苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试

苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A
B = ．
2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．
3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．
4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．
5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．
6、若抛物线2
8y x =的焦点恰好是双曲线22
21(0)3
x y a a -
=>的右焦点，则实数a 的值为 ．
7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x π
ωπω=-
>的最小正周期为15，则1
()3
f 的值为 ． 9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．
10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23x
f x =-，则不等式
()5f x -≤ 的解集为 ．
11、若实数,x y 满足1
33(0)2
xy x x +=<<
，则313x y +
-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．
13、已知,A B 是圆22
1:1C x y +=上的动点，AB =
P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=
上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．
14、已知函数32
sin ,
1()925,1
x x f x x x x a x <⎧=⎨
-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）
15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3
cos 5
B =，求sin()B
C -的值．
16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，
EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．
求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．
17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的 正西方向1km 处，3tan ,44
BAN BCN π
∠=
∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有 两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、
4万元∕km ．
（1）求,A B 两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？
18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
2
，且右焦点F到左准线的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．
（ⅰ）当直线的PA斜率为1
2
时，求FMN
∆的外接圆的方程；
（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ
∆的面积的最大值．
19、已知函数2
(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e
=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；
（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．
20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*
∈N n ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若对于N n *
∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；
（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．
附加题
A. 选修4-1:几何证明选讲
如图,AB 为半圆O 的直径,D 为BC 的中点,E 为BC 的中点，求证：AB ·BC=2AD ·BD.
B.选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A=11a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为α=21⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，求实数a ,b 的值.
C. 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l ：
sin()4m π
θ-=(m ∈R),圆C 的参数方程为13cos 23sin x t y t
=-+⎧⎨
=-+⎩(t 为参数).当圆心C 到直线
l 时，求m 的值.
D. 选修4-5:不等式选讲 已知a ,b ,c 为正实数,
3
33111
27abc a b c
+++的最小值为m ,解关于x 的不等式|x+1|-2x<m.
22.甲、乙、丙分别从A ,B ,C ,D 四道题中独立地选做两道题,其中甲必选B 题.
(1) 求甲选做D 题,且乙、丙都不选做D 题的概率;
(2) 设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做的次数,求X 的概率分布和数学期望E (X ).
23. 已知等式(1+x )2n-1=(1+x )n-1(1+x )n .
(1)求(1+x )2n-1的展开式中含x n 的项的系数,并化简:011
11
111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++；
(2)证明：1222
221()2()()n n
n n n n C C n C nC -++
+=.
徐州市2016～2017学年度高三年级第一次质量检测
数学试题参考答案与评分标准
1． }3,0,2{- 2．
3． 14 4． 20 5．
31
6．1 7
8． 12- 9． 2 10． (,3]-∞- 11． 8 12．
13． [7,13] 14． {20,16}--
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=，…………2分 即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1
cos 2
A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π
3
A =． ……………………………………………………6分 （2）因为3cos 5
B =
，(0,π)B ∈
，所以4
sin 5
B ==，…………………8分 所以24sin 22sin cos 25B B B ==，27
cos212sin 25
B B =-=-， ……………10分 所以2π2πsin()sin[(
)]sin(2)33
B C B B B -=--=- 2π2π
sin 2cos cos2sin
33
B B =-………………………………12分
2417()()252252=
⨯---
⨯24
50
=
． ……………14分 16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12
MF AB =∥．
因为N 是矩形ABCD 的边CD 的中点，所以1
2
NC AB =∥．所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形．……4分
所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，
所以直线MN ∥平面EBC ．………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥．
又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ．……………………10分
又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥． 又EB EA ⊥，BC
EB B =，EB ，BC ⊂平面EBC ，
所以直线⊥EA 平面EBC ．…………………………………………………14分
A B
C
D
E
M
N
(第16题)
F
17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ． 在Rt ABD △中，3
tan tan 4
BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以4
3
AD BD =
． 在Rt BCD △中，tan tan 1BD
BCD BCN CD
∠=∠==， 所以CD BD =． 则41
133
AC AD CD BD BD BD =-=
-==，所以3BD =，则3CD =，4AD =．…2分
由勾股定理得，5AB =
=(km)．
所以A ，B 两镇间的距离为5km ． ……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．…6分 方案②：设BPD θ∠=，则0π
(,)2
θθ∈，其中0BAN θ=∠． 在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3
sin sin BD BP θθ
==
， 所以3
44tan AP DP θ
=-=-
． 则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θ
θθθ
-+=-
+=+⋅
．…………8分 设2cos ()sin f θθθ
-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθ
θθθ---==
， 令'()0f θ=，得π
3θ=
，列表如下：
所以()f θ的最小值为()3
f =
所以方案②的总铺设费用最低为8+(万元)，此时4AP =．……12分 而820+<，
所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 的正西方向(4km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………14分
(第17题)
18．（1
）由题意，得2
2c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩
则b = 所以椭圆C 的标准方程为22
1168
x y +=．………………………………………4分
（2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ， 所以直线FN
的方程为4y x k =-，则2(0,)N k
-． (i)当直线PA 的斜率为
12，即1
2
k =时，(0,2)M ，(0,4)N -
，F ， 因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，
所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分
(ii)联立22(4),
1,168
y k x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，
解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222
488(,)1212k k
P k k -++，……………………10分
直线AN 的方程为1(4)2y x k
=-+，同理可得，222848(,)1212k k
Q k k --++，
所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．
所以APQ △
的面积2
11632()21
2122P Q k
S OA y y k k k
=⋅-=⨯=
++
≤……14分
当且仅当12k k
=
，即k =时，取“=”．
所以APQ △
的面积的最大值为．…16分
19．（1）当0a =时，2
()2e
x f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；
当0a ≠时，()(
)2e
x
f x x a =-， 若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ； 若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． 综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}； 当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；
当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ．……………………4分
（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e
'()e e x x h x x x
-=-=
．
令'()0h x =，得x
所以2
()ln 02e
x h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分
（3）假设存在常数a ，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，
即2
2ln 2e
x ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．
而当x =21
ln 2e 2x x ==，所以11222
b ≥≥，
所以122b =
，则1
22
b =-
所以221
2220(*)2e 2e 2
x x ax b ax --=-+≥恒成立，
①当0a ≤时，1
202
<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；
②当0a >时，则2214(2)0
e 2a -≤，即2
(20a ≤，
所以
a =
，则1
2
b =-
．……………………………………………………12分
令1
()ln
2x x ϕ=-
+
，则'()x ϕ=，令'()0x ϕ=，得x
当0x <'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；
当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．
所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1
ln 0
2x x +≤恒成立．
所以存在
a =1
2
b =-
符合题意．………………………………………16分
20．（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故25a =； 当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，
所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n ）--+-++=+-+-， 即11(1)()6(1)n n n n a a a a +-+-=+，
又0n a >，所以116n n a a +--=，………………………………………………3分 所以216(1)66k a a k k a -=+-=+-，25+6(1)61k a k k =-=-，*k N Î，
故**33, ,,31, ,.
