九年级数学 第23章 旋转 23.1 图形的旋转 23.旋转的概念及性质(作业本)
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12/12/2021
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图 23－1－12
第1课时 旋转的概念及性质
解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB＝CB，∴∠A＝∠C. ∵将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆时针旋转角 α 到△A1BC1 的位置， ∴A1B＝AB＝CB，∠A1＝∠A＝∠C， ∠ABC＝∠A1BC1， ∴∠ABC－∠ABC1＝∠A1BC1－∠ABC1，即∠CBF＝∠A1BD. 在△BCF 与△BA1D 中，∠ CBC＝＝A∠ 1B，A1，
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第1课时 旋转的概念及性质
C新拓知广梳探理究创新练
16．2016·日照 如图 23－1－13，在正方形 ABCD 中，E，F 是对 角线 BD 上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后， 得到△ABQ，连接 EQ.
求证：(1)EA 是∠QED 的平分线；(2)EF2＝BE2＋DF2.
解：过点 E 作 EM⊥BD 于点 M，如图所示．
∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM 为等
腰直角三角形．
∵BE 平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝CE＝1 cm，∴DE＝ 2EM＝ 2 cm. 由旋转的性质可知 CF＝CE＝1 cm， ∴BF＝BC＋CF＝CE＋DE＋CF＝1＋ 2＋1＝(2＋ 2)cm.
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第1课时 旋转的概念及性质
(2)由(1)得△AQE≌△AFE，∴EQ＝EF. ∵将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ， ∴∠ABQ＝∠ADF＝45°，BQ＝DF， ∴∠EBQ＝∠ABD＋∠ABQ＝90°. 在 Rt△QBE 中，BE2＋BQ2＝EQ2，则 EF2＝BE2＋DF2.
即旋转角的度数为 50°.故选 C.
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第1课时 旋转的概念及性质
9．如图 23－1－7 所示，在△ABC 中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝ 60°，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定的角度得到△ADE，当 点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，CD 的长为____1._6___．
2．下列现象中是旋转的是( D ) A．推拉抽屉 B．火车车厢的直线运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动
【解析】A 中，推拉抽屉是物体的平移运动；B 中，火车车厢的直线运动 是平移；C 中，电梯的上下移动是平移；D 中，汽车方向盘的转动是绕着一个 点的转动，是旋转．故选 D.
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第1课时 旋转的概念及性质
15．2016·娄底 如图 23－1－12，等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆 时针旋转角 α 到△A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1， BC1 分别交于点 E，F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α 时，判断四边形 A1BCE 的形状，并说明理由．
图中等于 30°的角有____∠_A_O_D_，__∠_B_O_C，__∠_B_D_C________；图中的全等三角 形是__△_O_D_C_≌_△__O_A_B_．
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图 23－1－2
第1课时 旋转的概念及性质
5.如图 23－1－3，△ABC 是等边三角形，P 是△ABC 内一点．△APC 沿顺时针方向旋转后与△AP′B 重合，则旋转中心是点____A____，最
∠CBF＝∠A1BD， ∴△BCF≌△BA1D.
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第1课时 旋转的概念及性质
(2)四边形 A1BCE 是菱形． 理由：∵将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆时针旋转角 α 到△A1BC1 的位置， ∴∠A1＝∠A. 又∵∠ ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∴∠A1EC＝180°－α. ∵∠C＝α，∴∠A1＝α， ∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α， ∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC， ∴四边形 A1BCE 是平行四边形． 又∵A1B＝CB，∴四边形 A1BCE 是菱形．
图 23－1－4
【解析】旋转角是∠CAC′＝180°－30°＝150°.
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第1课时 旋转的概念及性质
7．2017·菏泽 如图 23－1－5，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时 针旋转 90°，得到 Rt△A′B′C，连接 AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′
的度数是( C ) A．55° B．60° C．65° D．70°
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】AA′和 BB′的垂直平分线的交点即为旋转中心 O，根据网格 的特征可知∠AOA′＝90°，所以旋转角α＝90°.
