翁牛特旗实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

翁牛特旗实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A∩B，则集合S的子集有（）
A．2个B．3 个 C．4 个 D．8个
2．已知一组函数f n（x）=sin n x+cos n x，x∈[0，]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（）
①∀n∈N*，f n（x）≤恒成立
②若f n（x）为常数函数，则n=2
③f4（x）在[0，]上单调递减，在[，]上单调递增．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知命题p：存在x0＞0，使2＜1，则￢p是（）
A．对任意x＞0，都有2x≥1 B．对任意x≤0，都有2x＜1
C．存在x0＞0，使2≥1 D．存在x0≤0，使2＜1
4．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
5．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）
A．B．C．D．
6．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．
7． 已知函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），则{a n }的前28项之和S 28=（ ）
A ．7
B ．14
C ．28
D ．56
8． 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）
A ．(]
[),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞
9． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在平面直角坐标系中，直线y=
x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
11．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]
A ．10
B ．51
C ．20
D ．30
12．已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5），则向量在
方向上的投影为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2
ln f x x x =-的单调递增区间为__________．
14．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
15．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函
数，函数()22
x
a g x e a ＝－＋，当[]03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为3
2，则a 的值
为______.
16．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．
17．设函数()()()31
321
x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
18．若等比数列{a n }的前n 项和为S n
，且
，则= ．
三、解答题
19．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5
B 两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
x ＜y ，且A 和B 两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B 班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X 表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X 的期望．
20．已知不等式的解集为
或
（1）求，的值 （2）解不等式.
21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：为参数），曲线C 2： =1．
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．
22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥EF ．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =-∈.
（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；
（2）当(2,1)x ∈-时，121()x x a f x ->---，求的取值范围.
24．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．
（Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．
翁牛特旗实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，
∴集合S=A∩B={1，3}，
则集合S的子集有22=4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．【答案】D
【解析】解：①∵x∈[0，]，∴f
（x）=sin n x+cos n x≤sinx+cosx=≤，因此正确；
n
②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，
当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则f n（x）=+=g（t），g′（t）=﹣
=，当t∈时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；
当t∈时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数f n（x）不是常数函数，因此②正确．
③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣==+，当x∈[0，
]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，]上单调递减，当x∈[，]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[，]上单调递增，因此正确．
综上可得：①②③都正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．【答案】A
【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．
故选：A
4．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a﹣c．
所以2a﹣c=，所以e=．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
5．【答案】C
【解析】
考点：三视图．
6．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．7．【答案】C
【解析】解：∵函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．
∴函数f （x ）关于直线x=1对称， ∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），
∴a 6+a 23=2．
则{a n }的前28项之和S 28==14（a 6+a 23）=28．
故选：C ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n 项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
8． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据()2
48f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8
k
x =
，所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：
58k ≤或88
k
≥，所以40k ≤或64k ≥。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

9． 【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}， P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，
∴根据题意，M 的长度为，N 的长度为， 当集合M ∩N 的长度的最小值时， M 与N 应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M ∩N 的长度的最小值是=．
故选：C ．
10．【答案】A
【解析】解：圆x 2
+y 2﹣8x+4=0，即圆（x ﹣4）2+y 2
=12，圆心（4，0）、半径等于2
．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4
，
故选：A ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
11．【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
=，故选D. 考点：系统抽样 12．【答案】D
【解析】解：∵；
∴
在
方向上的投影为
==
．
故选D ．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
二、填空题
13．【答案】⎛ ⎝⎭
【解析】
14．【答案】
．
【解析】解：由于角A 为锐角，
∴
且
不共线，
∴6+3m ＞0且2m ≠9，解得m ＞﹣2且m ．
∴实数m 的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
15．【答案】
52
【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，
ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，
又()22x
a g x e a =-+，令x
t e =，则()[]2,1,32
a g t t a t =-+
∈， （1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 2
a g t g a ==，
则()()max min 312g t g t a -=-=，则5
2
a =，
（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 332
a g t g a ==-+，
则()()max min 2g t g t -=，舍。

52
a ∴=。

16．【答案】 菱形 ； 矩形 ．
【解析】解：如图所示：①∵EF ∥AC ，GH ∥AC 且EF=AC ，GH=AC
∴四边形EFGH 是平行四边形
又∵AC=BD ∴EF=FG
∴四边形EFGH 是菱形．
②由①知四边形EFGH 是平行四边形 又∵AC ⊥BD ， ∴EF ⊥FG
∴四边形EFGH 是矩形． 故答案为：菱形，矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．
17．【答案】11[3)32⎡⎤
+∞⎢⎥⎣⎦，，
【
解
析】
考
点：1、分段函数；2、函数的零点.
【方法点晴】本题考查分段函数，函数的零点，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、数形结合思想和转化化归思想，综合性强，属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想，对()3x g x a =-于轴的交点个数进行分情况讨论，特别注意：1.在1x <时也轴有一个交点式，还需31a ≥且21a <；2. 当()130g a =-≤时，()g x 与轴无交点，但()h x 中3x a =和2x a =，两交点横坐标均满足1x ≥.
18．【答案】 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且， ∴S 4=5S 2，又S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，
∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4），
∴（5S2﹣S2）2=S2（S6﹣5S2），
解得S6=21S2，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S2表示S4和S6是解决问题的关键，属中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，
=（6+x+8.5+8.5+y），
∵，∴x+y=17，①
∵，
=，
∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②
由①②解得或，
∵x＜y，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，
共有个基本事件，
∴P（C）=，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．
20．【答案】
【解析】
解：（1）因为不等式的解集为或
所以，是方程的两个解
所以，解得
（2）由（1）知原不等式为，即，
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为;
当时，不等式解集为;
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，
由可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．
（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，
射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，
所以．
22．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E ，F 分别为CD ，PD 的中点， ∴EF ∥PC ．
∵PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，
∴EF ∥平面PAC ．
（2）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 又ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ， ∵PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ． ∵AF ⊂平面PAD ，∴AF ⊥CD ．
∵PA=AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ． 又CD ∩PD=D ，∴AF ⊥平面PDC ． ∵EF ⊂平面PDC ， ∴AF ⊥EF ．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
23．【答案】（1）{}
11x x x ><-或；（2）(,2]-∞-.
【解析】
试
题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--， 即1211x x ---<-，
当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >； 当
1
12
x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解；
当1
2
x <
时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-； 综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或.
（2）由121()x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，
所以当(1)()0x x a --≥时，121x x a x a -+-=--； 当(1)()0x x a --<时，121x x a x a -+->--
记不等式(1)()0x x a --<的解集为A ，则(2,1)A -⊆，故2a ≤-， 所以的取值范围是(,2]-∞-.
考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A 1A=A 1C ，且O 为AC 的中点，
所以A 1O ⊥AC ．
又由题意可知，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 交线为AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， 所以A 1O ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A 1A=A 1C=AC=2，又AB=BC ，AB ⊥BC ，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA 1B 的一个法向量为n=（x ，y ，z ），则有，
令y=1，得
所以
．
．
因为直线A 1C 与平面A 1AB 所成角θ和向量n 与所成锐角互余，所以
．
（Ⅲ）设
，
即，得
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。