多元函数的极值与最值例题极其解析

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第八节多元函数的极值及其求法

(12) 6 02 72 < 0
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)

多元函数求极值及其应用的题

多元函数求极值及其应用的题1、求多元函数$f(x,y)=2x^2-3xy+4y^2$在$D={(x,y)|x^2+y^2leq1}$上的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的点。

2、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数 $f(x,y)=x^3-3xy^2$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

3、已知函数 $f(x,y)=x^2-2xy+3y^2$，求它在椭圆区域$D={(x,y)|frac{(x-1)^2}{4}+frac{(y-2)^2}{9}leq 1}$ 上的最大值和最小值。

4、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=ln(x^2+y^2-2x-6y+10)+2x+y-5$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

5、已知函数 $f(x,y)=2x-3y+xy^2$，求它在三角形区域 $Delta ABC$ 上的最大值和最小值，其中 $Delta ABC$ 的三个顶点分别为$A(0,2)$，$B(2,0)$，$C(0,-2)$。

6、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数 $f(x,y)=e^{xy}-x^2-y^2$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

7、已知函数 $f(x,y)=frac{sin x}{x}+frac{sin y}{y}$，求它在 $D={(x,y)|x,y>0}$ 上的最大值和最小值。

8、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=sqrt{x^2+y^2}-xy$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

9、已知函数 $f(x,y)=cos(x-y)-sinfrac{x+y}{2}$，求它在矩形区域 $D=[-pi,pi]times[-pi,pi]$ 上的最大值和最小值。

10、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

多元函数极值问题的答案详解

x x0 y y0
方法 2：对
f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
0
充分条件 2：设则点多元函数极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点一元函数极值多元函数极值
一元函数可能极值点一元函数可能拐点多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点多元函数驻点或不可偏导点
2
1 无条件极值多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件多元函数极值 3 充分条件 4 驻点
2-1-1 定义一元函数极值
一元函数拐点
多元函数极值
必要条件一元函数极值一元函数拐点多元函数极值设点
x , f x 为曲线 y f x 的拐点，且 f x 存在，则 f x =0
x x 2 重点（2015 数二）已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称性，作减法后不止 x y 能求解.

多元函数极值与最值

多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。

而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。

对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。

1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。

（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。

1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。

1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。

2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。

2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。

它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。

具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。

它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。

具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。

3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。

3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。

§7多元函数Taylor公式和极值问题练习参考解答

887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=；（2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=；（3） )0(333>−−=a y x axy z ；（4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。

多元函数的极值与最值

（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值，（3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,

3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .

多元函数微分法应用-极值与最值

2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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结束
如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组