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第1课时 旋转的概念及性质
13．如图 23－1－10，在平面直角坐标系中，将点 P(－4，2)绕 原点 O 顺时针旋转 90°，则其对应点 Q 的坐标为__(_2，__4_)__．
的位置，此时：
(1)点 B 的对应点是_点__B_′ ____；
(2)旋转中心是_点__O__，旋转角为___∠_A_O_A_′或__∠_B_O_B_′ __；
(3)∠A 的对应角是___∠_A_′ ___，线段 OB 的对应线段
是__线_段__O_B_′ _．
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图 23－1－1
第1课时 旋转的概念及性质
12/12/2021
第1课时 旋转的概念及性质
12．2017·泰安 如图 23－1－9，在正方形网格中，线段 A′B′ 是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 α 得到的，点 A′与点 A 对应，则角 α 的大小为( C )
A．30° B．60° C．90° D．120°
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图 23－1－9
8．如图 23－1－6，在△ABC 中，∠CAB＝65°，将△ABC 在平面 内绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，使 CC′∥AB，则旋转角的度数为
(C ) A．35° B．40° C．50° D．65°
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图 23－1－6
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】∵CC′∥AB， ∴∠C′CA＝∠CAB＝65°. ∵△ABC 在平面内绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，∴AC＝AC′， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝65°， ∴∠C′AC＝180°―65°―65°＝50°，
转一定的角度(小于周角)后能与自身重合，则称此图形为旋转对称图
形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60°的是( C )
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正十边形
12/12/2021
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】A．正三角形的最小旋转角是 120°，故此选项错误； B．正方形的最小旋转角是 90°，故此选项错误； C．正六边形的最小旋转角是 60°，故此选项正确； D．正十边形的最小旋转角是 36°，故此选项错误．故选 C.
12/12/2021
图 23－1－5
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】根据旋转的性质可得 AC＝A′C，因此△ACA′是等腰直角三角 形，所以∠CAA′＝∠CA′A＝45°.又∠1＝25°，所以∠CA′B′＝20°＝ ∠BAC，所以∠BAA′＝20°＋45°＝65°.
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第1课时 旋转的概念及性质
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
12/12/2021
第二十三章 旋转
第1课时 旋转的概念及性质
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
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第1课时 旋转的概念及性质
A 知识要点分类练
知识点 1 旋转的概念
1．如图 23－1－1 所示，△AOB 绕着点 O 顺时针旋转至△A′OB′
12/12/2021
图 23－1－7
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】由旋转的性质知 AD＝AB， 又因为∠B＝60°，所以△ADB 为等边三角形， 所以 BD＝AB＝2，所以 CD＝BC－BD＝3.6－2＝1.6.
12/12/2021
第1课时 旋转的概念及性质
10．2016·大连 如图 23－1－8，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 得到△ADE，点 C 和点 E 是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求 BD 的长．
12/12/2021
图 23－1－13
第1课时 旋转的概念及性质
证明：°后，得到△ABQ， ∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°. ∵∠EAF＝45°，∴∠QAE＝45°.
AQ＝AF， 在△AQE 和△AFE 中，∠QAE＝∠FAE＝45°，
AE＝AE， ∴△AQE≌△AFE(SAS)， ∴∠AEQ＝∠AEF， ∴EA 是∠QED 的平分线．
12/12/2021
图 23－1－10
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】如图，过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，过点 Q 作 QB⊥x 轴于点 B， 由旋转的性质得∠POQ＝90°.
又∠AOB＝90°，∴∠POA＝∠QOB. 又∠PAO＝∠QBO＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△BOQ， ∴OB＝OA＝2，QB＝PA＝4，∴点 Q 的坐标为(2，4)．
小旋转角等于___6_0____度．
12/12/2021
图 23－1－3
第1课时 旋转的概念及性质
6．2016·新疆 如图 23－1－4 所示，将一个含 30°角的三角尺
ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C′在同一条直线上，则三角尺 ABC
旋转的角度是( D ) A．60° B．90° C．120° D．150°
第1课时 旋转的概念及性质
3．2017·枣庄 将数字“6”旋转 180°，得到数字“9”，将数
字“9”旋转 180°，得到数字“6”，现将数“69”旋转 180°，得
到的数是( B )
A．96 B．69
C．66
D．99
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第1课时 旋转的概念及性质
知识点 2 旋转的性质
4．如图 23－1－2，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 30°得到 的图形，点 D 在线段 AB 上．图中的相等线段有__A_O_＝__D_O_，__B_O_＝_C_O_，__A_B_＝_D_C_；
12/12/2021
第1课时 旋转的概念及性质
14．如图 23－1－11，BD 为正方形 ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC，
交 DC 于点 E，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△DCF，若 CE＝1 cm，
求 BF 的长．
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图 23－1－11
第1课时 旋转的概念及性质
12/12/2021
图 23－1－8
第1课时 旋转的概念及性质
解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，点 C 和点 E 是对应点， ∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴BD＝ AB2＋AD2＝ 2.
