求多元函数最值的几种方法
第八节多元函数的极值及其求法
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具 有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但 点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
第五节多元函数的极值及其求法
第五节多元函数的极值及其求法的图形观察二元函数22y x e xyz +-=播放播放设函数),(y x f z =在点),(00y x 的及其附近有定义，对于点),(00y x 附近的任一点),(y x 都有),(),(00y x f y x f <，则称函数在),(00y x 有极大值；若有),(),(00y x f y x f >，则称函数在),(00y x 有极小值.一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yx z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22yx z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xyz =设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .多元函数取得极值的条件（称驻点）例如, 点)0,0(是函数xy z =的驻点，但不是极值点.驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，设 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ，定理2（充分条件）则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00， （1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．设3322(,)339f x y x y x y x =-++-,求极值. 求得驻点：)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(--,二阶偏导数为：66,0,66+-=''=''+=''y f f x f yy xy xx ,C B A 2B AC - （-3,0）-12 0 6 - 不是极值 （1,0）12 0 6 + 极小值-5 （-3,2）-12 0 -6 + 极大值31 （1,2） 12 0 6- 不是极值 例4解，令⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=-+='063096322y y f x x f y x多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解x y o 6=+y x D 例5先求函数在D 内的驻点，⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,再求),(y x f 在D 边界上的最值，解方程组 在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,在边界6=+y x 上，即x y -=6，得 4,021==x x ，,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f 比较后可知4)1,2(=f 为最大值, 64)2,4(-=f 为最小值.,)6(223x x -=)2)(6(2--=x x z )60(≤≤x ,0)4(6=-='x x z 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,要做一个容积为323cm 的无盖长方体箱子，问长、宽、高各为多少时，才能使所用材料最省？ 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解6464(0.0)S xy x y x y =++>>设长方体的长为x ，高为y ，则宽为32.xy 则箱子所用材料的面积为令由实际问题意义知,S 必有最小值,且内部唯一驻点,故当4x y ==时,S 有最小值.即当长、宽均为4cm 时，所用材料最省.22640640x y S y x S x y ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩解得唯一驻点 4.x y ==用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？二、条件极值拉格朗日乘数法设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,,则目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =, 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.，xyV z =⇒ 代入目标函数,化为无条件极值问题：x yz令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='0)(20)(222y V x S x V y S y x ,求得唯一驻点3V y x ==,从而3V z =, 内部唯一驻点,且由实际问题S 有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时解出隐函数困难甚至不可能.目标函数化为：)(2yV x V xy S ++=, 0,0>>y x要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，解出λ,,y x ，其中y x ,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法令,0),(0),(),(0),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=='+'='+'y x y x y x f y x y x f y y x x ϕϕλϕλ其中λ为参数，引入拉格朗日函数),(),();,(y x y x f y x F λϕλ+=如果目标函数是三元函数),,(z y x f ,且约束条件有两个,0),,(=z y x g ,0),,(=z y x h ,则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),;,,(z y x h z y x g z y x f z y x L μλμλ++=令,0),,(0),,(),,(),,(),,(0),,(),,(),,(0),,(),,(),,(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='+'+'='+'+'='+'+'z y x h z y x g z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z z z y y y x x x μλμλμλ解出z y x ,,，就是可能的极值点的坐标.用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？例7目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =,解构作拉格朗日函数 )()(2V xyz zx yz xy L -+++=λ,令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++='Vxyz xy y x L xz z x L yz z y L z y x 0)(20)(20)(2λλλ, 解得唯一驻点,3V z y x ===,由实际问题,即为最小值点.。
