优质课一等奖人教版高中数学必修一《函数单调性与最大(小)值》

的高度.
由二次函数的知识，对于函数
h
h(t) = -4.9t2 +14.7t +18，我们有
20 15
当 t = - 14.7 = 1.5时，函
10
2 (-4.9)
数有最大值
5
o 123 4
t h = 4(-4.9)18 -14.72 29
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此 时距离地面的高度约为29m.
例如函数f x = -x2 +1x∈R
1是此函数的最大值
2 1
O 1、对任意的 x R都有ƒ(x)≤1.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
ƒ(0)=1
知识要 点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;
于是
f(x1) - f(x2 ) > 0
即
f(x1 ) > f(x2 )
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得
最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在
x=5时取得最小值为0.5.
课堂练习
课堂小结
1、函数的最值的概念
2、函数的最值的求法
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值; （2）利用图象求函数的最值; （3）利用函数单调性求函数的最值 .
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
思 考
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) f(x) f(x2 )成立，由 此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b， 最小值是a，那么函数f(x)的值域是什么？
函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.值域 是[a，b]
回顾函数单调性的概念：
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数,如图1 .
2.减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义
域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 ， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D 上是减函数 ,如图2.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增， 则函数y=f (x)的最值是什么？
y
当x=m时，f (x)有最
f(n) 小值f (m)，当x=n时,f (x)
mn
有最大值f (n).
O
x
f(m)
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数 y=f(x)的最值是什么？
y
f(m)
当x=m时，f (x)有最 大值f (m)，当x=n时，f(x)
n 有最小值f (n).
Om
x
f(n)
(3)若函数 y=f(x)在区间[m,l] 上是增函数，在区间[l,n]
上是减函数，则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是
什么？
y
f(l)
最大值f (l)，有最小值，f
(m), f (n)中较小者.
方法二配方法
对函数配方得h(t)=-4.9 t1.52 +29.025
当 t=1.5时，函数有最大值h ≈29
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距 离地面的高度约为29m.
例5 已知函数 f(x) = 1 (x [3, 5]) ，求函数的最大
值与最小.
x-2
分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上 递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大 值与最小值.
解：设 x1 , x2是区间[3，5]上的任意两个实数， 且 x1 < x2，则
f(x1 )
-
f(x2 )
=
1 x1 -
2
-
1 x2 -
2
=
(x2 - 2) - (x1 - 2) (x1 - 2)(x2 - 2)
=
(x1
x2 - x1 - 2)(x2
-
2)
.
由于 3 x1 x2 5, 得x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,
（2）存在 x0 I ，使得 f(x0 ) = M.
那么，我们称M是函数y= f (x)的最大值
思 考 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数
y=f(x)的最小值的定义呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数 M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I，使得 f(x0 ) = M ，
h t = -4.9t2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少
精确到1米?
解：方法一图像法
做出函数 h(t) = -4.9t2 +14.7t +18的图像。显然，函数
图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标
就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面
y
y
y=f(x)
y=f(x)
f(x1)
f(x2) x
f(x1) f(x2)
0
x1
x2
图1
0
x1
x2 x
图2
下列两个函数的图象：
观察
y
y
M
M
x
思
o x0
图1
o
x0
x
图2
考 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最
思高点的纵坐标叫什么呢？
考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数
定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？ f(x) ≤ M
f(m)
f(n)
mO l n
x
(4)若函数 y=f(x)在区间[m,l] 上是减函数，在区间[l,n]
上是增函数，则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是
什么？
y
最小值f (l)，有最大值，f
(m), f (n)中较大者.
f(m)
f(n)
mO l n
x
f(l)
例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: