中考数学第一次全真模拟考试试题含答案解析.doc

2019-2020 年中考数学第一次全真模拟考试试题含答案解析
一、选择题：（本大题共12 个小题，每小题 2 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．﹣ 6 的绝对值是（）
A ． 6 B．﹣ 6 C．D．
2．下列等式成立的是（）
A ．（ a+4）（ a﹣ 4）=a2﹣ 4
B ． 2a2﹣ 3a=﹣ a C． a6÷a3=a2D．（ a2）3 =a6
3．如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，若 BD ∥AE ，∠ DBC=20 °，则∠ CAE 的度数是（）
A ． 40° B． 60° C． 70° D． 80°
4．下列判断正确的是（）
A ．“打开电视机，正在播百家讲坛”是必然事件
B．“在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”是必然事件
C．一组数据2， 3， 4， 5， 5， 6 的众数和中位数都是 5
D．“篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中”是不可能事件
5．化简的结果是（）
A ．﹣ ab+1
B ．﹣ ab+b C．﹣ a+1D ．﹣a﹣ 1
6．如图所示，将△ ABC 的三边分别扩大一倍得到△ A 1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）
A ．（﹣ 4，﹣ 3）
B ．（﹣ 3，﹣ 3 ） C．（﹣ 4，﹣ 4） D ．（﹣ 3，﹣4）
7．关于 x 的方程 mx ﹣ 1=2x 的解为正实数，则m 的取值范围是（）
A ． m≥2 B． m≤2 C． m＞ 2 D． m＜ 2
8．某商品原价为 180 元，连续两次提价 x%后售价为 300 元，下列所列方程正确的是（）
2
C． 180（ 1﹣ x%） =300 2
A ． 180（ 1+x% ） =300
B ． 180（ 1+x% ） =300 D ．180（1﹣ x%）=300 9．如图，一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影 CD 的长为 1 米，太阳光线与地面的夹角
∠ ACD=60 °，则 AB 的长为（）
A ．米B．米C．米D．米
10．如图，菱形ABCD 则△AEF 的周长为（中，∠ B=60 °，AB=2cm
）
，E、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF、AF ，
A ． 2 cm
B ． 3 cm C． 4 cm D ．3cm
11．如图，过点Q（ 0， 3.5）的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）
A ． 3x﹣2y+3.5=0 B． 3x﹣ 2y﹣ 3.5=0 C． 3x ﹣ 2y+7=0 D． 3x+2y ﹣ 7=0
12．图①是一块边长为1，周长记为 P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图② ，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如
图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，，记第 n（ n≥3 ）块纸板的周长为 Pn，则 P n﹣P n﹣1 的值为（）
A ．B．C． D ．
二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案写在题中横线上）
13．若 n（ n≠0）是关于
2
的根，则 m+n 的值为．x 的方程 x +mx+2n=0
14．如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1： 2，那么表示参加“其它”活动的人数占总人数的%．
15．将一个底面半径为5cm，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开
图的圆心角是度．
16．如图，在梯形ABCD 中， AB ∥ CD ，AD=BC ，对角线AC ⊥ BD ，垂足为O．若CD=3 ，AB=5 ，则AC 的长为．
17．如图，已知一次函数y=x+1 的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点 A ，与 x 轴相交于点 C， AB ⊥ x 轴于点 B，△ AOB 的面积为1，则 AC 的长为（保留根号）．
18．如图，在矩形ABCD 中， AD=6 ，AB=4 ，点 E、 G、 H、 F 分别在 AB 、BC 、CD、 AD 上，且
AF=CG=2 ， BE=DH=1 ，点 P 是直线 EF、 GH 之间任意一点，连接PE、 PF、 PG、 PH，则△PEF 和△PGH 的面积和等于．
三、解答题（本大题共8 个小题，共78 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19 ．先化简，再求值：（m﹣ n）（ m+n）+（ m+n）2
﹣ 2m
2
，其中 m、 n 满足方程组．
20．如图， AC 是平行四边形 ABCD 的对角线．
