积．例 如：
Ｍ→Ｎ·ｎ１≥０，则 ｎ１向内，否则 向外，Ｎ→Ｍ·ｎ２≥０，则 ｎ１向内，否则向外．
２ 例题分析
１ 二面角的求法
方法 １：如图①，ＡＢ，ＣＤ分别是二面角 α－ｌ－β
的两个面内与 ｌ垂直的异面直线，则二面角 α－ｌ－β 的平面角 θ满足 ｃｏｓθ＝｜Ａ→ＡＢ→Ｂ｜· ·Ｃ｜→ＣＤ→Ｄ｜．
ＳＣＤ与面 ＳＢＡ所成二面角的余弦值．
解：如 图 建 立 空 间
直角坐标系 Ａ－ｘｙｚ，则
Ａ（０，０，０），Ｃ（－１，１，０），Ｄ
( ) ０，１２，０，Ｓ（０，０，１），易知
面 ＳＢＡ的法向量为 ｎ１ ＝
( ) ( ) ( ) Ａ→Ｄ＝ ０，１２，０，Ｃ→Ｄ＝ １，－１２，０，Ｓ→Ｄ＝ ０，１２，－１．