高等数学第九章多元函数极值典型问题

1 设函数22(,)22f x y xax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．2 求函数22z xxy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180xxy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值．1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．分析这是二元函数求极值的反问题, 即知道(,)f x y 取得极值,只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在,因此点(1,1)-必为驻点, 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩, 因此有410a ++=,即5a =-．因为22(1,1)4f A x-∂==∂,2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂, 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂,2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>,40A =>,所以,函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．分析这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点与在区域边界上的最大值和最小值点,比较其函数值即可．解由20zx y x∂=-=∂,20z y x y ∂=-=∂解得0x =,0y =,且(0,0)0z =．在边界1,0,0x y x y +=≥≥上,22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+,它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和14；同理,在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果．在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上,22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++,在[0,1]上最大值和最小值为1和34；同理,在边界1,0,0x y x y -=≥≤上有相同的结果．综上所述,函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值分别为 max 13max 0,,,1144z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, min 13min 0,,,1044z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭．注求多元连续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时,求出可能的极值点后,并不需要判别它是否为极值点．另外,求函数在边界上的最大值和最小值时,一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其他方法,比如用条件极值的方法或不等式的技巧．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．分析本题考查由方程确定的隐函数的极值问题,应先求出驻点．再求出二阶偏导数,利用充分条件判定是否为极值点．解因为2226102180x xy y yz z -+--+=,所以方程两边分别对x 与y 求偏导,得令 303100z x y x y z z x y z yy z ∂-⎧==⎪∂+⎪⎨∂-+-⎪==⎪∂+⎩,解之得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3x yz y =⎧⎨=⎩．将3x y =,z y =代入2226102180x xy y yz z -+--+=可得933x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或933x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩, 即点(9,3)与点(9,3)--是可能的极值点,下面判定是否为极值点．在〔1〕式两边对x 求偏导,得2222222220z z z y z x x x ∂∂∂⎛⎫---= ⎪∂∂∂⎝⎭,在〔1〕式两边对y 求偏导,得22622220z z z z zy z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂,在〔2〕式两边对y 求偏导,得2222220222220z z z z zy z y y y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-----= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭,所以22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,623zz zA B C xx yy∂∂∂====-==∂∂∂∂．故21036AC B -=>,又106A =>,从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为 (9,3)3z =．类似地由22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,.623z z zA B C xx yy---------∂∂∂==-====-∂∂∂∂．故21036AC B -=>,又106A =-<,所以点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．综上所述,点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为(9,3)3z =；点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值．分析条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值,或用拉格朗日乘法来求．解法1将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 于是由解得32a y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则2432,32,322(3)8a a a a u a A z a y z y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,242,32,32(698)12a a a a u a B yz a y z y z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂∂,2422,32,326(2)9a a a a u a C y z a y z z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,2444820,08912144a a a a AC B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=>< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以,当,,32326a a a a ay z x a ===--=时,函数取得极大值,且极大值为236,,632632432a a a a a a a u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解法2 令23(,,)()(,,,)F x y z xy z x y z a x y z a R λ+=+++-∈,于是由解得632a x a y a z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即(,,)632a a a 为可能的极值点,将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 则(,)32a a为可能的极值点,余下解法同解法1,求出,,A B C ．知,6a x =,3a y =2az =时,函数取得极大值6432a u =．。

多元函数的极值最值及应用

多元函数的极值最值及应用多元函数是指含有多个自变量的函数，其极值是指在定义域内取得的函数值中最大值和最小值。

对于多元函数的极值最值的求解，我们一般采用找到驻点和边界点的方法，即求取函数的偏导数，然后解方程组得到驻点，再通过分析边界点得到函数的极值。

首先，对于多元函数的驻点，我们需要求取函数的偏导数。

对于一个二元函数，例如f(x,y)，我们需要求取\frac{\partial f}{\partial x} 和\frac{\partialf}{\partial y}。

一般来说，驻点就是满足\frac{\partial f}{\partial x} = 0 和\frac{\partial f}{\partial y} = 0 的点。

对于一个三元函数，例如g(x,y,z)，我们需要求取\frac{\partial g}{\partial x}，\frac{\partial g}{\partial y} 和\frac{\partial g}{\partial z}，满足\frac{\partial g}{\partial x} = 0，\frac{\partial g}{\partial y} = 0 和\frac{\partial g}{\partial z} = 0 的点就是驻点。

然后，我们需要通过求取边界点来确定函数的极值。

对于一个二元函数，边界点一般是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1)、(x_2, y_2) 等。

对于一个三元函数，边界点则是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1, z_1)、(x_2, y_2, z_2) 等。

一般来说，我们通过求取上述的驻点和边界点，然后将它们代入多元函数中，比较得到的函数值来确定极值最值。

对于驻点，我们可以通过计算二阶偏导数来判断函数取得的是极大值还是极小值。

如果二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极小值；如果二阶偏导数的行列式小于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极大值。

多元函数的极值和最优化问题

多元函数的极值和最优化问题多元函数的极值和最优化问题是微积分中的重要内容。

在实际问题中，我们常常需要确定一个函数在给定约束条件下的最大值或最小值，以寻找最优解。

这个过程通常称为最优化问题的求解。

在多元函数中，我们考虑的是具有多个自变量和一个因变量的函数。

首先，我们来讨论多元函数的极值。

类似于一元函数中的极值点，对于多元函数而言，极值点是函数局部最大值或最小值出现的点。

对于多元函数的极值问题，我们需要使用梯度和Hessian矩阵来判断是否存在极值点。

梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向；Hessian矩阵是一个方阵，它包含了函数的二阶偏导数。