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以 A ，C 为圆心，以大于长为半径画弧，弧在 AC 两侧的交点分别为P，Q；② 连结 PQ，PQ 分别与 AB ， AC ，CD 交于点 E， O， F．
（2）再连接 AF 、 CE，求证：四边形AECF 是菱形．
21．已知一个口袋中装有7 个只有颜色不同的球，其中 3 个白球， 4 个黑球．
（ 1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（ 2）若往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y 与x 之间的函数关系式．
（ 3）若在（ 2）的条件下，放入白球x 的范围是0＜ x＜ 4（ x 为整数），求y 的最大值．
22．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这
一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20 米，且甲工程队铺设350 米所用的天数与乙工程
队铺设250 米所用的天数相同．
（ 1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（ 2）如果要求完成该项工程的工期不超过10 天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你
帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．
23．类比学习：一动点沿着数轴向右平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，相当于向右平移 1 个单位．用实数加法表示为3+（﹣ 2） =1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移 |a|个单位），沿 y 轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a ，b} 叫做这一
平移的“平移量”；“平移量”{a ， b} 与“平移量”{c ， d} 的加法运算法则为{a ， b}+{c ， d}={a+c ， b+d} ．解决问题：
（1）计算： {3 ， 1}+{1 ， 2} ；{1 ， 2}+{3 ， 1} ；
（2）①动点 P 从坐标原点 O 出发，先按照“平移量”{3 ，1} 平移到 A ，再按照“平移量”{1 ，2} 平移到B；若先把动点P 按照“平移量”{1 ， 2} 平移到 C，再按照“平移量”{3 ，1} 平移，最后的位置还是点 B 吗？在图 1 中画出四边形OABC ．
②证明四边形OABC 是平行四边形．
（ 3）如图 2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P（ 2，3），再从码头P 航行到码头Q（ 5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
24．（ 1）如图 1 中，△ ABC 为正三角形，点AD ．求的值．
（ 2）如图 2 中，△ ABC 为等腰直角三角形，∠等腰直角△ CDE，连结 AD ．求的值；
（ 3）如图 3 中，△ ABC 为任意等腰三角形，点E 为 AB 边上任一点，以CE 为边作正△ DEC ，连结A=90 °，点 E 为腰 AB 上任意一点，以CE 为斜边作E 为腰 AB 上任意一点，以 CE 为底边作等腰△ DEC ，
使△DEC ∽△ ABC ，并且BC= AC ．连结AD ，直接写出的值．
25．如图， AB 、AC 分别是⊙ O 的直径和弦，点 D 为劣弧 AC 上一点，弦 DE⊥ AB 分别交⊙ O 于 E，交 AB 于 H，交 AC 于 F． P 是 ED 延长线上一点且 PC=PF．（ 1）求证： PC 是⊙ O 的切线；
（ 2）点 D 在劣弧 AC 什么位置时，才能使
2
AD =DE ?DF，为什么？
（ 3）在（ 2）的条件下，若 OH=1 ， AH=2 ，求弦 AC 的长．
2
26．如图 1，二次函数y=ax +bx ﹣3 的图象与y 轴交于点C，与 x 轴交于点 A （ 3， 0），过点 C 作BC ∥ x 轴，交抛物线于点 B ，并过点 B 作BD ⊥ x 轴，垂足为 D ．抛物线y=ax2+bx﹣ 3 和反比例函数（ x＞ 0）的图象都经过点B（ 2， m），四边形OCBD 的面积是6．
（ 1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（ 2）如图 2，点 P 从 B 点出发以每秒0.1 个单位的速度沿线段BC 向 C 点运动，点 Q 从 O 点出发以相同的速度沿线段OA 向 A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时
间为 t 秒．
①当 t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；
②设 PQ 与对称轴的交点为M ，过 M 点作 x 轴的平行线交AB 于点 N ，设四边形ANPQ 的面积为S，求面积 S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值范围；当t 为何值时， S 有最大值或最小值．
2016 年河北省秦皇岛市卢龙县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12 个小题，每小题 2 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣ 6 的绝对值是（）
