陕西高三高中数学高考模拟带答案解析

陕西高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N=（）
A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤1}
C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|x＜﹣2}
2.设i是虚数单位，则复数（1﹣i）(1+2i）=（）
A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i
3.已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E离心率为（）A．B．2C．D．
5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
A．B．C．D．
6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形
拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则
的值等于（）
A．1B．C．D．
7.已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）
A．3B．﹣3C．D．
8.下面命题中假命题是（）
A．∀x∈R，3x＞0
B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ
C．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增
D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”
9.执行如图所示的程序框图，则输出的S=（ ）
A ．1023
B ．512
C ．511
D ．255
10.已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=3，则
|QF|=（ ） A ．
B ．
C ．3
D ．6
11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1，x 2，且f （x 1）=x 1＜x 2，则关于x 的方程3（f （x ））2+2af （x ）+b=0的不同实根个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
二、填空题
1.（a+x ）（1+x ）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=______．
2.已知p ：﹣2≤x≤11，q ：1﹣3m≤x≤3+m （m ＞0），若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为_______．
3.如图，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC=60°，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，则=__________．
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2ccosB=2a+b ，△ABC 的面积为S=c ，则ab 的最小
值为_______．
三、解答题
1.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）令b n =lna n ，n=1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n ．
2.某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：
（1）求表中a ，b 的值
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1．5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和期望．
3.如图，在三棱锥D-ABC 中，DA="DB=DC," D 在底面ABC 上的射影E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于
F ．
（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ； （Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值．
4.已知椭圆
的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为
，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B 两点，求△ABO （O 为坐标原点）面积的最大值．
5.已知a ∈R ，函数f （x ）=xln （﹣x ）+（a ﹣1）x ．
（Ⅰ）若f （x ）在x=﹣e 处取得极值，求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[]上的最大值g （a ）．
6.已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ：BC=1：2，BA 、CD 的延长线交于点E ，且EF 切⊙O 于
F ．
（Ⅰ）求证：EB=2ED ；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF 的长．
7.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线的参数方程为：
（t 为参数），两曲线相交于M ，N 两点．
（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．
8.设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．
陕西高三高中数学高考模拟答案及解析
一、选择题
1.已知集合，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N=（）
A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤1}
C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|x＜﹣2}
【答案】A
【解析】故选A．
【考点】集合的交集运算．
2.设i是虚数单位，则复数（1﹣i）(1+2i）=（）
A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i
【答案】C
【解析】，故选C．
【考点】复数的乘法运算．
3.已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】B
【解析】为奇函数，所以，故选B．
【考点】函数奇偶性的应用．
4.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E离心率为（）A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设在双曲线的左支上，且则的坐标为，代入双曲线方程可得，整理得，所以离心率故选D．
【考点】双曲线的简单几何性质．
5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】从中任取个不同的数有
共种不同的方法，其中只有为勾股数，故这三个数构成一组勾股数的概率为，故选C．
【考点】古典概型中某事件发生的概率．
6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形
拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则
的值等于（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，小正方形的边长为，因为小正方形的面积是，所以，又为直角三角形中较小的锐角，
又
所以故选B．
【考点】同角三角函数的基本关系的应用．
7.已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）
A．3B．﹣3C．D．
【答案】B
【解析】，故选B．
