二元函数的极值与最值解读
二元函数极值与最值的区别与联系
二元函数极值与最值的区别与联系
二元函数的极值是指函数在二元平面上取得的最大值或最小值，而最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。
区别：
1. 极值针对的是一个特定的点，而最值是函数在整个定义域上的取值范围。
2. 极值可能存在多个，而最值只有一个或不存在。
3. 极值点必须满足导数为零或不存在导数的条件，而最值只需要比较函数值。
联系：
1. 最值是极值的一种特殊情况，即函数在整个定义域上取得极值。
2. 寻找极值的过程常常涉及到找出最值的情况，比如通过比较函数在边界点和极值点的值来确定最值。
3. 极值的存在与函数的最值有一定的关联，特别是当极值点在定义域的边界上时，它可能是函数的最大值或最小值。
综上所述，二元函数的极值是局部的最值，而最值是全局的最值，它们有一定的联系和区别。
二元函数的极值与最值问题
⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。
我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。
与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。
那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。
但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。
那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。
令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。
我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。
既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。
二元函数最大值最小值
二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。
二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。
2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。
具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。
3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。
3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。
3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
7.7二元函数的极值和最值
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
驻点 (3)
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什
么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件） ABC法则
1. 条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条
件限制，这种情况下的极值称为条件极值. 相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
（1）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极大值；
（2）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
(2)当AC B2 0时,没有极值;
(3)当AC B2 0时,为可能极值 ,需另作讨论 . （证略）
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 求fxx ( x, y), fxy( x, y), fyy ( x, y).
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
第八节二元函数的极值与最值
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
考研数学备考重点解析如何求二元函数的极值和最值
2014考研数学备考重点解析——如何求二元函数的极值和最值极值和最值问题共分三类题型，即无约束极值、条件极值和有界闭区域上连续函数的最值. 做题时第一步是要确认类型，然后对应相应的解决方法进行求解.（一）无约束极值求二元函数),(y x f z =无约束极值的步骤是：⑴解驻点方程(,)0,(,)0,x yf x y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得驻点00(,)x y ； ⑵求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===；⑶判别：若20AC B ->，则00(,)f x y 是极值，且0A >时00(,)f x y 是极小值，0A <时00(,)f x y 是极大值；若20AC B -<，则00(,)f x y 不是极值.【例1】设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的医学考研论坛函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【解析】分析：极值结合隐函数求导方程两边对x 求导，得26220z z x y y z x x∂∂---=∂∂，⑴ 方程两边对y 求导，得6202220z z x y z y z y y∂∂-+---=∂∂，⑵ 令0z x ∂=∂，0z y ∂=∂，得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3,,x y z y =⎧⎨=⎩代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x ，解得9,3,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或者9,3,3,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩⑴式两边对x 求导，得22222222()20z z z y z x x x∂∂∂---=∂∂∂， ⑴式两边对y 求导，得22622220z z z z z y z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂，⑵式两边对y 求导，得22222202222()20z z z z z y z y y y y y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂， 将9,3,3,x y z ===0z x ∂=∂，0z y ∂=∂代入，得22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,,623z z z A B C x x y y ∂∂∂====-==∂∂∂∂ 2110,0366AC B A -=>=>，故点(9,3)是),(y x z z =的极小医学考研论坛值点，极小值为(9,3)3z = 类似可得点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.（二）条件极值求条件极值的步骤是：⑴先构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为某一常数；⑵解驻点方程(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩得00(,)x y ；⑶求出相应的函数值00(,)f x y .注：这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ϕ=，(,,)0x y z ψ=下的极值.先构造拉格医学考研论坛朗日函数12(,,,,)(,,)F x y z f x y z λλ=+12(,,)(,,)x y z x y z λϕλψ+，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.【例2】求椭球面 1222222=++cz b y a x 的内接长方体的最大体积. 【解析】设内接长方体位于第一卦限的顶点为(,,)x y z ，则它的长、宽、高分别为2x ，2y ，2z ，问题归结为求体积8V xyz =(0,0,0)x y z >>>在条件1222222=++cz b y a x 下的最大值. 构造拉格朗日函数:222222(,,,)8(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=+++-解驻点方程组:222222222280,280,280,10, xyzxL yzayL xzbzL yxcx y zLa b cλλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩得唯一驻点：x y z===由实际意义知道，内接长方体的最大体积存在，其最大体积为maxV==（三）有界闭区域D上连续函数的最值因为有界闭区域D上连续函数的最值一定存在，所以只要分别求出函数在D的内部和D的边界上可能取得最值的点.其中内部的可能最值点按无约束极值的求法，求出若干驻点，但只取落入D内的驻点（注意：这里不需要用二阶条件来验证极值）.D的边界上的最值点按条件极值的求法求出.医学考研论坛最后，比较所有这些可能点处函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.【例3】求二元函数)4(),(2yxyxyxfz--==在直线6=+yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.【解析】⑴先求函数在D内的驻点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---=')4(),()4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内驻点)1,2(,且4)1,2(=f,⑵再求D的边界上的可能的最值点在边界0=x和0=y上,0),(=yxf；在边界6=+yx(06)x<<上，xy-=6，于是232()(,6)(6)(2)212(06)g x f x x x x x x x=-=--=-<<,由2()6240g x x x'=-=,得4x=，且(4)(4,2)64g f==-，⑶故4)1,2(=f 为最大值,64)2,4(-=f 为最小值.。
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数极值的定义
一、极值
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义，
对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y)：
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，
则称函数在( x0 , y0 )有极大值；
若满足不等式
§1. 极值与最小二乘法
...
