马尔可夫链理论和Monte Carlo 取样的实现PPT课件

consisting of interacting individual molecules is described.
♦ 选择一个格点 i, 其自旋将考虑作翻转 si! -si.
The Paper (7500 citations from 1988 to 2003)
例题, Ising模型的模拟
The Calculation
s = {s1, s2, …, si, … }
例题, Ising模型的模拟
Ising 模型:
式中J称为交换积分, h为外场, si 可取值(1, 1), 称为自旋变量. Ising 模型是最简单的非 平庸统计物理模型, 它是由德国物理学家 Lenz 在二十年代提出的, 这一模型可用来描 述单轴各向异性磁性系统, 合金等物理体系, 同时也是一个十分有兴趣的理论模型.
♦ 选择一个格点 i, 其自旋将考虑作翻转 si! -si.
The method consists of a modified Monte Carlo integration over configuration space.
Number of particles N = 224
目前常用的另一种选择是:
有限尺寸标度与相变 涨落:
h A2i 通常与某种响应函数相联系: 涨落耗散定理! 若A(x)为系统的哈密顿量, 则平均每个粒子的能 量 hEi为:
比热是一个强度量, 由此可以推断: 自平均效应. 当系统的尺度趋于无限时, 其涨落趋于0!
有限尺寸标度与相变
这实际上是中心极限定理的一个结果. 考虑把系统 分成一些小的系统, 小系统之间的相互作用可以忽 略时(这总可以做到?!), 就是一系列独立, 同分布的 样本, 从而中心极限定理成立.
T<TC 时的序参量分布
基本出发点: 设有限系统的线度为L, 则关联长度最多为L, < L;
where i and j run over a lattice, <ij> denotes nearest neighbors, s = ±1
基本出发点: 设有限系统的线度为L, 则关联长度最多为L, < L;
• Metropolis 算法取
T 为一个对称的转移矩阵
The Paper (7500 citations from 1988 to 2003)
THE JOURNAL OF CHEMICAL PHYSICS
VOLUME 21, NUMBER 6
JUNE, 1953
Equation of State Calculations by Fast Computing Machines
考虑从r态到s态的转移, 若二状态的能量差为
则:
当年Metropolis 选择 :
目前常用的另一种选择是:
应当注意的是, w的选择并不唯一, 只要满足细致平 衡条件的要求即可, 但不同的w收敛速度往往差别很 大, 如何选择合适的w以达到尽可能快的收敛速度和 尽可能高的计算精度仍然是当前Monte Carlo算法研 究的前沿课题之一.
• Monte Carlo 是马尔可夫链的计算机实现. Monte Carlo中, P 给定, 我们需要寻找 W 使得 P = P W.
马尔可夫链的收敛条件(充要)
• 各态历经
对所有 n > nmax, 所有 x 和 x’
• 细致平衡
证明
考虑很多个平行的Markov链, 在一个给定的某一步, 有Nr 个链处于第r个态, Ns个链处于第s个态. 于是在下一步从r 态到s态的数目为
Binder 4 阶累积量
在二级相变点(现一般称为临界点, 二级相变也称为连续相变), 系统的比热, 磁化率等物理量发散, 发散的根源在于相关长度发散.
♦ 如果 <w, 则翻转该自旋, 否则, 保持不变.
From D P Landau, Phys Rev B 13 (1976) 2997.
一个算法
马尔可夫链理论和Monte Carlo 取样的实现
• Monte Carlo 取样不直接使用 P(X) ,而是 以某种方式取样, 大量的样本最终符合所 需的分布.
• Monte Carlo利用转移矩阵
,从
当前 x 生成一个状态 y .
马尔可夫链和Monte Carlo
• 马尔可夫链是一个简单的随机过程, 给 定转移矩阵 W,可以得到平衡分布 P.
• Monte Carlo sweep ≈ 60 where i and j run over a lattice, <ij> denotes nearest neighbors, s = ±1
可以使用上述任何一种进行计算, 然后外推到N ! 1.
Monte Carlo利用转移矩阵
, 从当前 x 生成一个状态 y .
例题, Ising模型的模拟
Ising 最早给出了这一模型在一维情况下 的严格解, 证明了在一维下这一模型不存 在相变. Onsager 于1944 年做出了零场 下这一模型在二维空间的严格解并计算了 它的相变温度, 比热在相变点的行为等热 力学量. 杨振宁在1952 年解出了外场很小 时二维空间的 Ising 模型, 求出了序参量的 临界行为.