大学数学多元函数的极值与最值
大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。
在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。
对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。
二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。
该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。
2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。
其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。
3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。
该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。
三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。
以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。
2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。
3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。
通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。
四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。
多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。
因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。
例谈求解多元函数最值问题的三种措施
备考指南多元函数最值问题中往往涉及了多个变量，无法直接运用简单基本函数的性质、图象来求得最值，因而此类问题一般较为复杂，需灵活运用基本不等式及其变形式，通过三角换元、数形结合来求得问题的答案.下面结合实例来探讨一下求解多元函数最值问题的三种措施.一、利用基本不等式及其变形式基本不等式是指若a,b>0，则a+b≥2ab.在求解多元函数最值问题时，通常需用到基本不等式及其变形式，如21a+1b≤ab≤a+b2≤(a、b>0)、a2+b2≥2ab、a+b+c≥3ab3c、n∑i=1n1x i≤∏i=1n x i n≤∑i=1n x i n≤.利用基本不等式及其变形式求解多元函数最值问题需注意几个条件：（1）每个变量是否都为正数；（2）是否可配凑出几个变量的和或积，并使其中之一为定值；（3）几个变量相等时等号是否成立.例1.已知a＜b，若不等式ax2+bx+c≥0对任意实数都成立，则M=a+2b+4cb-a的最小值为______.解：因为a＞0，b-a＞0，b2-4ac≤0，所以c≥b24a，故M≥a+2b+4∙b24ab-a=a2+2ab+b2a()b-a，则a 2+2ab+b2a()b-a=[]2a+()b-a2a()b-a=()b-a2+4a()b-a+4a2a()b-a=b-a a+4a b-a+4b-a a+4a b-a+4≥24=8，则M≥a2+2ab+b2a()b-a≥8，当a=3b时等号成立，故M的最小值为8.目标式中含有三个变量，需先找出变量之间的关系，通过恒等变换减少变量的个数，将目标式放缩为关于a、b的函数式；然后根据该式的结构特点，将其变形为几个简单分式的和，并使其中每两个式子的积为定值，即可根据基本不等式a+b≥2ab求得M的最值.例2.若x，y，z为正实数，x2+y2+z2=1，则yz x+ xzy+xyz的最小值为_____.解：由基本不等式可得：y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2=12æèçöø÷y2z2+z2y2x2+12æèçöø÷x2z2+z2x2y2+12æèçöø÷x2y2+y2x2z2≥x2+y2+z2，则æèçöø÷yzx+xz y+xyz2=y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2+2(x2+y2+z2)≥3()x2+y2+z2=3，即yzx+xz y+xyz≥3，当且仅当x=y=z=等号成立，故当x=y=z时，yzx+xz y+xyz有最小值3.对于本题，需运用基本不等式的变形式a2+b2≥2ab以及a+b+c≥3ab3c，才能顺利求得最值.在多次使用基本不等式及其变形式时，需确保在各个变量相等时，由基本不等式及其变形式得到的每个不等式的等号成立.二、三角换元由于多元函数最值问题中的变量较多，所以常常需通过三角换元，将问题中的变量化为关于某个角的三角函数，这样就能将问题转化为单变量函数最值问题来求解.通常可先根据题目中所给的条件，用三角函数sinα、cosα、tanα替换问题中的变量；然后通过三角恒等变换化简目标函数式，利用三角函数的图象、性质来求得最值.例3.已知实数x，y满足x2+y2≤1，求||x2+2xy-y2的最大值.解：令x=r cosθ、y=r sinθ，且0<r≤1，则||x2+2xy-y2=r2||cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ=r2||cos2θ+sin2θ=2r2||||||sinæèöø2θ+π4，因为sinæèöø2θ+π4∈[]-1,1，所以||x2+2xy-y2=||||||sinæèöø2θ+π4≤2r2≤2，故||x2+2xy-y2的最大值为2.54由x 2+y 2≤1可联想到同角的三角函数关系式sin 2θ+cos 2θ=1，于是令x =r cos θ、y =r sin θ，且0<r ≤1，即可通过三角换元，将目标式转化为三角函数式.最后根据正弦函数的有界性求出三角函数的最大值.例4.已知实数x ，y ∈R ，x 2-92y 2=2，求||2x +3y 的最小值.解：设ìïx =2sec θ，=2tan θ，S =||2x +3y =||22sec θ+2tan θ=||，∴||cos θS =22+2sin θ，∴||cos θS -2sin θ=22，∴S 2+4cos ()θ+ϕ=22≤S 2+4，∴S 2≥4，∵S ≥0，∴S ≥2，∴||2x +3y 的最小值为2.我们根据已知关系式x 2-92y 2=2，分别令x =2sec θ、32y =2tan θ，通过三角换元，将问题中的双变量x 、y 用单变量θ表示出来，就能将问题转化为关于θ的三角函数问题，利用辅助角公式以及正余弦函数的有界性进行求解即可.三、数形结合运用数形结合法求解多元函数最值问题，需深入挖掘目标函数式中代数式的几何意义，熟悉简单基本函数的解析式和图象，画出相应的图形，即可将问题转化为几何图形问题，通过移动点、直线、曲线的位置，确定取得最值时的临界情形，列出关系式，求得最值.例5.已知a ＞0，b ＞0，1a +1b=3，求a +b 的最小值.解：由1a +1b =3可得b =a 3a -1，因为3a -1＞0，所以a ∈æèöø13,+∞，令a +b =t ，则b =-a +t ，此时可以将t 看作直线b =-a +t 的纵截距.由图1可知直线b =-a +t 与函数b =a3a -1，a ∈æèöø13,+∞相切时，直线的纵截距最小值，可得b ′=-1()3a -12=-1，即a =b =23，则a +b 的最小值为43.通过数与形之间的互相转化，将函数最值问题转化为直线b =-a +t 与函数b =a3a -1图象之间的位置关系问题，即可通过分析直线与函数图象的临界情形：相切，确定a 、b 的取值，进而求得函数的最值.