n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数ìï+-?ï=íï-?ïî …………………………………………5分 （2）当n 为奇数时，1
(32)(33)6
n S n a n n =
+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，2332
1
n n a n ≤+++恒成立，
令2332
()1
n n f n n ++=+，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n +++-=
>++， 所以(1)4a f ≤=．……………………………………………………………8分 当n 为偶数时，1
3(3+1)6
n S n n a n =
?-，
由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立，所以9a ≤．
又10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分 （3）当2a =时，若n 为奇数，则31n a n =-，所以31n a n =-．
解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m q m N =?，则1(1)154n m n n b b q --==?． 设(1)k m n =-，因为2
1
41
1444
3
k k --++++=， 所以(1)
21545[3(1444)1]m n k --??++++，
213[5(144+4)2]1k -=+++
+-，…………………………14分
因为215(144+4)2k -+++
+为正整数，
所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，
因为公比*4()m q m N =?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分 解法2：设222231(3)k b a k k ≥==-，所以公比231
5
k q -=． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，
取*252()k m m N =+?，则31q m =+，故15(31)n n b m -=?，
由1315(31)n n k m --=?得，11
[5(31)1]()3
n n k m n N -*=++?， 而当2n ≥时，12215
[(31)(31)]5(31)3
n n n n n k k m m m m -----=
+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，…………………………………………………14分 又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，所以n k 也都是正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，
因为公比*31()q m m N =+?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)答案
A ．因为D 为弧BC 的中点， 所以DBC DA
B ∠=∠，D
C DB =，
因为AB 为半圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒， 又E 为BC 的中点，所以EC EB =，所以DE BC ⊥， 所以ABD △∽BDE △， 所以
2AB BD BD
AD BE BC
==
，所以2AB BC AD BD ⋅=⋅．……………………………10分 B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2422a b +⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，……………6分 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩
解得2,4.a b =⎧⎨=⎩
所以a ，b 的值分别为2，4．…………………………………………………10分 C ．直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=，
圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，………………………………………5分 圆心C 到直线l
=1m =-或5m =-．…………10分
D ．因为a ，b ，0c >
，所以
3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc
=
+18=≥，当
且仅当a b c ===
“=”，
（第21(A)题）
所以18m =．…………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+， 所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-
，所以原不等式的解集为19
(,)3
-+∞．…10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．
甲选做D 题的概率为11
13C 1C 3
=，乙，丙不选做D 题的概率都是2
324C 1C 2=．
则1111
()32212
P E =⨯⨯
=．
答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为
1
12
．…………………3分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………4分
1112
(0)(1)32212
P X ==-⨯⨯=，
212
111115
(1)()(1)C (1)()3232212P X ==⨯+-⨯-⨯=， 12
222
111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212
P X ==⨯-⨯+-⨯-=， 222
111
(3)C (1)3212
P X ==⨯-=． ……………………………………………8分 所以X 的概率分布为
X 的数学期望()01236123123
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………10分
23．（1）21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数为21C n n -，……………………1分
由101
1101
111(1)(1)(C C C )(C C C )n n n n n n
n n n n n n x x x x x x ------++=++
+++
+可知，
1(1)(1)n n x x -++的展开式中含n x 的项的系数为011
11
111C C C C C C n n n n n n n n n -----+++．
所以0111111121C C C C C C C n n n n
n n n n n n n ------++
+=．…………………………………4分
（2）当*k N Î时，!!
C !()!(1)!()!
k n n n k k k n k k n k =?
---
11(1)!C (1)!()!
k n n n n k n k ---=?
--．……………………………6分
所以12222
2111
1
1
(C )2(C )(C )[(C )](C C )(C C )n n n
n k k k k k n
n
n
n
n n
n n k k k n k k n --===+++=
=
=
邋?
1
1
11
1
(C
C )(C C )n
n
k k n k k n n
n n k k n n
----====邋．………8分
由（1）知01
1111
1121
C C C C
C C C
n n n n n n
n n
n n n ------+++=，即1211
(C C )C n
n k k n
n n n k ---==å，
所以1222
221(C )2(C )(C )C n n
n n n n n n -++
+=． …………………………………10分。