北师大版数学选修2-2配套作业：第五章 数系的扩充与复数的引入 §1

第5章 §1 数系的扩充与复数的引入
A 级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为( A )
A ．－2
B ．1
C ．2
D ．1或－2
[解析] 由题意知：⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0
解得a ＝－2，故选A.
2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2
D ．3
[解析] 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3. 故选A.
3．(2019·西安高二检测)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”
的( B )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] a ＋b i ＝a ＋b i
i 2＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，故选B.
4．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ．2 C ． 3
D ．2
[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B. 5．设x ，y 均是实数，i 是虚数单位，复数(x －2y )＋(5－2x －y )i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )
[解析] 由题可知⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y >0
5－2x －y ≥0，可行域如A 所示，故选A.
6．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( D ) A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋π
3(k ∈Z )
C ．2k π±π
6
(k ∈Z )
D ．2k π＋π
6
(k ∈Z )
[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧
sin2θ＝cos θ，
cos θ＝3sin θ.
∴cos θ＝
32，sin θ＝12.∴θ＝π
6
＋2k π，k ∈Z ，故选D. 二、填空题
7．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝2.
[解析] 方程可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 2－3x －2＝0，
x 2－5x ＋6＝0.
解得x ＝2.
8．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是2.
[解析] a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数， ∴实部为0且虚部不为0，故a ＝2. 三、解答题
9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；
(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．
[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，
z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．
10．(2019·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．
[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0
由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－1或m ＝3
m ≠－1且m ≠－2，得m ＝3. (2)当复数对应的点在第二象限时，
由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
－1<m <3m >－1或m <－2， 得－1＜m ＜3.
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( D )
A ．－7≤λ≤916
B ．9
16≤λ≤7
C ．－1≤λ≤1
D ．－9
16
≤λ≤7
[解析] 由z 1＝z 2，得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2cos θ，
4－m 2＝λ＋3sin θ，
消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ ＝4(sin θ－38)2－9
16
.
由于－1≤sin θ≤1，故－9
16
≤λ≤7.
2．(2019·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sin θ－35)＋(cos θ－45)i(θ∈R )是纯虚数，则tan(θ－π
4)
的值为( A )
A ．－7
B ．－1
7
C ．7
D ．－7或－1
7
[解析] 因为复数z 是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即⎩⎨⎧
sin θ＝3
5
，
cos θ≠4
5
，
因为sin θ＝35且cos θ≠4
5
，
所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－3
4，
所以tan(θ－π4)＝tan θ－1
1＋tan θ＝－3
4－11－3
4＝－7.
二、填空题
3．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，则x 的值为4. [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－3x －3>0x －3＝1，解得：x ＝4. 4．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →
＝x O A →＋y O B →
(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是5.
[解析] 由复数的几何意义可知，
O C →＝xOA →＋yOB →，
即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ，
由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝4.
∴x ＋y ＝5. 三、解答题
5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． [解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，
得⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ，
故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i. 因为x ，y 为实数，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，
得x ＝－1，y ＝2. 6．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．
[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝x －3，
b ＝y ＋2.① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.
∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
C 级 能力拔高
已知z ∈C ，|z －2i|＝2，当z 取何值时，|z ＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．
[解析] 解法一：如图所示，|z －2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．|z ＋2－4i|＝|z －(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M ，N ，使得M 或N 到定点P (－2,4)的距离最大或最小．显然过P 与圆心连线交圆于M ，N 两点，则M ，N 即为所求．不
难求得M (1,1)，N (－1,3)，即当z ＝1＋i 时，|z ＋2－4i|有最大值，为32；当z ＝1＋3i 时，|z ＋2－4i|有最小值，为 2.
解法二：如图所示，设ω＝z ＋2－4i ，则z ＝ω－2＋4i ，代入|z －2i|＝2得|ω－2＋2i|＝2，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，2为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M ，N 两点，则M (3，－3)，N (1，－1)即为所求．当
ω＝3－3i ，即z ＝1＋i 时，|ω|取最大值，为32；当ω＝1－i ，即z ＝－1＋3i 时，|ω|取最小值，为 2.
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