图1图2例6.已知x ，y ∈R ，则f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12的最小值是_____.解：f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12=()x -y 2+éëêêùûúú()x +12-æèçöø÷-1y 2，不妨将该式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方，显然()x ,x +1在直线y =x +1上，点æèçöø÷y ,-1y 在双曲线xy =-1上，画出图形，如图2所示.由图2可知当AC 垂直于直线y =x +1时，两点间的距离最短.则直线AC 的斜率为-1，且过原点，所以直线AC 的方程为y =-x ，得A ()-1,1，C æèöø-12,12，则||AC 2=12，所以f ()x ,y 的最小值为12.我们先将目标函数式变形为两式的平方和，即可根据两点间的距离公式，将目标式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方；然后结合图形，确定直线上的点到双曲线xy =-1上的点的最短距离，即可解题.解答多元函数最值问题，关键是研究问题中的变量和目标式，可通过变形目标式，利用基本不等式及其变形式求解；也可通过三角换元，将多变量化为单变量的三角函数问题来求解；还可以通过数形结合，将变量视为动点的坐标，通过研究动点、动直线、动曲线的位置关系，求得最值.同学们在解题时需仔细研究变量之间的关系，明确目标函数式的结构特点，选择与之相应的思路进行求解.（作者单位：江苏省启东市东南中学）备考指南55。
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束，通过构造拉格朗日函数来求解极值点。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将目标函数和约束条件相乘，并引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。
对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数，令其等于0，得到一组方程。
解方程组，得到拉格朗日乘子λ和变量的值。
4.检查结果。
将求得的解代入目标函数中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第3步，重新求解。
二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法，该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0，其中z是一个待定参数。
3. 利用隐函数定理。
对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导，得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z，dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。
求得dz/dx 和 dz/dy 后，得到 z(x, y) 的形式。
4.代入目标函数。
将x和y分别用z表示，得到函数f(z)。
对f(z)求导，令其等于0，解方程求得z(x,y)的极值点。
5.检查结果。
将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第4步，重新求解。
总结：拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下，且求解过程相对简单。
多元函数的极值及最值
一、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大) 值
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
F xfx x 0
解方程组 F yfyy0求驻点 .
F0
3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
机动 目录 上页 下页 返回 结束
有志者，事竟成，破釜沉舟， 百二秦关终属楚;
苦心人，天不负，卧薪尝胆， 三千越甲可吞吴。
fx(x, f y (x,
y) y)
0 0
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .
2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
如求二元函数 zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值,
设拉格朗日函数 F f( x ,y )( x ,y )
VV(x,y,z)xyz
z
y x
设 F ( x ,y ,z ,) x y z [ 2 ( x y y z z x ) a 2 ]
Fyz2(yz)0
x
S2(xyyzzx)a2
Fxz2(xz)0 VV(x,y,z)xyz
令
y
Fxy2(xy)0
z
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法多元函数的极限是指当自变量趋于其中一点时，函数的取值趋近于其中一值或趋近于无穷大的特性。
下面将介绍几种求多元函数极限的方法。
1.代数方法：代数方法是通过对多元函数进行代数运算，得到与之等价但更容易求解极限的函数形式。
常见的代数方法有因式分解、有理化、换元等。
例如若要求多元函数lim(x,y)→(0,0) [(x^2 - y^2)/(x - y)]，其中(x,y)表示二维平面上的点，则可以进行因式分解，得到lim(x,y)→(0,0) [(x+y)(x-y)/(x-y)] = lim(x,y)→(0,0) (x+y) = lim(x,y)→(0,0) x + lim(x,y)→(0,0) y = 0+0=0，从而求得极限为0。
2.几何方法：几何方法是通过将多元函数表示为几何图形，通过观察几何图形的特征来求解极限。
常见的几何方法有夹逼定理、极坐标系等。
例如若要求多元函数lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)，可以将多元函数表示为平面上的点(x,y)到点(0,0)的距离与x^2+y^2的比值。
由于距离必大于或等于0，而距离为0时，函数的取值为0，因此当x^2+y^2趋近于0时，函数取值必趋近于0。
3.极限运算法则：极限运算法则是多元函数的极限性质与一元函数极限性质之间的对应关系。
常见的极限运算法则有加法法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则等。
通过应用极限运算法则，可以将复杂的多元函数极限化简为简单的一元函数极限。
例如若要求多元函数lim(x,y)→(a,b) [f(x,y)g(x,y)/h(x,y)]，其中f(x,y)，g(x,y)，h(x,y)为多元函数，可以将其化简为lim(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim(x,y)→(a,b) g(x,y) /lim(x,y)→(a,b) h(x,y)，再根据一元函数的极限性质求解。
多元函数的极值及其求法
的梯度平行
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
拉格朗日 乘数法
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个 约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值.
