高三数学上学期第一次段考试题文

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太湖中学高三第一次段考数学试题（文科）
（总分150分 时间120分钟）
一．选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合}20|{}11|{<<=<<-=x x Q x x P ，，则P
Q =（ ）
()()()().1,2 .0,1 .1,0 .1,2A B C D --
2.王昌龄《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”。

其中最后一句“攻
破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分条件
D.必要条件
3.已知幂函数f （x ）=x n 其中n ∈{﹣2，﹣1，1，3} 的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是（ ）
A ．f （﹣2）＞f （1）
B ．f （﹣2）＜f （1）
C ．f （2）=f （1）
D ．f （﹣2）＞f （﹣1）
4．函数y =2|x |
sin 2x 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知0.4
1.9
a =，0.4log 1.9
b =， 1.9
0.4c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
6.在ABC ∆
中，60,2A a b =︒==，则B 等于（ ）
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．30° 7.已知2)4
tan(=+
π
x ，则sin2x=( )
A. 35-
C. 3
5
D.1
8. 将函数π3sin(4)6
y x =+的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π
6个单位，
所得函数图象的一个对称中心为（ ） A. 7π(
,0)48 B. π(,0)3
C. 7π(,0)12
D. 5π
(,0)8
9.函数()1
x
b
f x a e =++(a,b ∈R)是奇函数，且图像经过点(ln3,21)，则函数()f x 的值域为( )
A ．(－1,1)
B ．(－2,2) C. (－3,3) D ．(－4,4)
10..已知定义在R 的函数()f x 满足()()22f x f x -=--，且当2x ≥-时，()23x
f x =-.
若函数()f x 在区间(),1k k +()k Z ∈上有零点，则k 的值为（ ） A ．1或－6 B ．0或－5 C. 0或－6 D ．1或－5
11．已知)3(log )(2
+-=ax x x f a ,0(>a 且)1≠a 满足对于任意,,21x x 当2
21a
x x <
<时，总有0)()(21>-x f x f ，那么a 的取值范围是（ ）
. (0, 3)A (1, 3)B
. (0,C
. (1,D 12.
设函数()x
f x m
π=，若存在()f x 的极值点0x 满足222
00[()]x f x m +<，则m 的取
值范围是（ ）
A ．(－∞,－6)∪(6,+∞)
B ．(－∞,－2)∪(2,+∞) C. (－∞,－4)∪(4,+∞) D ． (－∞,－1)∪(4,+∞) 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知扇形的圆心角为60︒，其弧长为π，则此扇形的半径为 ，面积为 .
14.已知函数2,01(),πsin ,14
x x f x x
x ⎧≤<⎪
=⎨≥⎪⎩则=-+)7log 3()2(2f f _____．
15.函数ax x x f -=ln )(在[1,+∞)上递减，则a 的取值范围是 ．
16、若函数f(x)= ⎪⎩
⎪⎨⎧<<-≥--+10,21
,1ln 22
x x ax x b a x a 对任意实数b 均恰好有两个零点，则实
数a 的取值范围是_____．
三．解答题（本题共6道小题，共70分）
17. （12分）已知集合A ＝{x|0322≤--x x }，B ＝{x|09222≤-+-m xm x }，
m ∈R.
(1)若m ＝3，求A ∩B ；
(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． 18.（12
分）已知函数21
()cos cos 2
f x x x x =-
(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
3,6ππ上的最大值和最小值. 19.（12分）已知函数2
()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为
32ln 22y x =-++.
(1)求,a b 的值；
(2)若方程()0f x m +=在求m 的取值范围（其中e 为自然对
数的底数）.
20.(12分）如图，在ABC ∆
中，,3
B B
C π
=
=D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E
为垂足.
(1)若BCD ∆，求CD 的长；
(2)若DE ，求角A 的大小. 21.（12分）设函数ax ax e x x f x -+-=2
2
1)2()(. (1)讨论)(x f 的单调性；
(1)设1=a ，当0≥x 时，2)(-≥kx x f ，求k 的取值范围.
选做题：（下面两题任选一题作答）
22（满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．圆
C 的参数方程为cos ,
sin ,
x a a y a θθ=+⎧⎨
=⎩（θ为参数，05a <<），直线:sin()4l πρθ+=
直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB =．
(1)求a ；
(2)若M ，N 为曲线C 上的两点，且3
MON π
∠=，求OM ON +的最小值．
23.（ 满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数|1||2|)(-+-=x a x x f ，a ∈R ．
(1)若不等式|1|2)(--≥x x f 恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)当1=a 时，直线m y =与函数)(x f 的图象围成三角形，求m 的取值范围.
高三文科数学段考试题答案
一．选择题：
二．填空题： 13. 3
32π 14.157
15. [1,+∞) 16.()∞+，
2 解答题
17.（12分）解：(1)由题意知，A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|m －3≤x ≤m+3}. 当m ＝3时，B ＝{x|0≤x ≤6}，∴A ∩B ＝[0,3]．
(2)由q 是p 的必要条件知，A ⊆B ，结合(1)知解得0≤m ≤2.
∴实数m 的取值范围是[0,2]． 18.（12
分）解：（Ⅰ）21
()cos cos 2
f x x x x =
+-
1
2cos 22
x x =
+ π
sin(2)6x =+
所以函数()x f 的最小正周期π=T
由π
π
π
2π22π26
2
k x k -
??()k ÎZ 得63ππππ+≤≤-k x k ()k ÎZ
所以 ()f x 的单调递增区间为()ππ
[π,π]36k k k -+?Z
（Ⅱ）因为3
6ππ≤≤-x 所以π5π
2666x π-??
