河北省唐山市开滦第二中学高三10月月考——数学(文)数学文

河北省唐山市开滦第二中学
2015届高三10月月考
数学（文）试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一
项符合题目要求.）
1. 已知集合{}{}
A n n x x
B A ∈===,,4,3,2,12，则A ∩B ＝( )
A ．
B ．
C ．
D ． 2. 若复数满足（其中是虚数单位），则的实部为（ ）
A.6
B.1
C.
D.
3. 已知α是第二象限角，sin α＝513
，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.1213
4.已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝（ ）
A ． 2
B ．2 2
C ．3 2
D ．4 2
5. 已知函数21,(1)()2,(1)
x x x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若，则实数等于（ ）
A 、
B 、
C 、2
D 、4
6.已知流程图如右下图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体
的判断框内①处应填（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，为了得到函数的图
象，只需将的图象（ ）
A ．向左平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移个单位长度
D ．向右平移个单位长度
8. 实数2
0.,l 0.2,2a b c ==的大小关系正确的是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 9. 下列说法中，正确的是( )
A ． 命题“若，则”的否命题是假命题.
B ．设为两个不同的平面，直线，则“”是 “” 成立的充分不必要条件.
C ．命题“”的否定是“”.
D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件.
10. 若函数满足，且时，，则函数
的图象与函数的图象的交点的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
11. 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0
的解集是（ ）
A. B. C. D.
12.若实数满足,则关于的函数的图象大致是( ).
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上.）
13.函数()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2,4,12cos 34sin 22πππx x x x f ，则的最小值为________ . 14.已知函数在点处的切线恰好与直线平行，则 .
15.如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两
点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →= .
16.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）已知的三个内角所对的边分别为,是锐角,
且．⑴求的度数；⑵若的面积为，求的值．
18.（本题满分12分）已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．⑴求数列{a n }的通项公式；
⑵若b n ＝a n ＋log 21a n
，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n +1＋47<0成立的n 的最小值． 19. （本题满分12分）如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，为等边三角形，平面平面，且，为的中点．
⑴求证：；⑵求点到平面的距离.
F E D C
B
A
20.（本题满分12分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[)[)[)[)[]12,10,10,8,8,6,6,4,4,2五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．⑴求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
⑵根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；⑶若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
21、（本题满分12分）已知函数322
()f x ax bx cx a =+++的单调递减区间是，且满足，⑴求的解析式；⑵对任意，关于的不等式－在上有解，求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题卡上注明所选题目的题号.
22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，
与的延长线交于点，点在
的延长线上．⑴若，求的值；
⑵若，证明：．
23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系
. 设曲线参数方程为sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），直线的极坐标方程为.⑴写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；⑵求曲线上的点到直线的最大距离.
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设函数,其中.
⑴当时，求不等式的解集;
⑵若不等式的解集为,求的值.
参考答案
∵是锐角，∴=．…………………………6分 ⑵∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=3sin 213103cos 27222π
πbc bc c b …………………………10分
∴，．…………………………12分
18、解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有
⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝a 3＋，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋q 2＝3a 1q ，a 1q ＋q 3＝2a 1q 2＋4， ①②
由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. …………………………4分
当q ＝1时，不合题意，舍去；
当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2·2n -1＝2n .
故所求数列的通项公式．…………………………6分
(2)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n . …………………………7分 所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n
＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )
＝21－2n 1－2
－n 1＋n 2＝2n +1－2－12n －12
n 2. …………………………9分 因为S n －2n +1＋47<0，所以2n +1－2－12n －12
n 2－2n +1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.
因为n ∈N *，故使S n －2n +1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10. …………12分
19．解（1）证明：连接，，因为为等边三角形，为的中点，所以平面， …… 2分 因为四边形为菱形，且，为的中点，所以…… 4分
，所以平面，所以 …… 6分
（2）过作于点
由（1）知平面，∵∥∴平面
平面平面,又平面平面,故平面……9分
因为平面平面，且平面平面
所以， …… 12分 20、解：⑴由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=，解得.
所以此次测试总人数为．
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． …………4分
⑵由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为
(0.150.05)20.4+⨯=，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为． ……7分
⑶设事件A ：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．
由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．
从这8人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF ，
,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共28种情况．
事件A 包括,,,,,,,,,,,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 共12种情况．
所以．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为． (12)
21．解：(1)由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2的单调递减区是(1，
2)，∴f ′(x )＜0的解集是．
所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个根分别是1和2，且a ＞0，
由f (0)＝a 2＝1，且a ＞0，可得a ＝1． ………2分 又⎩⎨⎧=++==++=0412)2('023)1('c b f c b f 得1629)(,62923++-=∴⎪⎩
⎪⎨⎧=-=x x x x f c b ………4分 (2)由(1)，得f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)
∵当x ＞2时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，
x ∈[2，＋∞)时，f (x )min ＝f (2)＝3 ………6分
要使3ln 2
1)(3+--<mt m m m x f 在x ∈[2，＋∞)上有解，需 ,33ln m 2
1,)(3ln 213min 3>+--∴>+--mt m m x f mt m m m 对任意m ∈(0，2]恒成立，即对任意m ∈(0，2]恒成立。

………9分
证明：（1）四点共圆，，
又，∽，
，
，．………5分
（2），，
又，∽， ，
又四点共圆，，，.………10分
23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程． 23解：⑴由得，
∴……………2分
由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得.………………5分
⑵在上任取一点，则点到直线的距离为
|2sin()4|32
d π
θ+-==≤3. ………………7分 ∴当－1，即时，.………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 24解（Ⅰ）当时，可化为. 由此可得 或. 故不等式的解集为.………………5分
( Ⅱ) 由得 此不等式化为不等式组 或 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩………………8分 因为，所以不等式组的解集为， 由题设可得， 故.………………10分。