( x , y ),
取 y y 0，则 f ( x , y ) f ( x , y ), 0 0 0
一元函数
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f ( x , y 0 ) 在 x x 0 取得极大值 .
y
( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 ) 0.
2 2
2 2 2
的最大值和最小值.
0, 0,
解： 由 zx
zy
得驻点(
( x y 1) 2 x ( x y ) ( x y 1)
2 2 2 2
( x y 1) 2 y ( x y ) ( x y 1)
2 2 2
1 2
,
1
)和 (
1 2
f x ( x 0 , y 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y 0 ) 0 .（驻点）
多元函数的极值点如果有偏导数则必是驻点.
证:
不 妨 设 z f ( x , y )在 点 ( x 0 , y0 ) 处 有 极 大 值 ,
则对于 ( x 0 , y 0 )的某个邻域内的所有点 都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ),
A f xx ( x 0 , y 0 ) , B f xy ( x 0 , y 0 ) , C f yy ( x 0 , y 0 ),
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法*齐新社 包敬民 杨东升(西安通信学院数理教研室 西安 710106)摘要 研究多元函数的条件极值问题.针对稳定点的各种不同情形,结合具体实例,给出判断条件极值中稳定点是否取得极值的几种方法.关键词 高阶微分;条件极值;拉格朗日乘数法;稳定点.中图分类号 O172多元函数条件极植的求解,一般是利用拉格朗日乘数法,而问题的难点在于求得稳定点后,如何判断函数究竟在该点是否取得了极值,尤其当稳定点不唯一时难度更大.本文就针对多元函数的条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴.1 借助多元函数取得极值的充分条件来判断例1 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件1x +1y +1z =1r(x ,y ,z ,r >0)下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=xy z +K (1x +1y +1z -1r),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =yz -K x 2=0,L y =zx -K y 2=0,L z =xy -K z2=0,L K =1x+1y +1z -1r =0.易得函数L 的稳定点为x =y =z =3r,K =(3r )4,为了判断f (3r ,3r ,3r )=(3r )3是否为所求极值,我们可以把条件1x +1y +1z =1r看作隐函数z =z (x ,y )(满足隐函数存在定理的条件),并把目标函数f (x ,y ,z )=x y z (x ,y )=F(x ,y )看作函数f =x y z 与z =z (x ,y)的复合函数.这样就可以应用极值充分条件来作出判断.为此计算如下:z x =-z 2x 2, z y =-z 2y2, F x =yz -yz 2x , F y =xz -xz 2y,F xx=2yz 3x 3, F xy =z -z 2y -z 2x +2z 3xy , F yy =2xz 3y 3.当x =y =z =3r 时,54高等数学研究ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICS V ol.12,N o.2M a r.,2009*收稿日期:2008-04-29.F xx =6r =F yy , F xy =3r , F xx F yy -F 2xy =36r 2-9r 2=27r 2>0,由此可见所求的稳定点为极小值点.评价 当约束条件的方程个数超过一个时,这种方法的使用受到了限制.2 借助二阶微分在稳定点处的符号来判断例2 求函数u =x -2y +2z 在条件x 2+y 2+z 2=1下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=x -2y +2z +K (x 2+y 2+z 2-1),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =2K x +1=0,L y =2K y -2=, L z =2K z +2=0, L K =x 2+y 2+z 2-1.可得P 1(-13,23,-23),K 1=32或者P 2(13,-23,23),K 2=-32,下面借助于二阶微分判断稳定点是否是极值点.