一次二阶矩法

z lnR lnS
Z
2 lnR
2 ln
S
可靠指标为：
Z lnR lnS
Z
2 lnR
2 ln
S
ln(R S
1 1
2 S
2 R
)
ln
[(1
2 R
)(1
2 S
)]
根据x的统计参数，求 lnx的统计参数
lnx ln(
x )
1
2 x
2 lnx
ln(1
2 x
)
随机变量为正态分布，由 其形成的线性函数也服从 正态分布。
0.7037
3
(x2* x1*) x3
[(x2* x3*) x1 ]2 [(x1* x3*) x2 ]2 [(x2* x1*) x3 ]2
Z
Z*
g( x1 , x2
, xn
)
n i1
(xi
xi
)
g xi
根据概率论中随机变量参数估计 ，Z*的统计参数为:
Z* g(x1 , x2 xn )
2 Z*
(g(x1 , x2
xi
xn
)
xi
)2
结构的可靠指标
Z Z* Z Z*
g(x1 , x2 ,xn )
(g(x1
结论：随机变量为正态分布（或对数正态分布）， 且功能函数为线性函数的条件下，结构的可靠指 标或失效概率可根据随机变量的统计参数方便的 求出。
4.1.2中心点法——引言
假定随机变量x1、x2…xn服从任意分布，功能函数
Z g(x1, x2 ,xn )
不是线性函数，这时, 精确求解Z的平均值和标准差是非 常困难的，即便能够求得，Z也不服从正态分布，也不 能用上面方法来计算结构的可靠指标。 若将非线性功能函数作为泰勒级数展开，并取其一次 展开式（前两项）。但一次展开式已不是原来的功能函 数，所计算可靠指标与结构失效概率之间不再存在精确 的对应关系。 在这种情况下如何选择展开点，从而使近似计算结果与 精确失效概率的误差最小,成为一次二阶矩法要研究的 问题。
, x2 xi
xn
)
xi
)2
4.1.3中心点法举例
钢梁承受确定性弯矩M 128.8kN.m ,截面塑性抵抗 矩W和屈服强度f都是随机变量，已知统计参数 为： W： W 884.9106 m3 W 0.05 f： f 262MPa f 0.1 试用中心点法计算该钢梁抗弯的可靠指标
对数正态分布的定义:若lnR、lnS 服从正态分布，则 称R、S服从对数正态分布。
假定抗力R和荷载效应S均服从对数正态分布，且结 构功能函数可表示为Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服 从正态分布,Z也服从正态分布，是lnR、lnS的线性函 数，根据正态随机变量的特性，其平均值及标准差 也可以精确得到：
中心点法的线性示意图
该法选用的线性化点（即平 均值点）不在失效边界上
Z
g(x1 , x2 , xn )
n
(xi
i1
xi
)
g xi
1 2
n i1
n
(xi
j 1
xi )(x j
x
j
)
2g xi x
j
Z
Z*
g( x1 , x2
, xn
)
n i1
(xi
xi
)
g xi
4.2验算点法(改进的一次二阶矩法）
W2
2 W
2 f
2 f
W2
(
2 f
W2
)
25920.9
z 103043.8 3.975 Z 25920.9
2 Z
g [
x1
xi
x1
]2
g [
x2
xi
x2 ]2
[Z f
xi
f
]2
[
Z W
i W ]2
w2
2 f
2f
2 W
Z* g(x1 , x2 xn )
2 Z*
( xi
上次相等或误差不超过允许值，此时即为所求的
可靠指标，xi* 即为所确定的设计验算点坐标。
Pf ( )
4.2.3验算点法举例
设极限状态功能函数为 Z g(x1, x2, x3) x1x2 x2x3 x1x3 x1 x2 x3 均为随机变量，并具有如下统计信息： x1 10, x1 1 x2 5, x2 1 x3 2, x3 0.5 试用验算点法计算结构的可靠指标
x*
整理后得
n g
i1 xi
(x* xi xi* i xi ) 0
由于
g x i
x* 0 ， 必有
（对于所有i） xi xi* i xi 0
或表达为：xi* xi i xi
(13) g(x1*, x2*, xn* ) 0
(14)
4.2.2设计验算点法求可靠指标 xi xi* i xi 0
在中心点处展开为泰勒级数：