通过分析梯度和Hessian矩阵的特征值，我们可以判断局部极值点的存在性和类型。

若函数的Hessian矩阵在某一点的特征值全为正，则该点为局部最小值点；若全为负，则为局部最大值点。

若特征值出现正和负的情况，则该点为鞍点。

然而，需要注意的是，极值点并不一定是最优解，最优解可能是全局最大值或最小值点。

在解决最优化的问题时，我们常常需要引入约束条件。

约束条件可以是等式约束或不等式约束，它们限制了自变量的取值范围。

最优化问题分为无约束和有约束两种情况。

对于无约束的最优化问题，我们可以使用梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等方法来寻找最优解。

这些方法的基本思想是通过迭代计算，逐步逼近最优解。

梯度下降法是一种常用的无约束优化方法。

它利用函数的梯度信息来确定下降的方向，不断更新自变量的取值，直到达到极小值。

牛顿法则利用二阶导数信息，通过二次逼近的方式求解最优解。

拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，用近似的方式来代替Hessian矩阵，从而减少计算复杂度。

对于有约束的最优化问题，我们需要引入拉格朗日乘子法或KKT条件来求解。

拉格朗日乘子法将约束条件与目标函数联立起来，通过求解拉格朗日函数的驻点来确定最优解。

KKT条件是一种常用的方法，在满足一定条件下，将有约束优化问题转化为无约束优化问题，再应用相应的方法求解。

多元函数的极值和最值

练习题
一、填空题: 1、函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在_______点取得极_________值为___________. 2、函数 z xy 在附加条件x y 1 下的极______值为_____________. 3、方程 x 2 y 2 z 2 2x 4 y 6z 2 0 所确定的函数z f ( x, y) 的极大值是___________,极小值是_____________.
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y0 ) 点均取得极值，则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )是否也取得极值？
思考题解答
不是. 例如 f ( x, y) x 2 y 2,
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值; 当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值; 但 f ( x, y) x2 y2在(0,0) 不取极值.
条件极值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值

多元函数求极值的方法总结

多元函数求极值的方法总结
（1）多元函数取极值的必要条件：
（2）多元函数取极值的充分条件：
（3）求条件极值的方法：
解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：
题型一：求多元函数的极值
例1：（2012年真题)求函数f(x,y)=x*e^(-(x^2+y^2)/2)的极值。

分析：解决本题的方法主要利用多元函数取极值的充分条件。

解：
题型二：多元函数条件极值的求法
求条件极值常用的有两种方法，以求函数f(x,y)在条件
g(x,y)=0下的极值为例：
（1）化为无条件极值
若从条件g(x,y)=0中可解出y=y(x)，再带入z=f(x,y)，则可化为无条件极值。

（2）拉格朗日乘数法
例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。

解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。

解：构造拉格朗日函数:
总结：本题给出了求解条件最值问题的一般方法。

高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值

极值的必要条件
必要条件一
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，则该点的导数$f'(x_0)$必定为零。
必要条件二
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，则该点的二阶导数$f''(x_0)$必定存在且不为零。
极值的充分条件
第一充分条件
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的，则函数在点$x_0$处取得极小值。
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无约束条件的求解方法求得极值点。
惩罚函数法
通过构造一个惩罚函数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无约束条件的求解方法求得极值点。
序列二次规划法
将原问题转化为一系列二次规划问题，利用二次规划的求解方法逐一求解，最终得到极值点。
数。
答案与解析
计算下列函数的极值点
$f(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 10$的极值点为 $(0,0)$和$(2,-2)$。
$g(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6$的极值点为$(1,2)$和$(1,2)$。
求函数$f(x,y) = x^2 + y^2$在点$(1,1)$ 处的梯度：$nabla f(1,1) = (2,2)$。
高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值
目录
• 引言 • 多元函数极值的基本概念 • 多元函数的最值 • 多元函数的极值与最值的求解方法 • 习题与答案
01 引言
主题简介
01
多元函数极值与最值是高等数学中的一个重要主题，主要研究多元函数在某个区域内的最大值和最小值问题。

多元函数的极值及最值(参考)

令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos 2 sin 2 ) 0
解得:
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos 2 sin 2 ) 0 60 , x 8 (cm) 3
24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
x
2
2
x
24 2 x
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24
A 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
例 1.
求二元函数
z f ( x , y ) x 2 y(4 x y ) 在直线 x y 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
f (4,2) 64 为最小值.
x y 例 2. 求 z 2 的最大值和最小值. 2 x y 1
( x 2 y 2 1) 2 x ( x y ) 解由 zx 0, 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)
V V ( x, y, z ) xyz