先对函数L 求一阶微分d L (x ,y ,z )=d x -2d y +2d z +2K x d x +2K y d y +2K z d z ,二阶微分为d 2L (x ,y ,z )=2K [(d x )2+(d y )2+(d z )2],其符号完全由K 确定,在P 1点,K 1=32>0,故d 2L(x ,y,z )>0,所以P 1为极小值点,对应的极小值为u =-3;在P 2点,K 2=-32<0,故d 2L(x ,y,z )<0,所以P 2为极大值点,对应的极大值为u =3.评价 这种方法具有较强的通用性,但需要熟练掌握高阶微分的知识,在求二阶微分时,特别要注意变量x 和d x 是相互独立的,d x 在第二次微分时相当于常量.3 借助于一些基本不等式来判断例3 求函数f (x ,y,z,t)=x +y +z +t 在条件xyz t =c 4下的极值,其中x,y,z ,t >0,c >0.解 由基本不等式可知,当n 个正数的乘积一定时,这n 个正数的和必有最小值f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t \44xy z t ,当且仅当这n 个正数相等时取到极小值,即函数f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t 在点(c,c,c,c)处取得最小值也是极小值f (c,c,c,c)=4c.评价 这种方法对满足基本不等式结构的特定题目才能起到良好的效果.4 借助于闭区域上连续函数的性质来判断例4 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件x 2+y 2+z 2=1,x +y +z =0下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K ,L )=xy z +K (x 2+y 2+z 2-1)+L (x +y +z ),解方程组L =0,L =0,L =0,z 2-1=0,=0,55第12卷第2期齐新社,包敬民,杨东升:多元函数条件极值的几种求解方法可得六个可能的条件极值点P1(16,16,-26),P2(16,-26,16),P3(-26,16,16),P4(-16,-16,26),P5(-16,26,-16),P6(26,-16,-16),又f(x,y,z)=xy z在有界闭集{(x,y,z)|x2+y2+z2=1,x+y+z=0}上连续,故函数必有最值且最值只可能在这六个可能的极值点处达到,因此函数的极(最)小值为f(P1)=f(P2)=f(P3)=-1 36,极(最)大值为f(P4)=f(P5)=f(P6)=136.评价利用了闭区域上连续函数的性质巧妙的解决了极值判定问题.5将条件极值化为无条件极值借助一元函数求极值的方法加以判断例5求函数f(x,y,z)=xy z在条件x+y=1及x-y+z2=1下的极值.解由两个条件可得x=2-z 22,y=z22,将其带入目标函数f(x,y,z)=xy z中消去变量x和y可得4f(z)=2z3-z5,两边求导可得4f c(z)=6z2-5z4,可得稳定点z1=0,z2=65,z3=-65,由于f d(0)=0,而fÊ(0)=12X0,即z1点的奇数阶导数不为零,所以z1不是函数的极值点;又显然4f d(65)=-1265<0,故函数在z2=65处取得极大值:f(65)=62565;而4f d(-65)=1265>0,故函数z3=-65处取得极小值:f(-65)=-62565.评价将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单,缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决.总之,条件极值的判断问题是比较复杂的,只有通过一定经验的积累才能很好的把握此类问题的求解方法.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].2版.北京:高等教育出版社.1991.[2]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1978.56高等数学研究2009年3月。
多元函数求极值的方法总结
多元函数求极值的方法总结
（1）多元函数取极值的必要条件：
（2）多元函数取极值的充分条件：
（3）求条件极值的方法：
解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：
题型一：求多元函数的极值
例1：（2012年真题)求函数f(x,y)=x*e^(-(x^2+y^2)/2)的极值。
分析：解决本题的方法主要利用多元函数取极值的充分条件。
解：
题型二：多元函数条件极值的求法
求条件极值常用的有两种方法，以求函数f(x,y)在条件
g(x,y)=0下的极值为例：
（1）化为无条件极值
若从条件g(x,y)=0中可解出y=y(x)，再带入z=f(x,y)，则可化为无条件极值。