A ． 6 B．﹣ 6 C．D．
【考点】绝对值．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．
【解答】解： |﹣ 6|=6，
故选： A．
【点评】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．
2．下列等式成立的是（）
A ．（ a+4）（ a﹣ 4）=a2﹣ 4
B ． 2a2﹣ 3a=﹣ a C． a6÷a3=a2 D．（ a2）3 =a6
【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】计算题；整式．
【分析】 A 、原式利用平方差公式化简得到结果，即可作出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解： A 、原式 =a 2
﹣ 16，不成立；
B、原式不能合并，不成立；
C、原式 =a 3
，不成立；6
D、原式 =a ，成立．
【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，若 BD ∥AE ，∠ DBC=20 °，则∠ CAE 的度数是（）
A． 40° B． 60° C． 70° D． 80°
【考点】平行线的性
质．【专题】计算题．
【分析】过点 C 作 CF∥ BD ，根据两直线平行，内错角相等即可求
解．【解答】解：过点 C 作 CF∥ BD ，则 CF∥ BD ∥ AE ．
∴∠ BCF= ∠
DBC=20 °，∵∠
C=90 °，
∴∠ FCA=90 ﹣
20=70 °．∵ CF∥AE ，
∴∠ CAE= ∠ FCA=70 °．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．正确作出辅助线是解题的关键．
4．下列判断正确的是（）
A ．“打开电视机，正在播百家讲坛”是必然事件
B．“在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”是必然事件
D．“篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中”是不可能事件
【考点】随机事件．
【分析】利用随机事件、众数、中位数的意义对本题的逐项进行判断，即可确定答案．
【解答】解： A 、“打开电视机，正在播百家讲坛”是随机事件，故 A 错误；
B、“在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”是必然事件，故 B 正确；
C、数据 2， 3， 4，5， 5， 6 的众数是5，中位数是 4.5，故 C 错误；
D、“篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件，故 D 错误．
故选： B．
【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然
事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定
事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．化简的结果是（）
A ．﹣ ab+1
B ．﹣ ab+b C．﹣ a+1 D ．﹣ a﹣ 1
【考点】分式的乘除法．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式 =﹣?
=﹣（ a﹣ 1）
=﹣ a+1．
故选 C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．如图所示，将△ ABC 的三边分别扩大一倍得到△ A 1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）
A ．（﹣ 4，﹣ 3）
B ．（﹣ 3，﹣ 3） C．（﹣ 4，﹣ 4） D ．（﹣ 3，﹣ 4）
【考点】位似变换．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】作直线 AA 1、BB 1，这两条直线的交点即为位似中心．
【解答】解：由图中可知，点P 的坐标为（﹣4，﹣ 3），故选A．
【点评】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．
7．关于 x 的方程mx ﹣ 1=2x 的解为正实数，则m 的取值范围是（）
A ． m≥2 B． m≤2 C． m＞ 2 D． m＜ 2
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【分析】根据题意可得x＞ 0，将 x 化成关于 m 的一元一次方程，然后根据x 的取值范围即可求出m 的取值范围．
【解答】解：由 mx﹣ 1=2x，
移项、合并，得（m﹣ 2）x=1 ，
∴ x=．
∵方程 mx﹣ 1=2x 的解为正实数，
∴＞ 0，
解得 m＞ 2．
故选 C．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，将x 用含 m 的代数式来表示，根据x 的取值范围可求出 m 的取值范围．
8．某商品原价为 180 元，连续两次提价x%后售价为300 元，下列所列方程正确的是（）
2
． 180（ 1﹣ x%） =300 2