. 所以 当ππ2-66x +=，即π-6x =时，()f x 取得最小值1
-2 当ππ262x +=，即π
6
x =时，()f x 取得最大值1
19.（12分）解：
且ln 2462ln 22,a b -=-++解得2, 1.a b ==
（Ⅱ）2()2ln f x x x =-，令
2
()()2ln ,h x f x m x x m =+=-+ 令()0h x '=，得1(1x x ==-舍去).
时，
()0,
h x
'>∴
当时
()
h x是增函数；
当
(1,e]
x∈时，()<0,
h x
'∴
当
(1,e]
x∈时()
h x是减函数；
于是方程
()0 h x=在
20.（12分）解（1
）由已知得
1
sin
2
BCD
S BC BD B ∆
=⋅⋅=
又BC B
==得
BD
在BCD
∆中，由余弦定理得
CD=
3
=
=
所以CD的长为3.
（2）在ABC
∆=
又由已知得，E为AC中点，∴2
AC AE
=，
所以
3
sin
2
AE A
⋅=又
sin
tan
cos
DE A
A
AE A
==，
所以sin cos
AE A DE A A
⋅=⋅=，
得cos A=
4
A
π
=即为所求.
21.（12分）解：（Ⅰ）R
x∈
,)
)(1
(
)
(a
e
x
x
f x+
-
=
'
当0
≥
a时，)1,
(-∞
∈
x，0
)
(<
'x
f；当)
,1(+∞
∈
x时，0
)
(>
'x
f；
所以f(x)在)1,
(-∞单调递减，在)
,1(+∞单调递增
当0
<
a时，令0
)
(=
'x
f得x=1 ，x=)
ln(a
-
（1）当e
a-
<时，)1,
(-∞
∈
x，0
)
(>
'x
f；当))
ln(
,1(a
x-
∈时，0
)
(<
'x
f；
当)),(ln(+∞-∈a x 时，0)(>'x f ；
所以f(x)在)1,(-∞，)),(ln(+∞-a 单调递增，在))ln(,1(a -单调递减 （2）当e a -=时，0)(≥'x f ，所以f(x)在R 单调递增 (3) 当0<<-a e 时， ))ln(,(a x --∞∈，0)(>'x f ； 当)1),(ln(a x -∈时，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ； 所以f(x)在))ln(,(a --∞，),1(+∞单调递增，在)1),(ln(a -单调递减 （Ⅱ）令22
1)2(2)()(2
+--+
-=+-=kx x x e x kx x f x g x 有k x e x x g x
--+-='1)1()( 令k x e x x h x
--+-=1)1()(，有1)(+='x
xe x h 当0≥x 时，01)(>+='x
xe x h ，)(x h 单调递增，
所以k h x h --=≥2)0()(，即k x g --≥'2)( （1）当2k ,02-≤≥--即k 时，0)(≥'x g ，)(x g 在),0(+∞单调递增，
0)0()(=≥g x g ，不等式2)(-≥kx x f 恒成立
（2）当2k ,02-〉<--即k 时，0)(='x g 有一个解，设为0x 根
所以有),0(0x x ∈，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ；)(x g 单调递增，所以有0)0()(0=<g x g ，故当0≥x 时，2)(-≥kx x f 不恒成立； 综上所述，k 的取值范围是]2,(--∞
22.（10分）解析：（I ）由cos ,sin ,x a a y a θθ=+⎧⎨
=⎩，得cos ,
sin ,x a a y a θθ-=⎧⎨=⎩
∴圆C 的普通方程为()222x a y a -+=．即圆心为(,0)a ，半径
r a =．
sin()sin cos cos sin 4
4
4
πππ
ρθρθρθ+=+=
把cos ,sin x y ρθρθ==代入，得直线l 的普通方程为40x y +-=
圆心到直线的距离d=，
∴AB==
()2
2
4
2
2
a
a
-
-=，
05
a
<<，∴2
a=．
（Ⅱ）由（I）得，圆C的普通方程为()22
24
x y
-+=．
把cos,sin
x y
ρθρθ
==代入，得()22
cos2(sin)4
ρθρθ
-+=，
化简，得圆C的极坐标方程为2cos
ρθ
=．
依题意，设()
11211
(,),(,)(0,2)
3
M N
π
ρθρθθπ
+∈，
1211111
4cos4cos6cos)
36 OM ON
ππρρθθθθθ
⎛⎫
∴+=+=++=-=+
⎪
⎝⎭
()
1
0,2
θπ
∈∴OM ON
+
的最小值为-（答案错误，无最小值）
23、（10分）解：（I）()2|1|
f x x
≥--恒成立，即11
2
||+||
a
x x
--≥恒成立，
min
11
2
||+||
a
x x
∴--≥
（）成立，由111
222
||+||||=||
a a a
x x x x
--≥--+-得11
2
||
a
-≥，
解得：0
a≤或4
a≥，所以a的取值范围为0][4,)
-∞+∞
（，．
（Ⅱ）当1
a=时，
1
23
2
1
()|21||1|(1)
2
32(1)
x x
f x x x x x
x x
⎧
-≤
⎪
⎪
⎪
=-+-=<<
⎨
⎪
-≥
⎪
⎪⎩
（）
做出()
f x的图像，如图所示：可知，当
1
1
2
m
<≤时，直线y m
=与函数的图象围成三角形，即所求m的取值范围为
1
1]
2
（，．
22题
（Ⅱ）设α=∠MOX ，则απ
-=
∠3NOX ,.3
0π
α≤
≤
于是)3
sin(34)3
cos(4cos 4π
ααπα+
=-+=+ON OM
因为,3
0π
α≤
≤所以
,3
23
3
π
π
απ
≤
+
≤.62334)(min =⨯=+ON OM。