（2）拉格朗日乘数法
例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。
解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。
解：构造拉格朗日函数:
总结：本题给出了求解条件最值问题的一般方法。
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
妙用均值不等式求多元函数的最值
妙用均值不等式求多元函数的最值
均值不等式是数学家们发现的一种更加神奇的等式，它是非常重要的数学课题，它可以用来求解多元函数的最值。
均值不等式可以表述为一个总和不大于等于一个乘积的等式，即，有f(x1,x2,...,xn)，的n个变量，满足下面的等式：
f(x1,x2,...xn) ≤ f(x1,y1) + f(x2,y2)...+ f(xn,yn)
其中，其中y1,y2,...,yn分别是x1,x2,...,xn的函数值。
当把f(x1,y1)+…+f(xn,yn)扩大到一个大小为n的数组时，可以用均值不等式求多元函数的最值。
一般地，当多元函数满足一定的条件时，可以用均值不等式求解多元函数的最小值。
一般地，均值不等式是研究多元函数最值这一组问题时很有用的。
它可以用来求解最小值或最大值，取决于具体函数。
例如，要在给定范围内求多元函数的最大值，可以考虑其中2个变量，x1与x2。
令y1=f(x1),y2=f(x2),用均值不等式来求解：
f(x1,x2)≤f(x1,y1) +f(x2,y2)，取两边的最大值并求出 f(x1,x2) 的最大值。
总之，均值不等式是一种比较神奇的不等式，它可以被用来求解多元函数的最小值或最大值，这在数学分析考试中非常有用。
它可以帮助考生们高效地求解出多元函数的最优解，简化复杂的数学题目，有助于同学们取得理想的得分。
多元函数条件极值的几种求解方法概述
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
处理多元函数最值问题的几种常见方法
处理多元函数最值问题的几种常见方法作者：展晨来源：《文理导航·教育研究与实践》 2017年第9期辽宁省盘锦市盘锦光正实验学校展晨纵观各级高考模拟试题，竞赛试题中，多元函数最值问题屡见不鲜，多元函数问题在高等数学中非常常见，但如何用初等数学的知识处理这部分内容，是目前高考形势下值得研究的一类问题，下面以以2014年高考辽宁卷理科16题为例，谈谈这类问题适合高中生学习的几种解法。
本题是一个求三元函数最值的问题。
通常情况下，消元是处理多元问题最基本的方法。
分析题干可以得出，问题中的最小值是在一个三元方程中，目标函数取得最大值这个条件下去求，解题的方向可以考虑寻求2a+b最大时a,b,c之间的关系，将三元函数的最值转化为求一元函数的最值问题。
解法一：基本不等式法考虑将三元方程利用基本不等式化为含有2a+b的形式，根据等号成立的条件去寻求a,b,c之间的关系。
解法二：三角换元法考虑三角换元法不仅可以通过降幂和2a+b建立关系，还可以达到消元的目的。
解法三：向量法（柯西不等式）（此处也可直接运用选修4-5中学习的柯西不等式）解法四：判别式消元法设2a+b=t，则b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0得，24a2-18ta+4t2-c=0，由△≥0得，324t2≥96(4t2-c)，整理得t2≤8/5c，当2a+b取得最大值时，5/8(2a+b)2=c=4a2-2ab+4b2，即4a2-12ab+9b2=(2a+3b)2=0，故2a=3b。
以下同解法一。
多元问题，字母多，式子复杂，一般来说，消元是解决此类问题首选的方法，上述解法中，找a,b,c的关系，换元，代入等方法都体现了消元的思想，但本题的入口较宽，几种解法的出发点不尽相同，方程4a2-2ab+4b2-c=0实际上也可以看成关于a,b的二次方程，因为-2ab这一项的存在，加大了题目的难度，如果改编成无ab项的二次方程，题目就成为了一道基础题，可以用解析几何等知识轻松解决。
多元函数求最值
多元函数求最值
求解多元函数的最值是数学中一个重要的问题。
今天，我们来具体介绍求多元函数的最值的方法。
多元函数的最值的具体方法可以分为两个部分：一是使用极值定理，二是求解微分方程组。
使用极值定理求多元函数的最值，首先要对函数进行导数分析，判断函数极值，然后再确定极值点。
极值点是多元函数的最值所在。
使用微分方程组求多元函数的最值，首先要将函数的变量从有限个变量变成无穷多个变量，然后使用多元微分方程（偏微分方程）解出该函数的局部极值点，再使用二阶微分方程（二阶偏微分方程）确定最值点。
以上是求多元函数最值的方法，其中使用极值定理求最值比较简单，数学家常用于求解最值；而使用微分方程组求最值比较复杂，但是可以求解更加复杂的问题。
只要掌握这些方法，就可以求解多元函数的最值。
(整理)多元函数最值的求法.