A ． 180（ 1+x% ） =300
B ． 180（ 1+x% ） =300
C
D ．180（1﹣ x%）=300 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】本题可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．
【解答】解：当商品第一次提价x%时，其售价为180+180x%=180 （1+x% ）；
当商品第二次提价x%后，其售价为180（ 1+x% ） +180 （ 1+x%） x%=180 （ 1+x% ）2．
∴180（ 1+x% ）2
=300．
故选 B ．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题
意列出第二次提价后售价的方程，令其等于300 即可．
9．如图，一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为 1 米，太阳光线与地面的夹角
∠ ACD=60 °，则 AB 的长为（）
A ．米B．米C．米D．米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．【解答】解：设直线AB 与 CD 的交点为点O．
∴．
∴ AB=．
∵∠ ACD=60 °．
∴∠ BDO=60 °．
在 Rt△ BDO 中， tan60°=．
∵ CD=1 ．
∴ AB=．
故选 B ．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理．
10．如图，菱形ABCD 中，∠ B=60 °，AB=2cm ，E、F 分别是 BC 、CD 的中点，连接AE 、EF、AF ，则△AEF 的周长为（）
A ． 2cm
B ． 3cm C． 4cm D ．3cm
【考点】菱形的性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理．
【分析】首先根据菱形的性质证明△ ABE≌△ ADF，然后连接AC 可推出△ABC 以及△ ACD 为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△ AEF 是等边三角形．根据勾股定理可求出AE 的长继而求出周长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD=BC=CD ，∠ B= ∠ D，
∵ E、 F 分别是 BC、 CD 的中点，
∴BE=DF ，
在△ABE 和△ADF 中，
∴△ ABE ≌△ ADF （SAS ），
∴AE=AF ，∠ BAE= ∠ DAF ．
连接 AC ，
∵∠ B= ∠D=60 °，
∴△ ABC 与△ ACD 是等边三角形，
∴AE ⊥BC ， AF ⊥ CD （等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重
合），∴∠ BAE= ∠ DAF=30 °，
∴∠ EAF=60 °，
∴△ AEF 是等边三角形．
∴AE=cm，
∴周长是3cm．
故选 B ．
【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．
11．如图，过点Q（ 0， 3.5）的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点P，能表示这个
一次函数图象的方程是（）
A ． 3x﹣2y+3.5=0 B． 3x﹣ 2y﹣ 3.5=0 C． 3x ﹣ 2y+7=0D． 3x+2y ﹣ 7=0
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】数形结合．
【分析】如果设这个一次函数的解析式为y=kx+b ，那么根据这条直线经过点P（ 1， 2）和点 Q（ 0，3.5），用待定系数法即可得出此一次函数的解析式．
【解答】解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b ．
∵这条直线经过点P（1， 2）和点 Q（ 0， 3.5），
∴，
解得．
故这个一次函数的解析式为y=﹣ 1.5x+3.5 ，
即： 3x+2y ﹣ 7=0．
故选 D ．
【点评】本题主要考查了一次函数与方程组的关系及用待定系数法求一次函数的解析式．
两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，反之，二元一次方程组的解就是对
应的两个一次函数图象的交点坐标．
12．图①是一块边长为1，周长记为 P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图② ，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如
图掉正三角形纸板边长的）后，得图③
，
④n
（
n≥3
）块纸板的周长为
Pn P P ，，记第，则n﹣ n﹣
1 的值为（）
A ．B．C． D ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1， P2，P3， P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【解答】解： P1=1+1+1=3 ，
P2=1+1+ = ，
P3=1+ + + ×3= ，
P4=1+ + +×2+×3=，
∴ p 3﹣ p 2= ﹣ = = ，