考研数学-专题14多元函数极值与最值

在 (0,3) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (3,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (1,1) 点
AC − B2 = 3 > 0, 有极值.
故应选(D).
【例 2】设函数 f (x) ， g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0 ， g(0) < 0 ，且 f ′(0)
【解】
⎧ ⎨ ⎩
z z
x y
= =
y(3 x(3
− −
2x 2y
− −
y) x)
= =
0 0
(0,0), (0,3), (3,0), (1,1). 都满足上式.
zxx = −2 y, zyy = −2x, zxy = 3 − 2x − 2 y.
在 (0,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
【例 3】已知函数 z = f (x, y) 的全微分 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy, (a > 0) ，则函数
f (x, y)
(A)无极值点；
(B)点 (a, a) 为极小值点；
(C)点 (a, a) 为极大值点；
(D)是否有极值点与 a 的取值有关。
【解】由 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy 知， ∂z = ay − x2, ∂z = ax − y2
专题 14：多元函数的极值与最值
（一）无条件极值
定义设函数 z = f (x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点 P(x, y) 均有
f (x, y) ≤ f (x0, y0 ) （或 f (x, y) ≥ f (x0, y0 ) ），则称 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大值点（或极小值点）；称 f (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大

(整理)多元函数的极值及其求法.

第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.内容分布图示★ 引例 ★ 二元函数极值的概念例1-3★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16*数学建模举例★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-6 ★ 返回内容提要：一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值；如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0<A 时有极大值),(00y x f ；(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、 C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ϕ在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ϕλϕλϕλ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲：二元函数极值的概念例1（讲义例1）函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.例2（讲义例2）函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，22y x z +-=表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）. 例3（讲义例3）函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）例4（讲义例4）求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.例5 证明函数y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值例6（讲义例5）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.例7 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x , x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.例8 求函数22233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.例9 求122+++=y x yx z 的最大值和最小值.例10（讲义例6）某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.例11（讲义例7）设1q 为商品A 的需求量, 2q 为商品B 的需求量, 其需求函数分别为,10420,4216212211p p q p p q -+=+-=总成本函数为2123q q C +=，其中21,p p 为商品A 和B 的价格, 试问价格21,p p 取何值时可使利润最大?例12 求函数xyz u =在附加条件)0,0,0,0(/1/1/1/1>>>>=++a z y x a z y x (1) 下的极值.条件极值拉格朗日乘数法例13（讲义例8）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.例14（讲义例9）在经济学中有个Cobb-Douglas 生产函数模型,),(1a a y cx y x f -=式中x 代表劳动力的数量, y 为资本数量(确切地说是y 个单位资本), c 与)10(<<a a 是常数, 由各工厂的具体情形而定. 函数值表示生产量.现在已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是=),(y x f ,1004143y x 每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元. 该制造商的总预算是50000元. 问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高.例15（讲义例10）设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用y x ,(单位:万元)之间的关系为 yy x x R +++=101005200 利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大?例16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c , 每台电视机的销售价格为p , 销售量为x .假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量. 根据市场预测, 销售量x 与销售价格为p 之间有下面的关系:ap Me x -= )0,0(>>a M (1) 其中M 为市场最大需求量, a 是价格系数. 同时, 生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c 有如下测算: x k c c ln 0-= (1,0>>x k ), (2) 其中0c 是只生产一台电视机时的成本, k 是规模系数. 根据上述条件, 应如何确定电视机的售价p , 才能使该厂获得最大利润?数学建模举例1．最小二乘法数理统计中常用到回归分析，也就是根据实际测量得到的一组数据来找出变量间的函数关系的近似表达式. 通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式. 这是一种广泛采用的数据处理方法. 经验公式建立后，就可以把生产或实践中所积累的某些经验提高到理论上加以分析，并由此作出某些预测. 下面我们通过实例来介绍一种常用的建立经验公式的方法.例17（讲义例11）为测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如下实测数据：8.243.257.251.263.265.268.260.27)(76543210)(76543210毫米刀具厚度小时时间顺序编号i i y t i试根据这组实测数据建立变量y 和t 之间的经验公式).(t f y =注：本例中实测数据的图形近似为一条直线，因而认为所求函数关系可近似看作线性函数关系，这类问题的求解比较简便.有些实际问题中，经验公式的类型虽然不是线性函数，但我们可以设法把它转化成线性函数的类型来讨论.2．线性规划问题求多个自变量的线性函数在一组线性不等式约束条件下的最大值最小值问题，是一类完全不同的问题，这类问题叫做线性规划问题. 下面我们通过实例来说明.例18（讲义例12）一份简化的食物由粮和肉两种食品做成, 每份粮价值30分, 其中含有4单位醣, 5单位维生素和2单位蛋白质; 每一份肉价值50分, 其中含有1单位醣, 4单位维生素和4单位蛋白质. 对一份食物的最低要求是它至少要由8单位醣, 20单位维生素和10单位蛋白质组成, 问应当选择什么样的食物, 才能使价钱最便宜.下面的例子是用几何方法来解决的.例19（讲义例13）一个糖果制造商有500g 巧克力, 100g 核桃和50g 果料. 他用这些原料生产三种类型的糖果. A 类每盒用3g 巧克力, 1g 核桃和1g 果料, 售价10元. B 类每盒用4g 巧克力和1g 核桃, 售价6元. C 类每盒是5g 巧克力, 售价4元. 问每类糖果各应做多少盒, 才能使总收入最大?课堂练习1.求函数)(2)(),(22222y x y x y x f --+=的极值.2.求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f z +-+==在由x 轴, y 轴及直线π2=+y x 所围成三角形中的最大值.3.某工厂生产两种产品A 与B, 出售单价分别为10元与9元, 生产x 单位的产品A 与生产y 单位的产品B 的总费用是:)()33(01.03240022元y xy x y x +++++求取得最大利润时, 两种产品的产量各多少?。

