6.4二元函数的极值与最值
二元函数的最值及其经济应用
二元函数的最值及其经济应用通常情况下，我们提到函数，会联想到单变量函数。
但实际上，有许多函数都是涉及多个变量的，其中最常用的是二元函数，也称作双变量函数。
二元函数可以表示一类简单的物理和经济场景，例如货币汇率、债券价格、税率和其他经济因素。
在经济学中，二元函数同样也发挥着重要作用，它可以用于描述投资、消费、生产等经济行为，以解释政府政策的影响以及投资者的决策等，所以，了解二元函数的最值及其经济应用，对于理解现代经济有着重要的意义。
首先，什么是二元函数的最值？二元函数的最值是指在一定约束条件下使函数值取得最大或最小值的点。
如果该函数的极值处是最大值，则称之为极大值，反之，则称之为极小值，也称为极值点。
求解二元函数的极值是一个复杂的过程，一般需要借助形如求导、极限等数学方法，以及建立数学模型来完成。
其次，二元函数的最值在哪些经济应用中有重要作用？一方面，二元函数的极值可以用于优化投资组合、改善生产结构、决定价格和营销政策等。
比如，当投资者决定投资组合结构时，他可以使用二元函数来优化该组合，也就是求投资组合的极值，从而获得最大收益。
大多数企业也是如此，他们会采用二元函数模型来优化生产结构，以达到约束条件下的最大产出。
同样，当一个企业决定营销政策的时候，也会使用二元函数模型来优化营销策略，使其得到最大收益。
另一方面，二元函数的极值还可以用于研究经济问题。
有些经济问题，如弹性、失衡、效用最大化等，可以用二元函数来描述，并分析其后果。
比如，当政府决定提高税率时，可以借助二元函数模型来估算政策对经济活动和投资者行为的影响，从而给出相关的政策建议。
最后，二元函数的极值在实际应用中也有重要意义。
比如，当一家企业决定把一款新产品投放市场的时候，它可以利用二元函数模型来确定该产品的最佳价格，从而使得该产品达到预期效果。
同样，在金融市场，投资者可以利用二元函数模型来估算投资组合的极值，从而获得最佳投资组合，以达到最大收益。
二元函数的极值
对于驻点 (0,0)，
A z xx
x 0 y 0
0，B z xy
x 0 y 0
3，C z yy
x 0 y 0
0.
所以
B 2 AC 0.
根据定理6.3，点 (0,0) 不是极值点. 对于驻点 (1,1)，
其中λ称为拉格朗日乘数. 求解方程组：
L f ( x, y ) g ( x, y ) 0， x x x Ly ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf y( x, y ) g ( x, y ) 0 y L g ( x, y ) 0.
此方程组的解 ( x0 , y0 ) 就是可能的极值点. 最后判 别 ( x0 , y0 )是否为极值点.
解
L 4 x 8 x 13 0， 1 2 x1 Lx2 8 x1 20 x2 31 0， Lx3 x1 x2 1.5 0.
得 x1 0，x2 1.5 . 根据问题的实际意义，在点
(0, 1.5) 处 f ( x1 , x2 ) 有条件极值. 即将广告费全部用
定理6.3 (极值存在的充分条件) 如果函数 f (x, y) 在 点(x0, y0)的某一邻域内有二阶连续偏导数，且
f x(x0, y0) = 0， f y(x0, y0) = 0. 记
A f xx ( x0，y0 )，B f xy ( x0，y0 )，C f yy ( x0，y0 )，
令
z x 13 8 x2 4 x1 0， 1 z 31 8 x1 20 x2 0. x2
得驻点x1 = 0.75 (百万元)，x2 = 1.25 (百万元).