P 4﹣P 3= ﹣ = = ， 则 Pn ﹣ Pn ﹣ 1= =
．
故选 C ．
【点评】 本题考查了等边三角形的性质；要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
二、填空题：（本大题共
6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案写在题中横线上）
13．若 n （ n ≠0）是关于 x 的方程 x 2
+mx+2n=0 的根，则 m+n 的值为
﹣ 2 ．
【考点】 一元二次方程的解．
【分析】 利用方程解的定义找到相等关系
n 2
+mn+2n=0 ，再把所求的代数式化简后整理出
m+n= ﹣ 2，
即为所求．
【解答】 解：把 n 代入方程得到 n 2
+mn+2n=0 ，
将其变形为 n （ m+n+2 ） =0，
因为 n ≠0
所以解得 m+n= ﹣ 2．
【点评】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
14．如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占
30%，表示踢毽的扇形圆心角是
60°，踢毽和打篮球的人数比是 1： 2，那么表示参加 “其它 ”活动的人数占总人数的 20 %．
【考点】 扇形统计图．
【分析】由“踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2”可得，踢毽的人数占总人数的比例以及打篮球的人数占的比例，由“各部分占总体的百分比之和为1”可得：参加“其它”活动的人数占总人数的比例．
【解答】解：由题意知，踢毽的人数占总人数的比例=60°÷360°=，
则打篮球的人数占的比例=×2=，
∴表示参加“其它”活动的人数占总人数的比例=1﹣﹣﹣30%=20%．
故答案为： 20%．
【点评】本题考查的是扇形图的定义．在扇形统计图中，各部分占总体的百分比之和为
占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
1，每部分
15．将一个底面半径为5cm，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是150度．
【考点】圆锥的计算．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图
的圆心角度数．
【解答】解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，
∴=10 π，
∴n=150°．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
16．如图，在梯形则 AC 的长为 4 ABCD
．
中， AB ∥ CD ，AD=BC ，对角线AC ⊥ BD ，垂足为O．若CD=3 ，AB=5 ，
【考点】等腰梯形的性质．
【专题】数形结合．
【分析】过 C 作 CE 平行于 BD 交 AB 的延长线与E，然后根据勾股定理可得出答案．
【解答】解：过 C 作 CE 平行于 BD 交 AB 的延长线于E，
则四边形BECD 是平行四边形，
∵AC ⊥BD ，即∠
AOB=90 °，又 CE∥BD ，
∴∠ ACE= ∠ AOB=90 °，∴ AC ⊥ CE，
∵四边形BECD 是平行四边形，
∴AE=AB+BE=AB+CD=8 ．
∵在梯形ABCD 中， AB ∥ CD，AD=BC ，
∴梯形 ABCD 是等腰梯形，
∴AC=BD ，
∵ BD=CE ，
∴AC=CE ，
∴△ ACE 是等腰直角三角形，
∴ AC=BD=CE==4．
故答案为： 4．
【点评】本题考查了等腰梯形及等腰直角三角形的性质，难度不大，注意掌握等腰梯形的对角线相
等．
17．如图，已知一次函数y=x+1 的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点 A ，与 x 轴相交于点 C， AB ⊥ x 轴于点 B，△ AOB 的面积为1，则 AC 的长为（保留根号）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k 的几何意义；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】由于△ AOB 的面积为与联立起来的方程组，得出1，根据反比例函数的比例系数k 的几何意义可知k=2 ，解由
A 点坐标，又易求点 C 的坐标，从而利用勾股定理求出AC
y=x+1
的长．
【解答】解：∵点 A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点 B ，△ AOB 的面积为1，
∴k=2．
解方程组，
得，．∴ A（1，2）；
在y=x+1 中，令 y=0，得 x= ﹣ 1．∴ C（﹣ 1，
0）．∴ AB=2 ， BC=2 ，
∴ AC= =2 ．
【点评】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系，即 S= |k|．
18．如图，在矩形ABCD 中， AD=6 ，AB=4 ，点 E、 G、 H、 F 分别在 AB 、BC 、CD、 AD 上，且
AF=CG=2 ， BE=DH=1 △PGH 的面积和等于，点 P 是直线
7．
EF、 GH 之间任意一点，连接PE、 PF、 PG、 PH，则△PEF 和