26
Yunnan
University
§1. 极值与最小二乘法
...
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Yunnan
University
§1. 极值与最小二乘法
...
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University
§1. 极值与最小二乘法
...
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Yunnan
University
§1. 极值与最小二乘法
...
...
8
Yunnan
University
§1. 极值与最小二乘法
fyy x0 x, y0 y C
且当x 0, y 0时， 0， 0， 0
f 1 ( Ax2 2Bxy Cy2 ) 1 (x2 2xy y2 )
2
2
当Kf Ax2 2Bxy Cy2 0时，
存在M0 x0 , y0 的一个邻域，使得在这个邻域内，
...
Yunnan University
f x, y0 f x0, y0 .
3
§1. 极值与最小二乘法
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
第六节多元函数的极值与最值
(2)求偏导
F f 0
x x x
令
F f 0
y y y
解得 (x, y) 及
F
0
(3)判断求出的点(x, y) 是否为条件极值点,
通常都是根据问题本身的实际意义确定.
例6 设长方体三边长度之和为a,试问三边
各取什么值时所得长方体的体积最大?
解 设三边长度各为 x, y, z 体积为V
A f xx ( x0 , y0 ) B fxy ( x0 , y0 ) C f yy( x0 , y0 ) D B2 AC
(1)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极大值点 (2)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极小值点 (3)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不是极值点
D B2 AC 9 36xy
对 (0,0) D 9 0 不是极值点
对 (1,1) D 27 0 且 A 6 0是极小值点
此时极小值为 f (1,1) 1.
补充 求 f (x, y) x2(2 y2 ) y ln y 的极值.
(2009年考研真题9分)
解 zx 2x(2 y2 ) zy 2x2 y ln y 1
(4)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不确定.
例1 求 z x3 y3 3xy 的极值.
解 zx 3x2 3 y zy 3 y2 3x
令
zx 3x2 3 y 0
zy 3 y2 3x 0
解得 (0,0) (1,1)
A zxx 6x B zxy 3 C zyy 6 y
令
zx
2x(2
y2)
0
zy 2x2 y ln y 1 0
解得 (0, 1 )
e
二元函数极值__概述说明以及解释
二元函数极值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元函数极值是数学中的一个重要概念，它涉及到在二元函数中找到其最大值或最小值的过程。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要优化某个目标的问题，例如最大利润、最小成本等。
而掌握二元函数极值的寻找方法，可以帮助我们解决这些优化问题。
本文将对二元函数极值的基本概念进行阐述，并介绍常用的寻找二元函数极值的方法。
同时，通过具体的实例分析和解释，展示这些方法在实际问题中的应用情况。
最后，在结论部分对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的应用前景。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、二元函数极值的基本概念、寻找二元函数极值的方法、实例分析和解释以及结论。
引言部分是文章开篇部分，主要对文章进行整体概述和结构说明。
第二部分将介绍二元函数极值的基本概念，包括函数极值定义、二元函数特点以及存在定理。
第三部分将详细介绍寻找二元函数极值的方法，包括偏导数法、梯度法和拉格朗日乘子法等。
第四部分将通过三个具体实例来分析和解释二元函数极值的应用，分别是最小化路径长度问题、最大化利润问题和最优装箱问题。
最后一部分是结论，对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的发展前景。
1.3 目的本文旨在介绍二元函数极值的基本概念和常用方法，并通过实例分析说明其在实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者将能够了解如何寻找二元函数的极值，并掌握相应的计算技巧。
同时，本文也希望为读者提供一些思路，引发对二元函数极值问题更深层次的思考，并展望其在未来的发展前景。
2. 二元函数极值的基本概念2.1 函数的极值定义:极值是指函数在某个特定区间内, 在该区间两侧都不存在更大或更小的函数值。
在二元函数中，我们考虑的是函数关于两个变量的取值情况。
对于一个二元函数f(x, y)，当存在一对实数(a, b) 属于定义域D(f) 时，使得f(a, b) 大于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，那么称(a, b) 是函数f 的极大值点；同样地，如果存在一对实数(c, d) 属于D(f)，使得f(c, d) 小于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，则称(c, d) 是函数f 的极小值点。
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
第八章
机动
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一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此 为极小值.