二元函数的极值与最值问题
⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。
我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。
与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。
那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。
但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。
那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。
令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。
我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。
既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。
二元函数最大值最小值
二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。
二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。
2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。
具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。
3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。
3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。
3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
第八节二元函数的极值与最值
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
二元函数的极值
§10–7 二元函数的极值基础知识导学1. 二元函数的极值与驻点⑴ 极值与驻点①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则①当02<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；③当02=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴ 条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵ 拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。
考研数学备考重点解析如何求二元函数的极值和最值
2014考研数学备考重点解析——如何求二元函数的极值和最值极值和最值问题共分三类题型，即无约束极值、条件极值和有界闭区域上连续函数的最值. 做题时第一步是要确认类型，然后对应相应的解决方法进行求解.（一）无约束极值求二元函数),(y x f z =无约束极值的步骤是：⑴解驻点方程(,)0,(,)0,x yf x y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得驻点00(,)x y ； ⑵求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===；⑶判别：若20AC B ->，则00(,)f x y 是极值，且0A >时00(,)f x y 是极小值，0A <时00(,)f x y 是极大值；若20AC B -<，则00(,)f x y 不是极值.【例1】设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的医学考研论坛函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【解析】分析：极值结合隐函数求导方程两边对x 求导，得26220z z x y y z x x∂∂---=∂∂，⑴ 方程两边对y 求导，得6202220z z x y z y z y y∂∂-+---=∂∂，⑵ 令0z x ∂=∂，0z y ∂=∂，得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3,,x y z y =⎧⎨=⎩代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x ，解得9,3,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或者9,3,3,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩⑴式两边对x 求导，得22222222()20z z z y z x x x∂∂∂---=∂∂∂， ⑴式两边对y 求导，得22622220z z z z z y z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂，⑵式两边对y 求导，得22222202222()20z z z z z y z y y y y y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂， 将9,3,3,x y z ===0z x ∂=∂，0z y ∂=∂代入，得22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,,623z z z A B C x x y y ∂∂∂====-==∂∂∂∂ 2110,0366AC B A -=>=>，故点(9,3)是),(y x z z =的极小医学考研论坛值点，极小值为(9,3)3z = 类似可得点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.（二）条件极值求条件极值的步骤是：⑴先构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为某一常数；⑵解驻点方程(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩得00(,)x y ；⑶求出相应的函数值00(,)f x y .注：这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ϕ=，(,,)0x y z ψ=下的极值.先构造拉格医学考研论坛朗日函数12(,,,,)(,,)F x y z f x y z λλ=+12(,,)(,,)x y z x y z λϕλψ+，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.【例2】求椭球面 1222222=++cz b y a x 的内接长方体的最大体积. 【解析】设内接长方体位于第一卦限的顶点为(,,)x y z ，则它的长、宽、高分别为2x ，2y ，2z ，问题归结为求体积8V xyz =(0,0,0)x y z >>>在条件1222222=++cz b y a x 下的最大值. 构造拉格朗日函数:222222(,,,)8(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=+++-解驻点方程组:222222222280,280,280,10, xyzxL yzayL xzbzL yxcx y zLa b cλλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩得唯一驻点：x y z===由实际意义知道，内接长方体的最大体积存在，其最大体积为maxV==（三）有界闭区域D上连续函数的最值因为有界闭区域D上连续函数的最值一定存在，所以只要分别求出函数在D的内部和D的边界上可能取得最值的点.其中内部的可能最值点按无约束极值的求法，求出若干驻点，但只取落入D内的驻点（注意：这里不需要用二阶条件来验证极值）.D的边界上的最值点按条件极值的求法求出.医学考研论坛最后，比较所有这些可能点处函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.【例3】求二元函数)4(),(2yxyxyxfz--==在直线6=+yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.【解析】⑴先求函数在D内的驻点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---=')4(),()4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内驻点)1,2(,且4)1,2(=f,⑵再求D的边界上的可能的最值点在边界0=x和0=y上,0),(=yxf；在边界6=+yx(06)x<<上，xy-=6，于是232()(,6)(6)(2)212(06)g x f x x x x x x x=-=--=-<<,由2()6240g x x x'=-=,得4x=，且(4)(4,2)64g f==-，⑶故4)1,2(=f 为最大值,64)2,4(-=f 为最小值.。