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】连接 EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△ CGH全等，根据全等三角形对应边相等
可得EF=GH ，同理可得EG=FH ，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF 是平行四边形，所以△ PEF 和△ PGH 的面积和等于平行四边形EGHF 的面积的一半，再利用平行四
边形EGHF 的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．
【解答】解：∵在矩形ABCD 中， AD=6 ， AB=4 ，AF=CG=2 ， BE=DH=1 ，
∴AE=AB ﹣ BE=4 ﹣ 1=3，
CH=CD ﹣ DH=4 ﹣ 1=3，
∴AE=CH ，
在△AEF 与△ CGH 中，，
∴△AEF ≌△CGH （ SAS），
∴ EF=GH ，
同理可得，△BGE ≌△ DFH ，
∴ EG=FH ，
∴四边形EGHF 是平行四边形，
∵△ PEF 和△ PGH 的高的和等于点H 到直线EF 的距离，
∴△ PEF 和△ PGH 的面积和 =×平行四边形EGHF 的面积，
平行四边形EGHF 的面积
=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），
=24﹣ 3﹣ 2﹣ 3﹣ 2，
=14，
∴△ PEF 和△ PGH 的面积和 =×14=7．
故答案为： 7．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线并证明出四边形EGHF 是平行四边形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8 个小题，共78 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．先化简，再求值：（m﹣ n）（ m+n）+（ m+n）2
﹣ 2m
2
，其中 m、 n 满足方程组．
【考点】整式的混合运算—化简求值；解二元一次方程组．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，求出方程组的解得到 m 与 n 的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：，
①+②，得 4m=12 ，解得： m=3，
将m=3 代入①，得 9﹣ 2n=11，解得 n=﹣ 1，
故方程组的解是，
（m﹣n）（ m+n） +（m+n）2
﹣ 2m
2
=m
2
﹣ n
2
+m
2
+2mn+n
2
﹣2m
2
=2mn，
当 m=3，n=﹣ 1 时，原式 =2×3×（﹣ 1） =﹣ 6．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
20．如图， AC 是平行四边形ABCD 的对角线．
（ 1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
① 分别以 A ，C 为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC 两侧的交点分别为P，Q；② 连结PQ，PQ 分别与 AB ， AC ，CD 交于点 E， O， F．
（ 2）再连接AF 、 CE，求证：四边形AECF 是菱形．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】（ 1）根据要求画出图形即可；
（ 2）根据作图可得PQ 是 AC 的垂直平分线，进而可得AO=CO ，然后证明△ OFC≌△ OEA 可得
FC=AE ，从而可得四边形AECF 是平行四边形，再根据AC ⊥EF 可判定四边形AECF 是菱形．
【解答】（ 1）解：如图所示；
（ 2）证明：根据作图可得PQ 是 AC 的垂直平分线，
∴AO=OC ，
∵DC ∥AB ，
∴∠ CFO= ∠AEO ，∠ FCO= ∠ EAO ，
在△OFC 和△OEA 中，
∴△ OFC ≌△ OEA （ AAS ），
∴FC=AE ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AC ⊥FE，
∴四边形AECF 是菱形．
【点评】此题主要考查了复杂作图，以及菱形的判定，关键是掌握线段垂直平分线的做法，掌握对
角线互相垂直的平行四边形是菱形．
21．已知一个口袋中装有7 个只有颜色不同的球，其中 3 个白球， 4 个黑球．
（ 1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（ 2）若往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．
（ 3）若在（ 2）的条件下，放入白球x 的范围是0＜ x＜ 4（ x 为整数），求y 的最大值．
【考点】一次函数的应用；概率公式．
【分析】（ 1）根据概率求法：符合条件的情况数目除以全部情况的总数列式求得答案；
（2）根据白球的概率公式得到相应的方程求解即可；
（3）利用一次函数的性质得出最大值即可．
【解答】解：（ 1）取出一个黑球的概率；
（ 2）∵取出一个白球的概率，
∴，
∴12+4x=7+x+y ，
∴y 与 x 的函数关系式为：
y=3x+5 ．（ 3）∵ k=3 ＞0，
∴y 随 x 的增大而增大， y 有最大值．
∴x=3 时， y 有最大值是， y 最大 =3×3+5=14 ．