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二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别 当区域内部最值存在, 且只有一个 只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
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内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
8.4 多元函数的极值
f ( x, y ) > f ( x0 , y0 )
则称函数 f ( x, y ) 在点P0 ( x0 , y0 ) 有极小值 f ( x0 , y0 ) ,点 P0 称为函数的极小值点.极大值和极小值统称为极值, 使得函数取得极值的点称为极值点.
2.n元函数极值的概念: 2. 元函数极值的概念:设n元函数u=f(p)的定义域为 D 元函数极值的概念
f x ( x0 , y0 ) = 0 的点( x0 , y0 ) 称为函数的驻点. f y ( x0 , y0 ) = 0
极值的必要条件可重述为:可偏导函数的极值点必为驻点 可偏导函数的极值点必为驻点. 可偏导函数的极值点必为驻点 注: (1)但驻点不一定是极值点. 例如, 有驻点(0, 0), 但在该点不取极值.
z
y
思考: 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?x 提示: 利用对称性可知,x = y = z = 3 V0 提示:
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
例2. 求函数 解: 求驻点. 第一步 求驻点. 解方程组
的极值.
得驻点: (1, 0),(1, 2),(–3, 0),(–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 判别.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
4.二元函数极值的充分条件 4.二元函数极值的充分条件
8.8二元函数的极值
D 的内点。若存在 p0 的某个领域U ( p0 ) ⊂ D ，使得对 的内点。
于该领域内异于 p0 的任何点 ( x , y )都有
f ( x , y ) < f ( x 0 , y0 )
则 称 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 有 极 大 值 f ( x 0 , y0 ) 点
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1 ） AC − B > 0 时具有极值， 时具有极值，
2
时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时没有极值； （2 ） AC − B 2 < 0 时没有极值； 时可能有极值,也可能没有极值， （3） AC − B = 0 时可能有极值,也可能没有极值，
例 2 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长 方体水箱。问当长、 高各取怎样的尺寸时， 方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省。 才能使用料最省。
解 设水箱的长为 xm ，宽为 ym ，则其高应
2 为 m 。 此水箱所用材料的面积 xy 2 2 2 2 A = 2( xy + y ⋅ + x ⋅ ) = 2( xy + + )( x > 0, y > 0) xy xy x y 2 2 Ay = 2( x − 2 ) = 0 x = 3 2 ,y = 3 2 Ax = 2( y − 2 ) = 0 y x 即 当 水 箱 长 为 3 2m 、 宽 为 3 2m 、 高 为
8.8 二元函数的极值 一、二元函数的极值 二、条件极值与拉格朗日乘数法
极值与最值
结合(1),(2)的 讨论可知，
f ( x, y)在x 4, y 0处取得最小值，且最小值为 16。
有唯一驻点(1,0)
yLeabharlann 2.A 2 0 B 1 C 2 0 B2 AC 1 4 3 0
3. B2 AC 0, A 0 (1,0)为极小值点。 且z极小值 1 2 1
例2. 求函数 解: 1.解
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点
例3 求 f (x, y) 3x2 3y 2 x3 在 D {(x, y) | x2 y 2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f (x, y)在D内的极小值可能点。
得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去） 在点(2,0) 处f(2,0)=4
证明见 (P229) .
二元函数求极值的步骤:
1.解：zzxy
0 0
得驻点p1、p2、p3 pk。
2.求A, B,C 在pi处验证Di B2 AC的符号。
3.若Di 0,由A(C )的正负号判定pi为极大极小值点。
例1. 求函数
的极值.
解:
1.
z 2x y 2 0 x z x 2 y 1 0
(2)求出f (x, y)在D的边界{(x, y) x2 y 2 16, x 0}上的最小值 可能点
二元函数的极值与最值解读
二元函数的极值与最值解读二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。
对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。
注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂yz ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3232．利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
第八章 二元函数的极值
8 x 6 y 0.01(3 x xy 3 y ) 400
2 2
微积分
Lx ( x, y) 8 0.01(6 x y) 0
Ly ( x, y) 6 0.01( x 6 y) 0
得驻点(120,80)．
A L xx 0.06 0, B Lxy 0.01, C Lyy 0.06
微积分
例1
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10 0 确定的函数 z f ( x , y ) 的极值
解
将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
即边界上的值为零.
