深挖教材例、习题培养学生的数学能力 - 九江一中.doc

如何有效处理教材例题
九江一屮江民杰
例、习题是教材的重要组成部分，对习题的答案的寻求，学生一般不会有很大困难，致使我们常常忽略对习题的深入挖掘和研究，从而丢失了很多的教冇资源，错失培养学生数学思维能力、数学创造力的契机.实际上，教材是数学高考命题的一个主要依据，是培植数学高考题的一片沃土•每年高考Z后，我们会发现高考试题屮总有不少题目育接来自课本的例、习题，或者由课木例、习题经适当改编而来，教材屮这些例习题蕴含着丰富的数学思想方法, 因此作为教师有责任，有义务处理好教材例习题，通过课堂教学对学生进行数学思想的渗透, 培养学生的逻辑思维能力、数学创造力.下面就一个案例针对如何引导学生做课木例习题、如何对教材处理谈点做法.
1.背景
教材《椭圆》一节主要内容有：椭圆及标准方稈，并给出三个例题.显然需要两课时完成教学任务，第一课时主要内容是椭圆及标准方稈及例1,第二课时的主要内容是：例2、例3.两个例题如下：
例2：已知B、C是两个定点，IBCI=6, AABC的周长等于16,求AABC的顶点A的
轨迹方稈.
例3：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2,从这圆上任一点P
向x轴作垂线PP f中点M的轨迹.
2.教材的处理
新的的大纲对木节的要求如下：“掌握椭圆的定义、标准方程”，
并提出“结合教学内容进行运动、变化观点的教育”.在高考题屮，Illi
线与方稈有两个方面：一是求1111线方稈，二是由方稈研究曲线的性质.这两个方面的问题在高考题屮年年岀现，且为较难题.基于以上两个方面的因索，以教材为木，依据教师对木节内容在本章地位的认识，木章在報个高屮数学的地位的认识，数学高考对木节的要求及命题趋势的认识，来挖掘教材，充分发挥教材例、习题潜在作用.
2.1点拔盲点，强化概念
例2是用定义法求轨迹方稈，因此，先从运动的、变化的观点来认识椭圆，并归纳出动点轨迹为椭圆的儿何条件：动点P到两定点F|、F2(IF,F2I=2C)的距离和为2d徒值)(2Q2C>0),即P点在运动过程屮，IPF|l + IPF2l=2a保持不变，这便是“动屮有静”，这样可以避免学生直接将条件“IABI + IACHO”用坐标表示为“ J(x + 3)2+y2 + J(兀一彳尸+于=⑷”(实际
上，作业时曾出现这种情况），克服求解轨迹方程时方法选择的盲li性，进而理解概念的精
髓.
变式1（例2）：己知B、C为两个定点IBCI=6, A ABC的周长为16,若IABI>IACI,求顶点A 的轨迹方程，并画出图形（学生练习完成）.
2.2寻找规律，延伸拓展
例3是用代入法（中间变最法）求轨迹方程，其轨迹是椭圆，据此，教材总结屮有这样一句话：“把圆按某个方向均匀压缩（拉长河以得到椭圆”，而该例展示只是压缩的情形.M为PP'的屮点，当M为PP上任一点时，情形又是怎样？对此规律教材并未作岀探索.
变式1（例3）：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2,从这个圆上任一点P作x轴的垂线PP,若F M =/L-F P（A > 0）,求点M的轨迹方程，并指岀其轨迹是什么图
形？
这样变式示，内容变得I•分丰富，一方面可以让学生练习使用
代入法求点M的轨迹方程，另一方面，讨论轨迹方程：
2 ,2
（2>0）（*）
表示的图形时，需要分类讨论，结果如下：
x2 y2
0</l< 1时，—+ — = 1表示焦点在X轴上的椭圆
2 = 1时，x2 +）“ =4表示圆
x2y2
2>1时，y + — = 1表示焦点在y轴上的椭圆
通过变式：P f M = AP f P（2 > 0）,根据0 vQvl、2 = 1、
A > 1从向量的和度分析出点M与点P在位置上的关系，从而揭示
规律：圆按某个方向均匀压缩（拉长）都可以得到椭圆，这样充实了教材，弥补了教材的不足.