二元函数的最值与极值
二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。
在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。
最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。
一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。
类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。
2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。
通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。
边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。
最值往往出现在函数在 D 的边界上。
极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。
二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。
2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。
通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。
一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。
二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。
对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。
三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数的极值和最值
二元函数的极值和最值二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。
当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。
一、定义首先，我们需要了解极值和最值的定义。
极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。
当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。
考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。
二、求解方法我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。
对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数：∂z/∂x=2x∂z/∂y=2y求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。
举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到：2x=02y=0由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。
除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。
若f(x0,y0)满足：① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点；② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点；③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。
同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到：∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。
3. 拓展方法除了上述两种方法外，我们还可以利用拉格朗日乘数法，求出约束条件下的极值和最值。
二元函数的极值
解之得:
x y
0 , 0
x 1 y 1
于是得其驻点为 (0, 0) (1,1)
求二阶偏导数得 fxx(x, y) 6x, fxy(x, y) 3, f yy(x, y) 6 y
因此 B2 AC 32 6x 6 y 9 36 xy
将 (0, 0) 点代入得 B2 AC 9 0 ,所以 (0, 0) 不是该函数的极值点.
同理可证 f y( x0 , y0 ) 0
第6章 多元函数微分学
四川教育学院 土木与交通工程学院
§6.4.1 无条件极值
2. 极值的必要条件 定理6.2 如果函数f (x, y) 在(x0, y0) 点处存在一阶偏导数，且在 点(x0, y0) 取到极值,则必有
fx(x0, y0 ) 0, f y(x0, y0 ) 0
分析：该方程所表示的图形？
首先用平面z=c 来截该图形,可将z=c 代入方程中得截口为
x2+y2=c。当c>0时，它是半径为 c 的圆，且平面往上平移时
圆愈来愈大;当c=0时,有x2+y2=0 即: x=0, y=0,可见这时截口仅
是一个点,即原点; 而当c<0 时,由于方程x2+y2<0无意义,可见当
§6.4.2 条件极值
2. 条件极值的解法 (2)拉格朗日乘数法——解题步骤 ➢ 构造拉格朗日函数 L(x, y,) f (x, y) g(x, y)
➢分别求L(x, y, z) 对x 、y、 的偏导数,令其为零建立方程组
Lx Ly
f x( x, y) gx ( x, y) 0 f y( x, y) gy ( x, y) 0
该曲面为旋转抛物面.
o
y
x
二元函数极值
⼆元函数极值Δ=AC-B²
判断⼆元函数极值⽅法如下：
设：⼆元函数 f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
Δ=AC-B²
如果：Δ>0
A0,f(x0,y0) 为极⼩值4102；
如果：Δ0
f(0,0)=0 为最⼩1653值。
求解函数极值⽅法：寻求函数整个定义域上的最⼤值和最⼩值是数学优化的⽬标。
如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最⼤值和最⼩值。
此外，整个定义域上最⼤值（或最⼩值）必须是域内部的局部最⼤值（或最⼩值），或必须位于域的边界上。
扩展资料
判断函数极值定义：
若函数f(x)在x₀的⼀个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的⼀个极⼤值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的⼀个极⼩值。
极值的概念来⾃数学应⽤中的最⼤最⼩值问题。
根据极值定律，定义在⼀个有界闭区域上的每⼀个连续函数都必定达到它的最⼤值和最⼩值，问题在于要确定它在哪些点处达到最⼤值或最⼩值。
如果极值点不是边界点，就⼀定是内点。
因此，这⾥的⾸要任务是求得⼀个内点成为⼀个极值点的必要条件。
高等数学(第二版)下册课件：二元函数极值和最值
因此，求解函数 z f (x, y) 极值的步骤：
第一步：解方程组 fx (x0, y0 ) 0，fy (x0 , y0 ) 0 求得一切实数解，即求得一切驻点;
第二步：对于每一个驻点 (x0 , y0 )
为 f 3,2 31 .