高等数学典型例题与解法(二)04-第73讲【多元函数的极值与条件极值】随堂练习题解答_78

第73讲多元函数的极值和条件极值练习题解答1、求函数222(,)x y f x y x e 的极值．【解】令2222222222(,)()(1)0x y x y x y x f x y ex ex x e，222222(,)()0x y x y y f x y x ey xye，解得驻点为(1,0) 或(1,0).又22222222222(,)2(1)()(3)x y x y x y xxf x y xe x ex x x e，22222222(,)(1)()(1)x y x y xyf x y x e y y x e，2222222222(,)()(1)x y x y x y yyf x y xe xyey x y e.在驻点(1,0) 处，12(1,0)2xxA f e，(1,0)0xy B f ，12(1,0)yy C f e ，由于2120B AC e ，且0A ，故函数在(1,0) 处取极小值，极小值为12(1,0)f e.在驻点(1,0)处，12(1,0)2xxA f e，(1,0)0xy B f ，12(1,0)yy C f e，由于2120B AC e ，且0A ，故函数在(1,0)处取极大值，极大值为12(1,0)f e.2、求函数2222()(,)(2)x y f x y x y e 在闭区域 22(,)4D x y x y 上的最大值和最小值．【解】由题设，对变量,x y 分别求偏导数，并令(,)(,)0x y f x y f x y ，则有2222(21)0,(22)0.x x y y x y 解得区域 22(,)4D x y x y 内的驻点为(0,0),(0,1),(1,0) .在D 的边界上，令2cos ,2sin x y ，则22424(,)(4cos 8sin )(44sin )f x y e e ，故(,)f x y 在区域D 的边界上的最大值和最小值分别为48e 和44e .由于11(0,0)0,(0,1)(0,1)2,(1,0)(1,0)f f f e f f e ，所以(,)f x y 在区域D 上的最大值和最小值分别为11441max max 0,2,,8,4(0,1)(0,1)2f e e e e f f e ， 1144min min 0,2,,8,4(0,0)0f e e e e f .3、试用拉格朗日乘数法求点(0,1,1)P 到直线20,270y x z 的距离．【解】设(,,)M x y z 为直线上一点，构造拉格朗日函数如下：222(,,,,)(1)(1)(2)(27)L x y z x y z y x z .求解方程组20,2(1)0,2(1)20,20,270xy z L x L y L z L y L x z可得唯一驻点(1,2,3) . 由于该问题存在最小值，因此点(0,1,1)P 到直线的距离为d .。