正态分布的定义与表格(ppt 29页)

请大家想一想，实际生活中以及
工作种具有这种特点的随机变量还有 哪些呢？
除了我们在前面遇到过的年降雨量外, 在正常条件下各种产品的质量指标，如零 件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成 年男子的身高、体重；农作物的产量，小 麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的 水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从 或近似服从正态分布.
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点.
正态分布N(,2) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布N(,2) 的图形特点
它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、设备、 技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都 相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因 素。
一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机 因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起 到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被 认为服从正态分布。
用上海99年年降雨量的数据画出了 频率直方图.
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴. 即f (x)以x轴为渐近线.
三、正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2dt
2
表中给的是x>0时, Φ(x)的值.
x x
当-x<0时
(x)1 (x)
若 X～N(0,1),
P (a X b ) (b ) (a )
若 X~N(,2),
Y X
P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3] 区间内，超出这个范围的可能性仅占不 到0.3%.
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益��
(x)
1
x2
e2,
x
2
(x) 1
x t2
e 2dt
2
( x)
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.它的依据是下面的定理：
定理1
设 X~N(,2),则 Y X ~N(0,1)
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
2. 中间高
3. 两头低
4. 左右对称
5. 最高处对应 于X轴的值
就是均数
X 6. 曲线下面积
为1
7. 标准差决定 曲线的形状
N(1,0.82)
0.6
f (X )
0.5 N(0,12)
0.4
0.3
N(1,1.22)
μ决定曲线的位置，σ0.决2 定曲线的“胖瘦”
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
（4）服从正态分布的总体特征 产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布。
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
x=μσ 为f (x)的两个拐点的横坐标.
拐点坐标为 ,
1
2
1
e2
,在 ,内是凸的,其它范围内是凹的。
根据对密度数的分析，也可初步画 出正态分布的概率密度曲线图.
极大值点
拐点
二、正态曲线（ normal curve ）
图形特点：
f(X)
1. 钟型
从直方图，我们可以初步看出，年降 雨量近似服从正态分布.
下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直方图.
红线是 拟合的 正态密 度曲线
可见，某大学男大学生的身高应服从正 态分布.
人的身高高低不等，但中等身材的
占大多数，特高和特矮的只是少数，而 且较高和较矮的人数大致相近，这从一 个方面反映了服从正态分布的随机变量 的特点.
决定了图形的中心位置，决定了图形
中峰的陡峭程度.
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
Carl Friedrich Gauss
正态分布的定义是什么呢？
对于连续型随机变量，一般是 给出它的概率密度函数.
一、正态分布的定义
如果连续随机变量的概率密度为 ：
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2 其中 和 2 都是常数，任意，>0， 则称X服从参数为 和 2 的正态分布.
记作 X~N(,2)
设X~ N(,2) , X的分布函数是
F(x) 1 xe(t2 2)2d,tx
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布.
下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
二、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用( x)和( x)表示：
~N(0,1)
P(aXb)P(a Yb )
(b)(a)
利用下表，可求出标准正态总体在任一区间
内 x1,x2取值的概率。
公式： p x 2 x 1
即，可用如图的蓝色阴影部分表示。
四、3 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时，
P(|X| 1)=2(1)-1=0.6826
正态分布，也称常态分布，是统计学中一种应 用广泛的连续分布，用来描述随机现象。首先由 德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss 17771855）发现，所以亦称高斯分布。 正态分布现大 量应用于误差分析，及质量管理上 ,可以这样说， 没有正态分布，就没有数理统计，没有正态分布， 就没有现代化企业。