如果函数 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，则 f x, y 在 D 上必能取得最大值和最小值，并且函数
的最大值、最小值点必在函数的极值点或在 D 的边界
点中取得 . 因此，要求函数的最值点，我们只需求出函 数的驻点和偏导数不存在的点处的函数值，以及边界上 的最大、最小值，然后加以计较即可 .
,
y0
)
0
, fy (x0, y0 ) 0
同时成立的点
(x0, y0 ) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
定理6.8只给出了二元函数有极值的必要条件．那么, 我们如 何判定二元函数的驻点为极值点呢?对极值点又如何区分极 大值点和极小值点？有下面的定理.
.
定理6.9（充分条件）
设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
f
(x,
y)
y
(
x,
y)
0,
(x, y) 0.
得 x, y, ,其中 x, y 就是函数在条件 (x, y) 0下的可能
的极值点的坐标;
(3)确定所求点是否为极值点,在实际问题中往往可根据实际
问题本身的性质来判定.
这种直接寻求条件极值的方法就是拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法推广
求函数 u f (x, y, z,t) 在条件 (x, y, z,t) 0， (x, y, z,t) 0
二元函数极值的定义
§1. 极值与最小二乘法
设f x, y 在点 x0 , y0 取到极值，则
则 f f x0 x , y0 y f x0 , y0
1 ( f x 2 x0 x , y0 y x 2 2 f xy x0 x , y0 y xy 2 f yy x0 x , y0 y y 2 )
§1. 极值与最小二乘法
f yy x0 x, y0 y C
且当x 0, y 0时， 0， 0， 0
1 1 2 2 f ( Ax 2 Bxy C y ) (x 2 2xy y 2 ) 2 2
故当 y y0 ， x x0 时， 有
Yunnan University
f x, y0 f x0 , y0 .
§1. 极值与最小二乘法
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x0 处有极大值,
必有
类似地可证
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
在 (0,0) 处有极大值．
(2)
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
Yunnan University
(3)
§1. 极值与最小二乘法
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
A f x 2 x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f y 2 x0 , y0 ,
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
第八章
机动
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一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此 为极小值.
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二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别 当区域内部最值存在, 且只有一个 只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
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内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
极值与最值
结合(1),(2)的 讨论可知，
f ( x, y)在x 4, y 0处取得最小值，且最小值为 16。
有唯一驻点(1,0)
yLeabharlann 2.A 2 0 B 1 C 2 0 B2 AC 1 4 3 0
3. B2 AC 0, A 0 (1,0)为极小值点。 且z极小值 1 2 1
例2. 求函数 解: 1.解
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点
例3 求 f (x, y) 3x2 3y 2 x3 在 D {(x, y) | x2 y 2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f (x, y)在D内的极小值可能点。
得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去） 在点(2,0) 处f(2,0)=4
证明见 (P229) .
二元函数求极值的步骤:
1.解：zzxy
0 0
得驻点p1、p2、p3 pk。
2.求A, B,C 在pi处验证Di B2 AC的符号。
3.若Di 0,由A(C )的正负号判定pi为极大极小值点。
例1. 求函数
的极值.
解:
1.
z 2x y 2 0 x z x 2 y 1 0
(2)求出f (x, y)在D的边界{(x, y) x2 y 2 16, x 0}上的最小值 可能点
6.4 二元函数的极值汇总
4
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求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 2 的符号，再判定是否是极值.
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当
2) 当 3) 当 这个定理不加证明.
2018年11月1日星期四
时, 具有极值 时, 没有极值.
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
时, 不能确定 , 需另行讨论.
x y 6 所围成的三角形区域 D 上的最大值和最小值.
提示: 首先考察函数z在三角形区域D内的极值 其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和 最小值.