Z
g(x1 , x2 , xn )
n
(xi
i1
xi
)
g xi
1 2
n i1
n
(xi
j 1
xi )(x j
x
j
)
2g xi x
j
4.1.2中心点法—— 基本原理
设结构的极限状态方程为 Z g(x1, x2,xn )
将极限状态函数在中心点M= ( x1 , x2 ,)x3处展开为泰勒 级数，并作线性化处理，得
1.取均值作为验算点初值 x1* x1 10, x2* x2 5, x3* x3 2
Z g(x1, x2, x3) x1x2 x2x3 x1x3 i
xi
g xi
x*
n
( xi
i 1
g xi
x*)2
(11)
2.计算 i
g x1
x2
x3
x2*
x3*
g x2
x1 x3
x1* x3*
i
xi
g xi
x*
n
( xi
i 1
g xi
x*)2
(11)
Z
n
( xi
i 1
xi*
)
g xi
x*
(8)
Z
n
i xi
i1
g xi
x*
(10)
4.2.2设计验算点法求可靠指标
根据可靠指标的定义，有
Z
n i 1
g xi
( xi
xi* ) x*
(12)
Z
将 乘到分母上
n
i xi
i 1
g xi
(5)
Z
g(x1* , x2* , xn* )
n
( xi
i1
xi*
)
g xi
x*
(6)
由于设计验算点在失效边界上，故有
则有
g(x1*, x2*,xn* ) 0
Z
n
( xi
i 1
xi*
)
g xi
x*
(7)
(8)
Z
g(x1* , x2* , xn* )
n i1
(xi
xi* )
g xi
x*
(5)
4.2.2设计验算点法求可靠指标
假设各随机变量独立，则可求解Z的方差：
2 Z
n
( xi
i1
g xi
x* )2
(9)
Z
n i 1
( xi
g xi
)2
x*
引入分离函数式，将上面的根式线性化，得
Z
n
i xi
i1
g xi
x*
(10)
i 表示第ｉ个随机变量对整个标准差的相对影 响，因此称为灵敏系数。
4.2.1验算点法基本思想
运用泰勒级数进行线性化处理时,略去高 阶项的误差随线性化点到失效边界的距 离增加而增大（中心点法运用泰勒级数 在中心点处展开进行线性化处理）。
选择在失效边界Z＝0的某点处将极限状 态函数展开为泰勒级数，以避免这种形 式的误差。
——验算点法
4.2.1验算点法基本思想
关于设计验算点
或表达为：xi* xi i xi
(13)
g(x1*, x2*, xn* ) 0
(14)
式（13）代表n个方程，再加上（14）共有n+1
个方程，未知数有 和 xi* ，也是n+1个。可联
立求解。
解出设计验算点P*（x1* ，x2* ，… xn*）及相应的
——常用迭代法求解
xi xi* i xi 0
假定抗力R和荷载效应S均服从正态分布，对于功 能函数Z=R-S，,由于Z是R、S的线性函数，根据
正态随机变量的特性，Z也服从正态分布，其平
均值及标准差分别为:
z R S
Z
2 R
2 S
则定义可靠指标： Z R S
Z
2 R
2 S
为什么可以定义 来衡量结构的可 靠程度？
令 z z t z
g(x1 , x2
xn ) xi )2
4.1.3中心点法举例
解法2
取功能函数
Z f M W
极限状态方程为
Z f M 0 W
Z
f
M
W
116.45MPa
z
2 f
( M
W
)2
2 w
2f
2 f
( M
W
)
2
2 w
27.19MPa
z 116.45 4.283 Z 27.19
2 Z
4.1.1.简单问题可靠指标的求法 4.1.2.中心点法基本原理 4.1.3.中心点法举例 4.1.4. 对中心点法的评述
在介绍中心点法之前，先回顾功能函数为线性函数， 随机变量为正态分布情况下的可靠指标问题。
4.1.1简单问题可靠指标（或失效概率）的求法
I随机变量为正态分布，且功能函数为线性函数
（2）前者的可靠指标是唯一的，并与失效概率有精 确的对应关系，而中心点法可靠指标与建立的功能 函数表达式的形式有关。
4.1.3对中心点法的评述
中心点法的主要弱点
没有考虑基本变量的概率分布 均值、方差及可靠指标的计算式是误差传递公式 同一个结构往往可以列出几种等价的极限状态方程，