【考点】共线向量的坐标表示及两角差的正切公式．
8.下面命题中假命题是（）
A．∀x∈R，3x＞0
B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ
C．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增
D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”
【答案】D
【解析】A．由指数函数的性质可知，，所以A 为真命题；B．当时，等式成立，B为真命题；C．要使幂函数为增函数应有，显然成立，所以C也是真命题；D．存在性命题的否定应把量词
和结论同时否定，该选项只否定了量词，没有否定结论，所以D为假命题，故选D．
【考点】全称命题与存在性命题．
9.执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）
A．1023B．512C．511D．255
【答案】C
【解析】
，故选C．
【考点】程序框图中的循环结构及等比数列前项和公式的应用．
10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）
A．B．C．3D．6
【答案】B
【解析】如图，设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，，又
故选B．
【考点】抛物线的简单性质．
11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由三视图可知几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线即为外接球的直径，所以
所以外接球的表面积为故选A ．
【考点】三视图、多面体与球的组合体及球的表面积公式．
【方法点晴】本题通过三视图考查了学生的空间想象能力，结合三视图想象出几何体的结构特征是解题的入手点，由俯视图不难发现底面为直角三角形，由主视图和侧视图又可发现底面直角顶点上的侧棱垂直于底面，这就为把三棱锥扩展为长方体提供了前提，从而发现其外接球圆心的位置，求得其直径，面积得解．
12.若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1，x 2，且f （x 1）=x 1＜x 2，则关于x 的方程3（f （x ））2+2af （x ）+b=0的不同实根个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】A 【解析】
是方程
的两根，由于
，则有两个
设等式成立，如下示意图象，所以有个交点，故选A ．
【考点】函数的极值、方程根的存在性及个数的判断．
【方法点晴】本题考查了函数零点的概念以及对嵌套型函数的理解，涉及到函数的零点个数问题通常优先考虑数形结合的方法来解决，本题中，对函数求导，由题意可知是方程的两根，从而关于
的方程
也有两个相异根，作出草图，观察图象即可得到答案．
二、填空题
1.（a+x ）（1+x ）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=______． 【答案】 【解析】设令
得：
①，令
得：
②，①-②得
所以
，解得
【考点】二项式定理的应用．
2.已知p ：﹣2≤x≤11，q ：1﹣3m≤x≤3+m （m ＞0），若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】 【解析】若是的必要不充分条件，所以是
的充分不必要条件，即
但不能推出
，结合数轴可
得
解得
所以实数
的取值范围是
．
【考点】充分条件、必要条件的判断及其在集合中的应用．
3.如图，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC=60°，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，则=__________．
【答案】
【解析】
【考点】平面向量的线性运算及数量积运算．
【方法点晴】本题考查了平面向量的数量积运算，可采用基向量法也可采用坐标法．基向量法需要选择合适的基底，由于已知菱形的边长且,所以应选择为基底，把用基向量表示出来，通过向量数量积的定义即可得解，另外还可以尝试以为原点，建立平面直角坐标系，求出点
的坐标，通过平面向量数量积的
坐标运算亦可求解．
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2ccosB=2a+b ，△ABC 的面积为S=c ，则ab 的最小
值为_______． 【答案】 【解析】在
中，由正弦定理可得
即
因为
的面积
，再由余弦定理可得
，整理可得
，当且仅当
时，等号成立，所以
．
【考点】正余弦定理解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用及诱导公式和两角和的正弦公式、基本不等式等重要知识点的应用，属于综合性较强的基础题解答本题的关键是通过正弦定理和两角和的正弦公式把条件中的边角混合式转化为角的关系式，从而求得角的值，这为后面利用三角形的面积创造了条件，最后通过基本不等式求出最值．
三、解答题
1.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）令b n =lna n ，n=1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
．
【解析】（Ⅰ）由于
是公比大于的等比数列，
且
构成等差数列，不难构造基本量
的方程组，通过解方程组求得的值，进而求出通项公式；（Ⅱ）把第（Ⅰ）问求得
的代入
化简可得
，显然是等差数列，通过等差数列的前项和公式即可得解．
试题解析：（Ⅰ）设{a n }是公比q 大于1的等比数列，∵a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列， ∴6a 2=a 3+4+a 1+3，化为6a 1q=+7+a 1，又S 3=a 1（1+q+q 2）=7， 联立解得a 1=1，q=2．∴a n =2n ﹣1．6分
（Ⅱ）b n =lna n =（n ﹣1）ln2，∴数列{b n }的前n 项和T n =
ln2． 12分
【考点】等比数列的通项公式及等差数列的前项和．
2.某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：
（1）求表中a ，b 的值
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1．5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②分布列见解析，．
【解析】（Ⅰ）由于频率等于频数除以样本容量，所以根据日销量为吨的频数和频率可求得样本容量，在根据第二组和第三组的频率即可求得；（Ⅱ）①利用二项分布的概率公式求出天中该种商品恰好有天的销售量为
吨的概率，②写出可能的取值，利用相互独立事件的概率公式求出取每个值的概率，即得其分布列和数学期望．
试题解析：（1）∵
=50∴a=
=0．5，b=
=0．3
（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率p=0．5 设5天中该种商品有X 天的销售量为1．5吨，则X ～B （5，0．5） P （X=2）=C 52×0．52×（1﹣0．5）3=0．3125 ②X 的可能取值为4，5，6，7，8，则 p （X=4）=0．22=0．04
p （X=5）=2×0．2×0．5=0．2
p （X=6）=0．52+2×0．2×0．3=0．37 p （X=7）=2×0．3×0．5=0．3 p （X=8）=0．32=0．09 所有X 的分布列为：
EX=4×0．04+5×0．2+6×0．37+7×0．3+8×0．09=6．2． 12分
【考点】频率分布表，次独立重复试验中事件发生次的概率公式及离散型随机变量的分布列和数学期望．
3.如图，在三棱锥D-ABC 中，DA="DB=DC," D 在底面ABC 上的射影E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于
F ．
（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ； （Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
．
【解析】（Ⅰ）由题意可知三棱锥的三个侧面都是等腰三角形，易得为的中点，可证，又
