人教课标版高中数学选修1-2《复数代数形式的加减运算及其几何意义》疑难点拨

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》疑难点拨
一、复数的加法及其几何意义
1.复数加法的理解
规定复数的加法按照以下法则进行:设()(12,,,z a bi a b R z c di c d =+∈=+∈ )R 是任意两个复数,那么它们的和()()()().a bi c di a c b d i +++=+++
注意：(1)复数的代数形式的加法运算法则是一种规定，计算时按规定进行.
(2)复数加法中的规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加.很明显，两个复数的和仍然是一个复数.
复数加法满足交换律、结合律,即对任意的123,z z z C ∈、、有1221;z z z z +=+ ()()()123123132.z z z z z z z z z ++=++=++
2.复数加法的几何意义
设12,OZ OZ 分别与复数(),,,,a bi c di a b c d R ++∈对应，则()12,,OZ a b OZ == (),,c d 由平面向量的坐标运算，得()12,OZ OZ a c b d +=++.
这说明两个向量1OZ 与2OZ 的和就是与复数()()a c b d i +++对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法进行12,OZ OZ 、不共线(如图)，以12OZ OZ 、为邻边画12,OZ ZZ 则其对角线OZ 所表示的向量OZ 就是复数()()a c b d i +++对应的向量.这是复数加法的几何意义.
说明：(1)以上探求的是两个复数所对应的向量不在同一直线上的情况,此时用平行四边形法则较容易.
(2)当12OZ OZ 、共线时,我们可以画一个
“压扁”了的平行四边形,并据此画出它的对角线来表示12OZ OZ 、的和.
例1(★★☆)计算：
(1)()()235;i i -++- (2)()()
1212;i i -++-
(3)()()()234,.a bi a bi i a b R ++-+∈
解题导引 按照复数代数形式的加法运算法则计算.
例2(★★☆)若()()310219,i y i x i -+-+=-求实数,x y 的值.
解题导引 分离实、虚部→依据复数相等的条件求,x y →得,x y 值
例3(★★☆)如图所示，已知平行四边形,OABC 点,,O A C 所对应的复数分别为0,32,24,i i +-+试求：
(1)AO 所表示的复数，BC 所表示的复数；
(2)对角线OB 所表示的复数及OB 的长度.
解题导引 写出,,O A C 的坐标→结合向量进行运算→求模
二、复数的减法及其几何意义
1.复数的减法法则
复数的减法法则:设,,,,a b c d R ∈则()()()().a bi c di a c b d i +-+=-+- 说明：(1)两个复数的差也是复数，复数的减法是复数加法的逆运算.
(2)两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
(3)复数的加(减)法法则与多项式加(减)法法则相类似.
2.复数减法的几何意义
复数的减法是加法的逆运算，设12OZ OZ 、分别与复数12z a bi z c di =+=+、
(),,,a b c d R ∈对应,且12OZ OZ 、
不共线(如图)，则这两个复数的差12z z -与向量12OZ OZ -(等于21Z Z )对应,这是复数减法的几何意义.
说明：两个复数的差12z z -(即12OZ OZ -)与平面向量的几何意义是一致的.
拓展:复平面内，两复数对应的两点间的距离就是这两个复数的差的模.表达 式为21||.d z z =-
复平面内两点间的距离公式与解析几何中两点间的距离公式具有一致性.设 ()1112221122,,,,,z x y i z x y i x y x y R =+=+∈则()()212211||||d z z x y i x y i =-=+-+= ()()()()2221212121||x x y y i x x y y -+-=-+-.两种距离公式可以相互转化.
例4(★★☆)计算：
(1)()()()2+54623;i i i --+--
(2)()()()32543,;a bi i a bi a b R ++--∈
(3)()()()35434;i i i -+---+
(4)()()()233,.a bi a bi i a b R +-+-∈
解题导引 直接结合复数的加减法运算法则求解.
例5(★★☆)(1)设1OZ 及2OZ 分别与复数153z i =+及复数24z i =+对应，试计算12,z z -并在直角坐标系中表示12z z -对应的向量；
(2)若12||||1,z z ==且12||2,z z +=求12||z z -.
解题导引 (1)画复平面→计算12z z -→找出12,z z 对应的点→画向量
(2)画复平面→找12||z z +→找12||z z -
参考答案
例1
答案：见解析
解析：(l)()()()()23525313 2.i i i i -++-=-++-=+
(2)()()()11110.i -+=-++= (3)()()()()()234234342.a bi a bi i a a b b i a b i ++-+=++-+=+-
导师点睛 复数的加法其实质就是实、虚部分别对应相加.
例2
答案：见解析
解析：原式化为()310219,y yi x xi i -+-+=-即()()321019,y x x y i i -+-=- 321,1,109, 1.
y x x x y y -==⎧⎧∴∴⎨⎨-=-=⎩⎩ 导师点睛 复数代数形式的加法，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加法运算，在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部.这种运算类似于初中的合并同类项，在具体运算中注意以下两点：①若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行;②算式中出现字母时，首先确定其是不是实数，再找出各复数的实部与虚部，将它们分别相加.
例3
答案：见解析
解析：(1)由题意知()()()0,0,3,2,2,4.,O A C AO OA AO -=-∴所表示的复数为 3 2.,i BC AO BC --=∴所表示的复数为3 2.
i -- (2)对角线,OB OA OC =+∴它所对应的复数为()()322416,||i i i OB ++-+=+=
=导师点睛 要求某向量对应的复数，可联想复数加减法的几何意义,找出所求向量的起点和终点，或转化为与其相等的向量求解.
例4
答案：见解析
解析：(1)()()()()()()25462324256348.
i i i i i +--+--=-+-+--+-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (2)()()()()()325433425355a bi i a bi a a b b i a b i ++--=-++--=-++⎡⎤⎣⎦ (),.a b R ∈
(3)()()()()()35434343514410.i i i i i -+---+=--+---=--
(4)()()()()()()23323323,.a bi a bi i a a b b i a b i a b R +-+-=-+--=--+∈
导师点睛 复数的代数形式可以看成关于“i ”的多项式，复数的加减运算类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就可以了.
例5
答案：见解析
解析：(1)()()()()1253454311 2.z z i i i i -=+-+=-+-=+如图所示21,Z Z 即为 12z z -所对应的向量.
(2)如图所示，以12,z z 所对应的向量1OZ 和2OZ 为一组邻边作平行四边形.
12||z z +和12||z z -是该平行四边形的两条对角线的长. 由1212||||1,||2z z z z ==+=知此平行四边形为正方形12,|| 2.z z ∴-
导师点睛 两个复数的差所对应的向量是连结两个向量的终点并指向被减向量的向量.。