不同的极限状态函数在运用中心点法计算时，其结 果可能不一致。 将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合 理，由于平均值不在极限状态曲面上，展开后的线 性极限状态面可能会较大程度地偏离原来的极限状 态曲面。 基本变量不服从正态分布和对数正态分布时，计算 出的结构可靠指标与结构的实际情况出入较大。
4.2.2设计验算点法求可靠指标
计算步骤
（1）选取设计验算点坐标的初值，一般取
＝ xi*
xi
（2）由式（11） 计算i 的值，其中包括 （3）由式（13）得到 xi* 和 的关系
g xi
x*
（4）由式（14）解出 值
（5）将该值代入式（13），求出 xi* 新值 以该xi*新重复进行（2）-（5）计算，直到 值与
一次二阶矩法是在基本变量xi(i= 1，2…n)， 的概率分布尚不清楚中时，采用只有均值 (又称为一阶原点矩)和标准差(又称为二阶中 心矩)的数学模型去求解结构可靠度的方法 。
Ch4 一次二阶矩法
4.1 一次二阶矩中心点法 4.2 一次二阶矩验算点法 4.3 JC法
4.1一次二阶矩中心点法
g x3
x2
x1
x2*
x1*
1
(x2* x3* ) x1
[(x2* x3*) x1 ]2 [(x1* x3*) x2 ]2 [(x2* x1*) x3 ]2
0.2639
2
(x1* x3* ) x2

[(x2* x3*) x1 ]2 [(x1* x3*) x2 ]2 [(x2* x1*) x3 ]2
z z zt
Z Z
正态分布功能函数Z，其失效概率与可靠指标之
间的精确关系
0
0
Pf
f (z)dz
[
1
(zz )2
e
2
2 Z
]dz
2 Z
Z
Pf
Z
1
t
e2
dt
(
Z
)
(
)
2
Z
这种情况下可靠指标是 唯一的，且与失效概率 之间有精确的对应关系。
Z
Z
II随机变量为对数正态分布，功能函数为线性函数
Z* g(x1 , x2 xn )
2 Z*
( xi
g(x1 , x2
xn ) xi )2
4.1.3中心点法举例
解法1
取功能函数 Z fW M fW 128800
极限状态方程为 Z fW 128800 0
Z f W 128800 103043.8(N.m)
z
2 f
设点P(x1，x2…，xn)为极限状态方程Z=0所 对 应 的 曲 面 上 的 点 ， d(P，M) 为 点 P 到 中 心
点M( x1 , x2 ) xn 的距离，则能使mind(P，M)
的点P*称为设计验算点，简称为验算点。 记为P*(x*1，x*2…，x*n)，显然验算点的坐
标满足
Z g(x1*,x2*,xn*) 0
[ g x1
xi
x1
]2
[ g x2
xi x2 ]2
[Z f
xi
f
]2
[ Z W
i W ]2
1
2 f
M
( W 2
)2
2 W
4.1.4对中心点法的评述
与随机变量为正态分布、功能函数为线性函数的情
况下求可靠指标，形式一样( z)，却有本质的区
别：
Z
（1）中心点法不论R、S的概率分布如何，直接用其 平均值、标准差求可靠指标。事实上，平均值、标 准差相同的随机变量有无穷多个，每一种情况的可 靠度都是不同的，而这里是同一个结果。
重复4直到值与上次相等或误差不超过允许值此时即为所求的可靠指标即为所确定的设计验算点坐标本例第三次迭代求得8975第四次迭代求得即为最终结果设计验算点法求可靠指标评述验算点法对极限状态方程中服从正态分布的随机变量计算结果尚可而非正态分布误差较大
ch4一次二阶矩法
引言
一次二阶矩法是求解非时变荷载作用下结构 可靠度问题的行之有效的近似方法。它既有 较高的精度，又有较高的计算效率 。
验算点法示意
验算点法 M
Z
g(x1 , x2 , xn )
n
(xi
i1
xi
)
g xi
1 2
n i1
n
(xi
j 1
xi )(x j
x
j
)
2g xi x
j
4.2.2设计验算点法求可靠指标
理论推导——确定验算点位置进而求可靠指标
当线性化点选在设计验算点xi*(i=1,2,…n)上时
Z的均值为Z（ 求g(xZ1*, 的x2*,数 xn*学) 期in1 (望xi 得xi* )）xgi x*