12/12/2021
第1课时 旋转的概念及性质
B 规律方法综合练
11．2016·莆田 规定：在平面内，若将一个图形绕着某一点旋
12/12/2021
图 23－1－12
第1课时 旋转的概念及性质
解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB＝CB，∴∠A＝∠C. ∵将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆时针旋转角 α 到△A1BC1 的位置， ∴A1B＝AB＝CB，∠A1＝∠A＝∠C， ∠ABC＝∠A1BC1， ∴∠ABC－∠ABC1＝∠A1BC1－∠ABC1，即∠CBF＝∠A1BD. 在△BCF 与△BA1D 中，∠ CBC＝＝A∠ 1B，A1，
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第1课时 旋转的概念及性质
C新拓知广梳探理究创新练
16．2016·日照 如图 23－1－13，在正方形 ABCD 中，E，F 是对 角线 BD 上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后， 得到△ABQ，连接 EQ.
求证：(1)EA 是∠QED 的平分线；(2)EF2＝BE2＋DF2.
解：过点 E 作 EM⊥BD 于点 M，如图所示．
∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM 为等
腰直角三角形．
∵BE 平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝CE＝1 cm，∴DE＝ 2EM＝ 2 cm. 由旋转的性质可知 CF＝CE＝1 cm， ∴BF＝BC＋CF＝CE＋DE＋CF＝1＋ 2＋1＝(2＋ 2)cm.
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第1课时 旋转的概念及性质
(2)由(1)得△AQE≌△AFE，∴EQ＝EF. ∵将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ， ∴∠ABQ＝∠ADF＝45°，BQ＝DF， ∴∠EBQ＝∠ABD＋∠ABQ＝90°. 在 Rt△QBE 中，BE2＋BQ2＝EQ2，则 EF2＝BE2＋DF2.
即旋转角的度数为 50°.故选 C.
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第1课时 旋转的概念及性质
9．如图 23－1－7 所示，在△ABC 中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝ 60°，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定的角度得到△ADE，当 点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，CD 的长为____1._6___．
2．下列现象中是旋转的是( D ) A．推拉抽屉 B．火车车厢的直线运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动
【解析】A 中，推拉抽屉是物体的平移运动；B 中，火车车厢的直线运动 是平移；C 中，电梯的上下移动是平移；D 中，汽车方向盘的转动是绕着一个 点的转动，是旋转．故选 D.
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第1课时 旋转的概念及性质
15．2016·娄底 如图 23－1－12，等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆 时针旋转角 α 到△A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1， BC1 分别交于点 E，F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α 时，判断四边形 A1BCE 的形状，并说明理由．
图中等于 30°的角有____∠_A_O_D_，__∠_B_O_C，__∠_B_D_C________；图中的全等三角 形是__△_O_D_C_≌_△__O_A_B_．
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图 23－1－2
第1课时 旋转的概念及性质
5.如图 23－1－3，△ABC 是等边三角形，P 是△ABC 内一点．△APC 沿顺时针方向旋转后与△AP′B 重合，则旋转中心是点____A____，最
∠CBF＝∠A1BD， ∴△BCF≌△BA1D.
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第1课时 旋转的概念及性质
(2)四边形 A1BCE 是菱形． 理由：∵将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆时针旋转角 α 到△A1BC1 的位置， ∴∠A1＝∠A. 又∵∠ ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∴∠A1EC＝180°－α. ∵∠C＝α，∴∠A1＝α， ∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α， ∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC， ∴四边形 A1BCE 是平行四边形． 又∵A1B＝CB，∴四边形 A1BCE 是菱形．
图 23－1－4
【解析】旋转角是∠CAC′＝180°－30°＝150°.
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第1课时 旋转的概念及性质
7．2017·菏泽 如图 23－1－5，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时 针旋转 90°，得到 Rt△A′B′C，连接 AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′
的度数是( C ) A．55° B．60° C．65° D．70°
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】AA′和 BB′的垂直平分线的交点即为旋转中心 O，根据网格 的特征可知∠AOA′＝90°，所以旋转角α＝90°.