【点评】此题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质与概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现m 种结果，那么事件 A 的概率P（ A ）= 是解决问题的关键．
22．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这
一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20 米，且甲工程队铺设350 米所用的天数与乙工程
队铺设 250 米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过 10 天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助
设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应
用．【专题】工程问题．
【分析】（ 1）设甲工程队每天能铺设x 米．根据甲工程队铺设350 米所用的天数与乙工程队铺设
250米所用的天数相同，列方程求解；
（ 2）设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队（1000﹣ y）米．根据完成该项工程的工期不超过
10天，列不等式组进行分析．
【解答】解：（ 1）设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．
根据题意得：，
即350（ x﹣ 20） =250x，
∴7x﹣ 140=5x
解得 x=70 ．
经检验， x=70 是原分式方程的解，且符合题意，
乙工程队每天能铺设：x﹣ 20=70﹣ 20=50 米．
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70 米和 50 米．
（2）设分配给甲工程队 y 米，则分配给乙工程队（ 1000﹣ y）米．由题
意，得
，
解得 500≤y≤700．
所以分配方案有 3 种：
方案一：分配给甲工程队500 米，分配给乙工程队500 米；
方案二：分配给甲工程队600 米，分配给乙工程队400 米；
方案三：分配给甲工程队700 米，分配给乙工程队300 米．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，在工程问题中，工作量= 工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验．
23．类比学习：一动点沿着数轴向右平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，相当于向右平移 1 个单位．用实数加法表示为3+（﹣ 2） =1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移 |a|个单位），沿 y 轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a ，b} 叫做这一
平移的“平移量”；“平移量”{a ， b} 与“平移量”{c ， d} 的加法运算法则为{a ， b}+{c ， d}={a+c ， b+d} ．解决问题：
（1）计算： {3 ， 1}+{1 ， 2} ；{1 ， 2}+{3 ， 1} ；
（2）①动点 P 从坐标原点 O 出发，先按照“平移量”{3 ，1} 平移到 A ，再按照“平移量”{1 ，2} 平移到B；若先把动点P 按照“平移量”{1 ， 2} 平移到 C，再按照“平移量”{3 ，1} 平移，最后的位置还是点B 吗？在图 1 中画出四边形OABC ．
②证明四边形OABC 是平行四边形．
（ 3）如图 2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P（ 2，3），再从码头P 航行到码头Q（ 5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
【考点】勾股定理；平行四边形的判定；生活中的平移现象．
【专题】阅读型．
【分析】（ 1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．
（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．
（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（ 1）中的规律计算即可．【解
答】解：（ 1） {3 ， 1}+{1 ，2}={4 ， 3} ；
{1 ， 2}+{3 ，1}={4 ， 3} ．
（2）①画图
最后的位置仍是 B．
②证明：由①知， A （3， 1）， B（ 4， 3）， C（ 1， 2）
∴ OC=AB==，
OA=BC==，
∴四边形OABC 是平行四边形．
（ 3）从 O 出发，先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，可知平移量为{2 ， 3} ，同理得到P 到 Q 的平移量为 {3 ， 2} ，从 Q 到 O 的平移量为 { ﹣ 5，﹣ 5} ，故有
{2 ， 3}+{3 ，2}+{ ﹣ 5，﹣ 5}={0 ， 0} ．
【点评】本题是一道综合题，比较有创新，让学生在做题的同时又学到新知识，是一道好题．。