考虑到两例题让学生学习了求轨迹方稈的两种常用方法，为将这两种方法皿用到同一个问题屮去，又将例2变式如下:
变式2（例2）：已知B、C两点为定点,IBCI=6, AABC的周长等于16,求AABC的重心G的轨迹方程（学生练习完成）.
2.3变换条件，纵深探索
考虑到培养学生逻辑推理能力、数学创造力的需要，对题目的条件作出变换，改变问题的情境，提供新的素材；对结论（问题的方式）作出变换，提出新的问题，使结论开放.
BD =(兀o + 5, ) ・・・点卩的轨迹方程为: 对+朮=25
g0） 设Mg ）；）,由沪万=2•两，知:
兀（） Jo = J ，从而
点M 轨迹方稈为: X 2
25 25 + 2521 (y 北 0)
从而点M 轨迹是椭闘（长轴两端点除外）, 这表明点M 到某两个定点距离和为10,依
变式2（例3）：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2,从这个圆上任一点P 作x 轴的 垂线PP,垂足为P,若PM=2・PP （0<2<1）,是否存在常数2,使M 到两定点 B （-1,O ）, C （1,O ）距离和为定值.（引导学生分析完成）
变式3（例3）：对角线互相垂直的梯形ABCD 的底边BC 的两个端点固定,IBCI=6, L4DI=4, 尸为AD 的屮点，作PP'丄BC （或延长线）于P ,且硕=几丽 （2>0）,是否存在 常数久，使M 到C 、B 的距离和为定值.
分析：以BC 的中点0为坐标原点，BC 为x 轴，建立坐标系，设P （x 0,y 0）,则
A(x 0-2, y 0) , D(x 0 +2, y 0) , B(-3, 0) , C(3, 0) CA = (x 0 -5, y Q ), BD ・CA = (x 0 +5)・(x 0 一5) + 朮=0
题意，若2存在，则3、C 必为两定点，从而B 、C 为椭圆的焦点.
・・・25 - 25才=9 Z. 2 =-
5
3. 材料的链接 深挖教材例、习题后，如何链接这些材料，使整节课结构严谨、流畅？如何找到这节课 的灵魂？我作出如下设计，复习椭圆定义及方稈时着重强调数与形的关系（由椭圆可以写出 方程，由方程可以得到椭圆），为例2、例3的讲解作好铺垫.讲授完例2及其变式1后， 指出该例是先有轨迹后有方稈，即先有形后有数，是从形到数的认识过程.通过设问：是不 是所有的轨迹问题都是这样呢？向例3过渡，讲授完例3及其变式1后，指出该例是先有方 程后有轨迹，即先形后数.考虑到例3的变式3是一道开放型的探索题，具有一定的综合性, 作为同学们课后的思考题，让学有余力同学得到更为全面发展，这样将数学思想（数形结合） 贯穿于整节课，寓数学思想、数学能力的培养于课堂教学Z 屮.
这节课，没有增加例、习题，充分挖掘两个例题，不仅讲透了方法，而且讲深了数学思 想，强
化了概念（椭恻定义）及结论（圆与椭圆的关系），由易到难，逐步深入，展示了探索问题的过稈，做到了紧扌II教材，突出重点，优化内容.有时我们在教材的使用上仅满足于一般知识，却忽视了它的“精华”；或者孤立认识“知识点”，没有从“多角度”、“多层次”理会教材精神，或者有时我们以“解题”囊括“全部”，在“题海”屮获得一点“收获”，而这点“收获”正是我们在教材处理上失误而导致的“遗漏”.为此，我们要努力践行《普通高屮数学课程标准（实验）》所侣导的“数学课程讲逻辑推理，更要讲道理，通过典熨例了的分析和学生的自主探索的活动，使学生逐步理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴涵在其屮的思想方法.”
发表于屮学数学教学参考2007年II期
T1I, , ISSN 1002 -2171
刊号 --------------------
CN 61 —1032 /G4。