2018年11月1日星期四
11
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说明: 从上例可以看出，计算函数f(x, y)在有界闭区域
D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.
bc 2 0 La 6 a L 1 ac 2 0 b 6 b2 L 1 ab 3 0 a 6 c2 1 2 3 1 0 a b c
22
2018年11月1日星期四
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得 a 3,b 6 , c 9 . 这是唯一可能的极值点,由于实际问题的最 小值一定存在,所以最小值就在这个可能的极值 x y z 点取得 . 故平面 1 与坐标平面在第一 3 6 9 卦限所围立体的体积最小,最小体积为 1 V 3 6 9 27 . 6
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是一个带有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)，其中x和y分别是独立变量。
当我们定义一个函数时，我们通常希望找到函数的最大和最小值等重要信息。
在这篇文章中，我们将探讨二元函数的极值点和最值点，以及如何找到它们。
极值和最值的概念首先，我们需要了解的是“极值”和“最值”的概念。
在微积分中，极值是指在一个函数曲线上的局部最大值或最小值。
具体地说，一个函数在一个点上的导数为零，这个点就是函数的驻点。
如果该点是一个局部最大值或最小值，则它是该函数的一个极值点。
最值是在函数的定义域内找到的最大值或最小值。
二元函数的极值点要找到二元函数的极值点，我们需要找到函数曲面上的局部最大值或最小值。
这意味着我们需要找到函数曲面上的所有可能的驻点。
与一元函数类似，我们可以使用偏导数来找到驻点。
因此，对于二元函数f(x, y)，我们可以用以下公式来计算它的偏导数：∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0这些方程可以帮助我们找到一个或多个可能的驻点。
然而，这些驻点可能是最大值或者最小值，或者它们根本不是。
我们还需要使用二阶偏导数来确定驻点的角色。
如果二阶偏导数是：1. 正的，那么这个点是局部最小值点。
2. 负的，那么这个点是局部最大值点。
3. 0，那么这个点不是极点。
最终，我们将找到所有可能的极值点，以及它们的角色和函数值。
二元函数的最值点要找到二元函数的最大值和最小值，我们要按照以下步骤进行：1. 找到函数曲面上的所有极值点2. 在函数的定义域内找到函数曲面上的所有最大值和最小值。
3. 在找到的所有值中找到全局最大值和最小值。
在这个过程中，我们需要使用一些数学方法来找到最大值和最小值。
最常见的方法是使用拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于最值问题的数学方法。
这个方法的基本思想是，如果一个函数f(x, y)在限制条件g(x, y)下取得最大值或最小值，那么这个点的梯度向量（∇f）和限制条件的梯度向量（∇g）之间应该是平行的。
《高职应用数学》教案 第33课 二元函数的极值和最值
（2min）
【教师】清点上课人数，记录好考勤
【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况
复习
（10min）
【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解
【学生】做复习题目
复习所学内容，为讲授新课打好基础
讲授新课
（33min）
【教师】引入课题——利用偏导数求二元函数的极值
，
其定义域为 ．
由 求得驻点为 ．
由于 为开区域，且该问题必有最小值存在，于是 必为 的最小值点，此时 ，因此长方体的长、宽、高分别为 时，容器所需铁皮最少．
【学生】二元函数极值的定义，并掌握其求法；掌握二元函数最大值与最小值的求法，及其应用
学习二元函数极值和最值的相关知识。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化
求函数 的极值．
解先求偏导数
，
．
解方程组 求得驻点为 和 ．
在驻点 处，
，即有 ，故点 不是函数的极值点．
在驻点 处，
，即有 ，且 ，故点 是函数的极小值点， 为函数的极小值．
【教师】讲解二元函数最大值与最小值的求法，并通过实际案例介绍其应用方法
若函数 在有界闭区域 上连续，则函数在 上一定取得最大值和最小值．若函数的最大值或最小值在区域 的内部取得，则最大值点或最小值点必为驻点．因此，求出驻点处的函数值及边界上函数的最大值和最小值，其中最大值便是函数在闭区域 上的最大值，最小值便是函数在闭区域 上的最小值．
定理1（极值存在的必要条件）设函数 在点 处有极大值，且在该点的偏导数存在，则必有 ．
使一阶偏导数 的点 称为 的驻点．
由定理1可知，可导函数的极值点必然是驻点，但是驻点却不一定是极值点．例如，点 是函数 的驻点，但不是其极值点．
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问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理6.4.2（充分条件） 设函数z=f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内 有定义，且具有一阶及二阶偏导数，M0(x0, y0) 为f(x,y)的驻 点，令
A= f’’xx (x0, y0) ，B= f’’xy (x0, y0) ，C= f’’yy (x0, y0) （1）当AC-B2>0时，具有极值；
根据已知条件，有 xy 2 yz 2xz 27
则
z 27 xy ,
2( x y)
带人V有
27 xy 27 xy x2 y2
V xy
2( x y) 2( x y)
而
V y2 (27 2xy x2 ) V y2(27 2xy y2 )
x
2( x y)2
, y
2( x y)2
令
V x
0,
V
0,
解得x=y=3,从而 z 3 ,这时V 27 m3 .