The Ising Model
--+-+ ---++ -
++--- +
+-+++ ++--- ++--+ -
The energy of configuration s is
E(s) = - J ∑<ij> si sj
where i and j run over a lattice, <ij>
denotes nearest neighbors, s = ±1
A general method, suitable for fast computing machines, for investigating such properties as equations of state for substances consisting of interacting individual molecules is described. The method consists of a modified Monte Carlo integration over configuration space. Results for the two-dimensional rigid-sphere system have been obtained on the Los Alamos MANIAC and are presented here. These results are compared to the free volume equation of state and to a four-term virial coefficient expansion.
基于在讨论能量时的同样的分析, 我们得到序参量(磁化)的分布.
可以使用上述任何一种进行计算, 然后外推到N ! 1.
平均能量 <E(s)>
考虑磁化率: 在临界点附近有一个峰, 最高处的温度定义为有限系统的临界温度Tc(L), 峰宽为 T.
在临界点, 热力学量具有很有趣的标度行为: 以单轴各向异性磁体为例(理论上近似以Ising模型描述).
♦ 选择一个格点 i, 其自旋将考虑作翻转 si! -si. ♦ 计算与此翻转相联系的能量变化 H. ♦ 计算这一翻转的转移几率 w. ♦ 产生一在 [0,1] 之间均匀分布的随机数 . ♦ 如果<w, 则翻转该自旋, 否则, 保持不变. 不论何种情况,
其结果都作为一新的状态. ♦ 分析该状态, 为计算平均值收集数据.
如果先取h=0, 则得不到自发磁化. 自发磁化是热 力学极限下的产物, 由各态历经破坏而得到.
由于:
有限尺寸标度与相变
磁化率:
Man
Seated is Nick Metropolis, the background is the MANIAC vacuum tube computer
正则分布的抽样方法:
选择一个满足细致平衡条件的转移几率; 产生一个Markov 链, 丢掉链的前而面M个状态; 用其余状态进行物理量的计算.
THE JOURNAL OF CHEMICAL PHYSICS
VOLUME 21, NUMBER 6
JUNE, 1953
A general method, suitable for fast computing machines, for investigating such properties as equations of state for substances
从s态到r态的数目为
从r态到s态的净转移的数目为
若w( xr! xs)满足细致平衡条件, 则上ห้องสมุดไป่ตู้成为
这是一个十分重要的结果, 上式表明, 如果二个状态之间 不满足分布P, 则这一Markov 过程的演化结果将总是 使其趋于满足. 这样, 就证明了我们的论断.
Metropolis 算法 (1953)
由于对这一模型的很多形为目前了解的比较 透彻, 因此它经常被用来做为检验各种数值方 法或解析近似方法的标准.
1969年，A. E. Ferdinand和M. E. Fisher求得了有限 尺寸2D Ising 模型在周期性边界条件下的严格解， 成为检验模拟结果的一个有效标准。
感兴趣的物理量
1. 平均能量 <E(s)> 2. 比热，利用下面的公式:
NICHOLAS METROPOLIS, ARIANNA W. ROSENBLUTH, MARSHALL N. ROSENBLUTH, AND AUGUSTA H. TELLER,
Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos, New Mexico
AND
EDWARD TELLER, * Department of Physics, University of Chicago, Chicago, Illinois (Received March 6, 1953)
3. 磁化 <M> = <|∑isi|>
4. 磁化率 5. 6. 5. Binder 4 阶累积量
6. 自旋相关函数 7. 时间相关函数
2D Ising 模型的比热
Monte Carlo利用转移矩阵
, 从当前 x 生成一个状态 y .
, , , , 称为临界指数, 是反映临界点本质的量.
Each sweep took 3 minutes on MANIAC
1087
The Calculation
考虑磁化率: 在临界点附近有一个峰, 最高处的温度定义为有限系统的临界温度Tc(L), 峰宽为 T.
• Number of particles N = 224 ROSENBLUTH, MARSHALL N.
E(s) = - J ∑<ij> si sj
These results are compared to the free volume equation of state and to a four-term virial coefficient expansion.
• Each sweep took 3 minutes on MANIAC 比热:
磁化率:
From A M Ferrenberg and D P Landau, Phys Rev B 44 (1991) 5081
磁化随MCS的变化，有限系统的各态历经演示。
• Each data point took 5 hours B, 42 (1990) 2465.
由此, 能量的分布可以写为:
P(E), N=1, 5, 10, 20 , 30 h E i =1 KB T2 c=1 分布宽度 / 1/N1/2
Ising 模型:
平均磁化: 自发磁化: 注意求极限的顺序!!
有限尺寸标度与相变 由于Ising模型的哈密顿量在h=0时具有 Si $ –Si 的对称性, 所以,
基本出发点: 设有限系统的线度为L, 则关联长度最多为L, < L;
例题, Ising模型的模拟
基于在讨论能量时的同样的分析, 我们得到序参量(磁化)的分布.
E(s) = - J ∑<ij> si sj
ROSENBLUTH, AND AUGUSTA H.
MANIAC the Computer and the