本科生毕业论文多元函数最值的求法王天宝学院：数学学院专业：数学与应用数学(师范)班级：数学101学号： 010401037指导教师：柳志千职称（或学位）：硕士2014年4月原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学生签名：年月日指导声明本人指导的同学的毕业论文（设计）题目大小、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。
本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。
指导教师签名：年月日目录1、引言 (2)2、基本概念及基本定理 (2)3、函数最值求解法 (3)3.1不等式法 (4)3.1.1均值不等式 (4)3.1.2 Jensen不等式 (6)3.1.3幂平均不等式 (7)3.1.4柯西不等式 (8)3.2消元法 (9)3.2.1换元消元 (9)3.2.2放缩消元 (10)3.2.3条件消元 (11)3.3代换法 (12)3.3.1增量代换 (12)3.3.2参数代换 (12)3.3.3复数代换 (13)3.4拉格朗日乘数法 (13)3.5利用极值求最值 (14)3.6数形结合法 (17)4、结束语 (17)参考文献 (18)多元函数最值的求法王天宝（莆田学院数学学院指导教师：柳志千）摘要：随着生活的日益高效化，函数最值逐渐进入了人们的视野并占据了一定的地位。
而其中尤以多元函数的最值求解问题为最，因其难度大、方法多、且灵活多变。
故就此问题通过不等式法、消元法、代换法、拉格朗日乘数法、极值法以及数形结合的思想，再辅以经典例题阐述多元函数最值问题的求法技巧与创新思维。
函数最值论文：浅析函数最值的七种初等求法
函数最值论文：浅析函数最值的七种初等求法函数最值的初等求法在中学数学中既是重点也是难点，其综合性较强，对逻辑思维能力和变形转换能力的要求也较高.若能让学生理解掌握各种求法，则对其分析和解决问题能力的提升大有裨益.现根据本人多年的教学实践，对函数最值的常用初等求法简叙于下.一、配方法配方法在求函数值及值域中应用较为广泛，且比较容易掌握，是求函数最值的基本方法.操作要点是：把函数表达式的一部分或整体配成二次函数y=a(x+m)2+n(a≠0)的形式，再利用二次函数的性质求出最值.【例1】求函数y=x2-2x-5-2x+1x2的最值.解：函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).y=(x2+1x2)-2(x+1x)-5=(x+1x)2-2(x+1x)-7=(x+1x-1)2-8.∵当x＞0时，x+1x≥2；当x＜0时，x+1x=-(-x-1x)≤-2.∴当x+1x=2，即x=1时，y min =-7，此函数无最大值.评注：利用配方法求最值时，一定要注意考查变量的取值范围，此题若不注意就会得出错误答案y min =-8.二、基本不等式法利用基本不等式a 1+a 2≥2a 1a 2(a 1、a 2∈r+)求函数最值时要同时满足三个条件：一正、二定、三相等，即（1）a 1、a 2∈r+；（2）a 1+a 2（或a1a 2）为定值：（3）a 1=a 2能成立..上面的基本不等式定理可推广到n(n＞1,n∈n)个正数的情形.【例2】已知a＞b＞0，求a-4+1(a-b)b的最小值.解：∵a＞b＞0,∴a-b＞0，∴a-4+1(a-b)b=(a-b)+b+1(a-b)b-4≥33(a-b)b1(a-b)b-4=-1.∴当且仅当a-b=b=1(a-b)b，即a=2，b=1时，a-4+1(a-b)b 的最小值是-1.【例3】已知｜x｜＜3 ，求y=(x-3)x+5的最小值.解：∵｜x｜＜3,∴0＜3-x＜6.∴y=-(3-x)x+5=-(3-x)2(x+5)=-22(3-x)2(2x+10)=-22(3-x)(3-x)(2x+10)≥-22［(3-x)+(3-x)+(2x+10)3］3=-3296.∴当且仅当3-x=2x+10，即x=-73时，y min =-3296.评注：在变形过程中，配凑技巧是解题的关键，要紧紧围绕基本不等式取得最值的三个条件进行配凑.缺一不可. 如例2中，把a变成(a-b)+b是为了得到常数3. 例3中把x-3变形成-(3-x)是为了使3-x＞0，而把x+5变形成2x+102是为了使(3-x)(3-x)能与2x+10凑成常数.在配凑过程中，不要忽略取等号的条件，否则容易出错.例如这样的变形：x4+5x2=x4+2x2+3x2≥336就没有取等号的条件.三、判别式法此法适合能把函数关系式y=f(x)转化为关于x的二次方程φ 1(y)x2+φ 2(y)x+φ 3(y)=0（其中φ 1(y)≠0）的类型，因为x的值是实数，即该方程有实根，那么由判别式δ≥0，便可能求出函数y的最值.【例4】求函数y=2x-4x2-x+2的最大值和最小值.解：函数定义域为r，由题设可得yx2-(y+2)x+2(y+2)=0.∵x∈r,∴δ=(y+2)2-8y(y+2)≥0.∴-2≤y≤27,∴y max =27,y min =-2.评注：有时函数y=f(x)的定义域不是r，那么δ≥0只是关于x的二次方程有实数解的必要条件，这时求出的y值不一定是函数y=f(x)的最值，需要进一步检验. 若求出的y 值在函数值域内，则此y值才是最值；或者求出与y值对应的x值（在方程中求），求出的x值至少有一个在定义域内，则此y值才是最值.四、函数单调性法如果能够判断函数在某区间［a,b］上是单调增函数，则由单调函数的性质易求得区间［a,b］上函数的最值.