2
2
y
3 木箱即有当最木大箱体的积长为、2宽7 m、3高. 分别为3m，3m，2 m 时，
2
作业 求函数 f(x,y)=xy2 –y2 +xy 的极值点和极值。
9
在边界上的任一点处，都有
f (x, y) 1 1 2 2 1
因此，在 x2
y2
1
93
上，f(x,y)的最大值为1，最小值为
2
2
9
3
例6.4.3 做一个无盖的长方体箱子共用去27m2 的木板，求此箱 的最大体积。
解：设箱的长、宽、高分别为 x m，ym，zm，则木箱的体积为
V xyz( x, y, z 0),
(1)在空心邻域内，当 x x0 时f '(x) 0, x x0 时 f '(x) 0, 则f (x0 ) 是函数的极大值， x0是极大值点.
(2)在空心邻域内，当 x x0 时f '(x) 0, x x0 时 f '(x) 0, 则f (x0 ) 是函数的极小值， x0是极小值点. (3)在空心邻域内，f '(x) 的符号保持不变，那么x0不是函数的 极值点.
例如：z = xy 有驻点(0, 0)，但(0, 0)不是极值点。
fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x 轴的斜率.
fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y 轴的斜率.
3
y2
3x
0,
得驻点(0, 0) , (1, 1) ；
求二阶偏导数得
f ''xx ( x, y) (3x2 3 y)'x 6x f ''xy ( x, y) (3x2 3 y)'y 3, f ''yy ( x, y) (3 y2 3x)'y 6 y.
4. 列表讨论驻点是否为极值点
-72 非极值点
-6
72 极大值点
6
72 极小值点
-6
-72 非极值点
由f 表''x可x ( x知, y（) -3(,32x）2 为 6极x 大 9值)'x点，6x极大6,值是 f (3, 2) 31 ， （1,0）f '是'xy 极( x,小y)值点(3，x2极 小6x值 为9)'fy (1,00), 5.
当A>0时， f (x0, y0)为极小值；当A<0时， f (x0, y0) 为极 大值；
（2）当AC-B2<0时， f (x0, y0)不是极值； （3）当AC-B2=0时， f (x0, y0)可能是极值，也可能不是极值。
例6.4.1 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
驻点
A
B
C AC-B2
结论
（0,0） 0
-3
0
-9 非极值点
（1,1） 6
-3
6
27 极小值点
由表可知（1,1）为极小值点，极小值是 f (1,1) 1 .
二.二元函数的最值
f 在有界闭域上连续 依 据 f 在有界闭域上可达到最值
最 值
驻点；
可
疑 点
边界上的最值点。
求最值的一般方法： （1）先求出函数f(x,y)在D内的极值； （2）求出f(x,y)在D的边界上的最值； （3）比较（1）和（2）的结果，即可得到最大值和最小值。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取 得极值的点称为极值点.
y
a o x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
b
x
定理3.2.2（必要条件）如果点x0是函数y=f(x)的极值点， 则是x0是f(x)的驻点 ( f '(x0 ) 0) 或一阶导数不存在的点.