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第1课时 旋转的概念及性质
13．如图 23－1－10，在平面直角坐标系中，将点 P(－4，2)绕 原点 O 顺时针旋转 90°，则其对应点 Q 的坐标为__(_2，__4_)__．
的位置，此时：
(1)点 B 的对应点是_点__B_′ ____；
(2)旋转中心是_点__O__，旋转角为___∠_A_O_A_′或__∠_B_O_B_′ __；
(3)∠A 的对应角是___∠_A_′ ___，线段 OB 的对应线段
是__线_段__O_B_′ _．
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图 23－1－1
第1课时 旋转的概念及性质
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第1课时 旋转的概念及性质
12．2017·泰安 如图 23－1－9，在正方形网格中，线段 A′B′ 是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 α 得到的，点 A′与点 A 对应，则角 α 的大小为( C )
A．30° B．60° C．90° D．120°
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图 23－1－9
8．如图 23－1－6，在△ABC 中，∠CAB＝65°，将△ABC 在平面 内绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，使 CC′∥AB，则旋转角的度数为
(C ) A．35° B．40° C．50° D．65°
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图 23－1－6
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】∵CC′∥AB， ∴∠C′CA＝∠CAB＝65°. ∵△ABC 在平面内绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，∴AC＝AC′， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝65°， ∴∠C′AC＝180°―65°―65°＝50°，
转一定的角度(小于周角)后能与自身重合，则称此图形为旋转对称图
形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60°的是( C )
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正十边形
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第1课时 旋转的概念及性质
【解析】A．正三角形的最小旋转角是 120°，故此选项错误； B．正方形的最小旋转角是 90°，故此选项错误； C．正六边形的最小旋转角是 60°，故此选项正确； D．正十边形的最小旋转角是 36°，故此选项错误．故选 C.
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图 23－1－5
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】根据旋转的性质可得 AC＝A′C，因此△ACA′是等腰直角三角 形，所以∠CAA′＝∠CA′A＝45°.又∠1＝25°，所以∠CA′B′＝20°＝ ∠BAC，所以∠BAA′＝20°＋45°＝65°.
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第1课时 旋转的概念及性质
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
12/12/2021
第二十三章 旋转
第1课时 旋转的概念及性质
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
12/12/2021
第1课时 旋转的概念及性质
A 知识要点分类练
知识点 1 旋转的概念
1．如图 23－1－1 所示，△AOB 绕着点 O 顺时针旋转至△A′OB′
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图 23－1－7
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】由旋转的性质知 AD＝AB， 又因为∠B＝60°，所以△ADB 为等边三角形， 所以 BD＝AB＝2，所以 CD＝BC－BD＝3.6－2＝1.6.
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第1课时 旋转的概念及性质
10．2016·大连 如图 23－1－8，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 得到△ADE，点 C 和点 E 是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求 BD 的长．
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图 23－1－13
第1课时 旋转的概念及性质
证明：°后，得到△ABQ， ∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°. ∵∠EAF＝45°，∴∠QAE＝45°.
AQ＝AF， 在△AQE 和△AFE 中，∠QAE＝∠FAE＝45°，
AE＝AE， ∴△AQE≌△AFE(SAS)， ∴∠AEQ＝∠AEF， ∴EA 是∠QED 的平分线．
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图 23－1－10
第1课时 旋转的概念及性质
【解析】如图，过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，过点 Q 作 QB⊥x 轴于点 B， 由旋转的性质得∠POQ＝90°.
又∠AOB＝90°，∴∠POA＝∠QOB. 又∠PAO＝∠QBO＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△BOQ， ∴OB＝OA＝2，QB＝PA＝4，∴点 Q 的坐标为(2，4)．
小旋转角等于___6_0____度．
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图 23－1－3
第1课时 旋转的概念及性质
6．2016·新疆 如图 23－1－4 所示，将一个含 30°角的三角尺
ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C′在同一条直线上，则三角尺 ABC
旋转的角度是( D ) A．60° B．90° C．120° D．150°
第1课时 旋转的概念及性质
3．2017·枣庄 将数字“6”旋转 180°，得到数字“9”，将数
字“9”旋转 180°，得到数字“6”，现将数“69”旋转 180°，得
到的数是( B )
A．96 B．69
C．66
D．99
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第1课时 旋转的概念及性质
知识点 2 旋转的性质
4．如图 23－1－2，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 30°得到 的图形，点 D 在线段 AB 上．图中的相等线段有__A_O_＝__D_O_，__B_O_＝_C_O_，__A_B_＝_D_C_；
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第1课时 旋转的概念及性质
14．如图 23－1－11，BD 为正方形 ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC，
交 DC 于点 E，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△DCF，若 CE＝1 cm，
求 BF 的长．
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图 23－1－11
第1课时 旋转的概念及性质
12/12/2021
图 23－1－8
第1课时 旋转的概念及性质
解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，点 C 和点 E 是对应点， ∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴BD＝ AB2＋AD2＝ 2.
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第1课时 旋转的概念及性质
B 规律方法综合练
11．2016·莆田 规定：在平面内，若将一个图形绕着某一点旋