，所以平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）的证明可以以为
原点，为建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的方向向量，利用线面角的公式即可求解．
试题解析：（Ⅰ）如图，由题意知平面 所以 ，又，所以 平面 又平面 所以平面平面 （Ⅱ）如图建系，则，，，
所以，
设平面的法向量为 由
得
，取
设与的夹角为，所以
所以与平面所成的角的正弦值为
【考点】空间中垂直关系的证明及空间线面角的求解．
4.已知椭圆
的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为
，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B 两点，求△ABO （O 为坐标原点）面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率和通径长公式，结合椭圆中的关系，解方程组即可求得的值，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理写出两个交点坐标和直线斜率的关系，表示出
，从而建立三角形
面积的函数关系式，通过基本不等式可求得面积的最大值． 试题解析：(I)由已知得，又由，可得
，， 得椭圆方程为，因为点在第一象限且轴，可得
的坐标为
，
由，解得
，所以椭圆方程为
(II)设 将代入椭圆，可得
由 ，可得
，则有 所以因为直线
与轴交点的坐标为
所以
的面积
令 , 由①知
所以时，面积最大为．
【考点】椭圆的方程、几何性质及椭圆与直线的位置关系．
【方法点晴】本题考查了椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题，其中面积是本题解得的难点，解答时应结合图形的特征把的面积分解为两个同底的三角形，两个三角形的底边都是，高的和为
，这是本题韦达定理应用的技巧所在，最好通过对面积的函数关系变形，在形式上达到积为定值的目的，
通过基本不等式求出面积的最大值．
5.已知a ∈R ，函数f （x ）=xln （﹣x ）+（a ﹣1）x ．
（Ⅰ）若f （x ）在x=﹣e 处取得极值，求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[]上的最大值g （a ）．
【答案】（Ⅰ）的单调增区间是，单调减区间是；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）先对函数求导，然后求出使得导函数大于或小于的的取值范围，即得其单调区
间；（Ⅱ）先研究函数在区间上的单调性，求出在区间上的极值，通过比较极值和区间端点处的函数值即得其最大值．
试题解析：（Ⅰ）=ln（﹣x）+a，
由题意知x=﹣e时，=0，即：=1+a=0，∴a=﹣1，
∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，=ln（﹣x）﹣1
令=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e
令=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e
令=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0
∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，
（Ⅱ）=ln（﹣x）+a，∵x∈，
∴﹣x∈，∴ln（﹣x）∈，
①若a≥1，则=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，
f
（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1
max
②若a≤﹣2，则=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，
（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2
f
max
③若﹣2＜a＜1，则令=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a
∵=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时＞0，当x＞﹣e﹣a时＜0
∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，∴f
（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）
max
综上：
【考点】利用导数研究函数的单调性及其在给定区间上的极值和最值．
【方法点晴】本题主要考查了导数在研究函数的单调性及在研究单调性的基础上求解其在给定区间上的极值，进而得到最值问题，考查学生综合利用所学知识分析问题和解决问题的能力，属于中档题．解答过程中要用到分类讨论的数学思想，也就是第二问中，通过讨论的范围，得到在上的单调性，为求极值和最值创造条件，这是最终完整求解本题的关键．
6.已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于
F．
（Ⅰ）求证：EB=2ED；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由于已知,再结合要证明，所以可以考虑证明∽来达到证明的目的，利用圆内接四边形的性质可得为公共角，得证∽；（Ⅱ）利用切割线定理构造的关系，即可求得的长．
试题解析：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，
∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；
（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：
x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=2
【考点】圆内接四边形的性质、圆的切割线定理及三角形的相似问题．
7.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
ρsin2θ=4cosθ，直线的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）根据易得曲线的直角坐标方程，用代入法消去直线参数方程中的参数得
到其普通方程；（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线
的直角坐标方程，得到，设对应的
参数分别为，利用韦达定理以及，计算即可求得结果． 试题解析：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ，
用代入法消去参数求得直线l 的普通方程x ﹣y ﹣2=0．
（Ⅱ）直线l 的参数方程为：（t 为参数），
代入y 2=4x ，得到，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，
则 t 1+t 2=12，t 1•t 2=48，∴|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=．
【考点】简单曲线的极坐标方程与参数方程的应用．
8.设函数f （x ）=|x ﹣4|+|x ﹣a|（a ＞1），且f （x ）的最小值为3．
（1）求a 的值；
（2）若f （x ）≤5，求满足条件的x 的集合．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由条件利用绝对值的意义可得，再结合，可得的值；（2）把等价转化为三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即可得到满足条件的的取值集合．
试题解析：（1）函数f （x ）=|x ﹣4|+|x ﹣a|表示数轴上的x 对应点到4、a 对应点的距离之和，
它的最小值为|a ﹣4|=3，再结合a ＞1，可得a=7．
（2）f （x ）=|x ﹣4|+|x ﹣7|=，故由f （x ）≤5可得，
①，或②，或 ③．
解①求得3≤x ＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，
所以不等式的解集为．
【考点】绝对值不等式的解法及其应用．。