定理3.2.3（第一充分条件）设函数y=f(x)在x0处连续，且 在x0的某邻域内可导.
M0(x0, y0)称为函数f (x, y)的极大值点(极小值点)。
极大值与极小值统称为极值；极大值点 与极小值点统称为极值点；
注意：极大值(或极 小值)是局部的最大 值(或最小值)。
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.二元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）如果函数 z=f(x, y) 在点 M(x0, y0)处 的两个偏导数存在，且在该点处取得极值，则
f’x (x0, y0) = 0， f’y (x0, y0) = 0
注意: 使偏导数都为 0 的点称为驻点。但驻点不一 定是极值点。
求出二阶偏导数的值 A、B、C。
第四步 由AC-B2的符号判定是否是极值，并 求出相应的极大值或极小值。
练习 求函数 f(x,y)=x3 +y3 -3xy 极值点和极值。
解: 求偏导数，得 f 'x (x, y) 3x2 3 y, f 'y(x, y) 3 y2 3x.
解方程组 3x2 3 y 0,
解: 1. 求偏导数，得
f 'x (x, y) 3x2 6x 9, f 'y( x, y) 3 y2 6 y.
2. 解方程组
3x2 6x 9 0,
3 y2 6 y 0,
得驻点(–3, 0) , (–3, 2) , (1, 0) , (1, 2) ；
3. 求二阶偏导数得 f ''xx ( x, y) (3x2 6x 9)'x 6x 6, f ''xy ( x, y) (3x2 6x 9)'y 0,
注：可能极值点的左右两侧 f '(x)异号，则x0必定是f(x)的极值 点；否则x0不是极值点.
定理3.2.4（第二充分条件）设函数y=f(x)在x0处具有二阶 导数且 f '(x0 ) 0, f ''(x0 ) 0, 那么
(1) 当 f ''(x0 ) 0 时，函数f(x)在点 x0处有极大值. (2) 当 f ''(x0 ) 0 时，函数f(x)在点 x0处有极小值.
f ''yy ( x, y) (3 y2 6 y)'y 6 y 6.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求函数 z=f (x, y)极值的一般步骤：
第一步 求偏导数 f 'x (x, y), f 'y (x, y);
第二步
解方程组
f 'x (x, y) 0
f
'y (x,
y)
0
求得驻点。
第三步 对于每一个驻点 (x0 , y0 )
第六章 多元函数微积分
二元函数的极值与最值
6.4.1 二元函数的极值 6.4.2 二元函数的最值
复习：函数的极值
定义3.2.1 设函数f(x)在x0的某邻域 N (x0 , )内有定义，对 于任意的 x N (x0 , )，有 f (x) f (x0 )(或 f (x) f (x0 ) )，则 称 f (x0 )是函数f(x)的一个极大值(或极小值).
一、二元函数的极值
1.定义
定义6.4.1 设函数z=f (x, y)在M0(x0, y0)的某邻域 N (M0 , )内有定
义，如果在N (M0 , ) 内，除M0以外的任一点M(x,y)有
f (x, y)<f(x0, y0)（或f (x, y)>f(x0, y0)）
xy z ex2 y2
则称f(x0, y0)为函数f (x, y)的极大值（极小值）
f ''yy ( x, y) (3 y2 6 y)'y 6 y 6.
驻点(–3, 0) , (–3, 2) , (1, 0) , (1, 2) ； 4. 列表讨论驻点是否为极值点
驻点
A
B
（-3,0） -12 0
（-3,2） -12 0
（1,0） 12
0
（1,2） 12
0
C AC-B2
结论
6
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 则 f (P)就是最值。
例6.4.2 求函数 f ( x, y) 1 x2 y2 在圆域D: x2 y2 1上的
最值。
9
解由
f
'x (x,
y)
f
'y (x,
y)
x 0, 1 x2 y2
y 0 1 x2 y2