【例5】设f(x)是奇函数，对任意x∈r，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x＞0时，f(x)＜0,且f(1)=-2,求f(x)在区间［-3,3］上的最值.分析：审题后，猜测函数f(x)可能具有单调性.解：设-3≤x 1≤x 2≤3,则x 2-x 1＞0，∴f(x 2-x 1)＜0.∵f(x)是奇函数，且恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)，∴f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2)=-f(x 2-x 1）＞0.∴f(x)在［-3,3］上是减函数.在区间［-3，3］上，f（x） max =f(-3)=-f(3)=- ［f(1)+ f(1)+f(1)］=6.f(x) min =f(3)=-f(-3)=-6.五、数形结合法数形结合法是一种重要的解题方法，其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决.此法直观性较强，易于理解，有一定的灵活性，且常有化难为易的神奇效果.【例6】已知3x-4y-8=0，求u=(x-1)2+y2的最小值.分析：(x-1)2+y2可看作是原点a(1,0)与点 p(x,y)的距离，即u=｜ap｜，而p点是直线3x-4y-8=0上的动点，所以｜ap｜的最小值就是点a到直线3x-4y-8=0的距离，也就是u的最小值.【例7】如果实数x、y满足方程y=1-x2，求u=x-y的最大值和最小值.分析：如右图，方程y=1-x2的曲线是上半圆，而-u就是平行直线系y=x-u的纵截距，x、y满足方程就是直线与半圆有公共点，这样由几何意义知-1≤-u≤2,∴-2≤u≤1.∴u max =1，u min =-2.评注：由数形结合法求最值时，两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、截距等是常用的几何意义.六、消元法在求多元函数最值的条件中，若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法，把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的.【例8】已知x2+2y2=3x，求u=2x2+y2-x的最大值.分析：由已知得y2=12(-x2+3x).①∵-x2+3x≥0,∴0≤x≤3.将①代入u=2x2+y2-x化为一元函数，再用配方法即可求解.评析：应注意通过条件找到所保留的元的取值范围.七、换元法换元变换是一种重要的数学变换，在数学中有着广泛的应用. 正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易.【例9】求函数sinx-1sinx+2的最值.解: ∵y=1-3sinx+2,f(t)=1-3t（其中t=sinx+2)，t∈［1,3］，而f(t)在［1，3］上是增函数，又f(1)=-2,f(3)=0，∴y min =-2,y max =0.评注：换元的方法多、灵活性强，换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉.在变换过程中，既要注意等价，又要注意取值范围.三角代换是常用的换元方法，如例7就可用三角换元法（令x=cosθ(0≤θ≤π），则y=sinθ,代入函数式即可求出最值.）函数最大值和最小值求法较多，方法灵活多变，除以上几种常见的初等求法外，导数法亦是目前高中数学常用的方法，这里不再赘述.对一个具体题目往往有多种解法，而优选解法是能否顺利解答的关键.在平时应多练、多思、多总结归纳，力求对这些重要方法融会贯通、灵活选用.要强调的是无论用哪种方法解题都要特别留意函数的定义域.参考文献［1］黄兆全. 最值问题中的几类典型错误例析［j］. 中学生理科应试， 1996（1）.［2］刘桦. 谈运用数形结合法解题的误区［j］. 中学数学（苏州），1995（9）.［3］陈国群. 均值不等式解题教学中逻辑错误的纠正［j］. 中学数学教学参考，2010（11）.。
求多元函数最值的常用方法
n a 1 + a 2 + a 3 + ,+ an \ a 1# a 2 #a 3 ,a n n
4b 8c + 的最小值。 a + b+ 2 c a + b+ 3 c a + 2 b+ c = x a = - x + 5y - 3 z 解: 令 a + b + 2 c = y , 则 b = x - 2y + z a + b+ 3 c = z c= - y + z _u = - x + 2y 4x - 8y + 4z 8z - 8y + x y z y x + 2 x y + 4 z y + 2 y z
本题通过巧用常数 / 10 构造出了符合柯西不等 式的形式及条件, 继而达到解题目的。
6
向量法
5
柯西不等式法
柯西不等式 : 设 a 1 , a 2 , ,, an ; b 1 , b 2 , ,, b n 均
在求有些多元函数的最值时 , 恰当构造向量模 型, 利用向量的坐标及内积, 常可使复杂问题变得简 单明了, 使繁琐的解题显得巧妙与自然。 例 6. 已知 x + y = 1, 求 3 x + 2 y 的最大值。 解: 由已知, 可取点 M ( 3, 2) , 设 N ( x , y ) 是圆 x + y = 1 上任一点, O 为原 点, 则 OM = ( 3, 2) , ON = ( x , y ) , _ | OM | =
2 2 2
1 4 9 1 4 9 + + = ( x + y + z )# + + x y z x y z