微积分
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
微积分
二、条件极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y )在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点，先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )， 其中 为某一常数，可由
微积分
根据实际问题可知S一定存在最小值。唯一的 极值应该是最小值。
即当x y z V 时，函数S取得最小值 V . 6
3
2 3
当箱子的长、宽、高都 6V 时，用料最省。 是
2 3
微积分
例4 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分 别为10元与9元，生产x单位的产品甲与 y单位的 产品乙总费用是
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二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。
对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。
注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂yz ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3232． 利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
这体现了考研的基本要求。
【解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以02262=∂∂-∂∂--xz z x z y y x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-y z z y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z x z 得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x 将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xz z x z x z y ， ,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yz z y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x z A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x z B ，35)3,3,9(22=∂∂=y z C ， 故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x z A ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x z B ，35)3,3,9(22-=∂∂=---y z C ， 可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程。
2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设在点),(),,(y x y x f ϕ),(00y x 某领域内有连续偏导数，引入辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=解联立方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∂∂=+=∂∂0),(0),('),('0),('),('y x y x y x f yF y x y x f x F y y x x ϕλϕλϕ 得),(00y x 可能是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值点例3经过点)1,1,1(的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题。
这一点大家应引起重视。
【解】设所求平面方程为)0,0,0(,1>>>=++c b a c z b y a x ．因为平面过点)1,1,1(，所以该点坐标满足此平面方程，即有1111=++cb a ． (1) 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V ， 则 abc V 61=． (2) 原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数 )1111(61),,(-+++=c b a abc c b a L λ． 求函数L 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.061,061,061222c ab b ac a bc λλλ 由此方程组和（9）解得a = b = c = 3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面x + y + z = 3．与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为.293613min =⨯=V 例4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R 万元与电视广告费x 万元及报纸广告费y 万元之间的关系为：221028321415y x xy y x R ---++=．⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵ 若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．【解】⑴ 利润函数为)(),(y x R y x L +-=221028311315y x xy y x ---++=，求函数L 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=--=∂∂.020831,04813y x yL x y x L解得75.0=x ，25.1=y ．则)25.1,75.0(为),(y x L 惟一的驻点．又由题意，),(y x L 可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为25.39)25.1,75.0(=L 万元．因此，当电视广告费与报纸广告费分别为75.0万元和25.1万元时，最大利润为25.39万元，此即为最佳广告策略．⑵ 求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件5.1=+y x 下， 求),(y x L 的最大值．作拉格朗日函数),(),(),(y x y x L y x F λφ+=)5.1(102831131522-++---++=y x y x xy y x λ．求函数),(y x F 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=∂∂=+--=∂∂.020831,04813λλy x yF x y x F 并和条件5.1=+y x 联立解得0=x ，5.1=y ．这是惟一的驻点，又由题意，),(y x L 一定存在最大值，故39)5.1,0(=L 万元为最大值．【评注】 本题也可由5.1=+y x ，解得x y -=5.1，代入目标函数转换成一元函数求解。
3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。
例5:（2007数学一）求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域D 上的最大值和最小值，其中：22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥ 。
【分析】 由于D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】 因为 2(,)22x f x y x xy '=-，2(,)42y f x y y x y '=-，解方程：22220,420x y f x xy f y x y '⎧=-=⎪⎨'=-=⎪⎩得开区域内的可能极值点为(.其对应函数值为( 2.f =又当y=0 时，2(,)f x y x =在22x -≤≤上的最大值为4，最小值为0. 当224,0,22x y y x +=>-<<，构造拉格朗日函数222222(,,)2(4)F x y x y x y x y λλ=+-++-解方程组 22222220,4220,40,x y F x xy x F y x y y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩得可能极值点：(0,2),(，其对应函数值为7(0,2)8,(.4f f == 比较函数值72,0,4,8,4，知f (x , y )在区域D 上的最大值为8，最小值为0. 【评注】当224,0,22x y y x +=>-<<，224x y -=代入目标函数转换成一元函数求解更简单。
例3:（2005数学二）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【解】 由题设，知 x xf 2=∂∂，y y f 2-=∂∂， 于是 )(),(2y C x y x f +=，且 y y C 2)(-='，从而 C y y C +-=2)(， 再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f（下略）。