2021年高三下学期第一次调研(一)考试数学(理)试题 含解析

2021年高三下学期第一次调研（一）考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则的子集可以是
A. B. C. D.
2.若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是
A. B. C. D.
3．已知抛物线，则
A.它的焦点坐标为
B. 它的焦点坐标为
C.它的准线方程是
D. 它的准线方程是
【答案】C
【解析】
试题分析：将抛物线化为标准方程得，所以其焦点坐标为 ,准线方程为.
考点：抛物线的标准方程及几何性质.
4．下列说法中，不正确
．．．的是
A.“”是“”的必要不充分条件
B.命题“若都是奇数，则是奇数”的否命题是“若不都是奇数，则不是奇数”
C.命题或，则使或
D.命题若回归方程为，则与正相关；命题：若，则，则为真命题
5.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为
A. B. C. D.
6．给出以下数阵，按各数排列规律，则的值为
1
22
353
416164
565655
n
A. B. C. D.326
【答案】C
【解析】
试题分析：根据图中数字发现，这组数具备的特征是每一行的第一个数和最后一个数都是该行的行数，中间的每个数等于它肩上的上一行两个相邻数之积再加1，故．
考点：归纳推理.
7．运行如下程序框图：
否
是
k=k+1
结束
输出S
k<n?
S=S+2k
k=1
S=0
开始
若输出的的值为12，则判断框中的值可以是
A.2
B.3
C.4
D.5
8．已知向量()
3
(sin2,1),(cos2,),()
2
m x n x f x m n m
==-=-⋅，则函数的最小正周期与最大值分别为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：,
5
()()sin2(sin2-cos2)
2
f x x x x
=-⋅+
m n m=
2
1512
sin2sin4(cos4sin4)343
22224
x x x x x
π
⎛⎫=-+=-++=-++
⎪
⎝⎭
，故的最小正周期T=,最大值为
考点：1.向量的坐标运算；2.三角函数的图象与性质.
9．已知一个几何体的三图如图所示，山该几何体的体积为
侧视图
正视图
2
1
1
2
1
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由三视图的定义可知，该几何体为下图中的MNC 1B 1-ADCB,
其体积为1111
1
11
ABCD A B C D A A MN D NC D V V V V ---=--正方体三棱锥三棱锥
31111
211221273232
=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
考点：三视图.
10．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人、、、除与、与不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有 A.48种 B.36种 C.24种 D.8种 【答案】A 【解析】
试题分析：五国领导人单独会晤的有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、CD 、CE ，共八场,现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行.因为能同时会晤的共有（AB ，CD ），（AC ，BD ），（AD ，CE ），（AE ，BC ）和（AB ，CE ）、（AC ，BD ），（AD ，BC ），（AE 、CD ）两种情况，故不同的安排方法共有 考点：排列与组合.
11．设分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点使得两直线斜率，则双曲线的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
12．已知定义域为的函数，若对任意的，有，则称函数为“定义域上的函数”，以下五个函数：①；②；
③；④；⑤，其中是“定义上的函数”的有
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个 【答案】C 【解析】
试题分析：对于①，()()()()()121212122326f x x x x f x f x x x +=++≤+=++，满足条件；对于②，()()()2
2
2
2
12121212122,f x x x x x x f x f x x x +=+++=+，当x 1x 2>0时，不满
足，故②不是“定义域上的函数”；对于③，
()()()2222121212121221,2f x x x x x x f x f x x x +=++++=++，因为，所以，故，③满足
条件；对于④，
()()()()121212211212sin sin cos sin cos sin sin f x x x x x x x x x x f x f x +=+=+≤+=+，故④满足条件；对于⑤，()()()()()1221212212log ,log f x x x x f x f x x x +=++=，因为，所以，可得，故⑤满足条件. 是“定义域上的函数”有 ①③④⑤，共4个. 考点：1.新定义问题；2.函数性质的应用.
第Ⅰ卷（非选择题90分）
二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分，请将正确答案填在题中横线上. 13.已知展开式的常数项为15，则展开式的各项系数和为 .
14.已知满足，，记的最大值为，则函数（且）的图象所过定点坐标为 .
【答案】
【解析】
试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，解方程组得边界点的坐标为A(1,3),B(2,2),C(1,1)，易知将代入时会使得目标函数取得最大值z=2×2-2=2.所以过定点(1,3).
考点：线性规划.
15.已知数列是等比数列，且，则
.
16.在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积取最大值时有 .
x
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
设数列满足，且对任意，函数满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求证：.
18.(本小题满分12分)
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查
每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
（1）根据以上数据，能否有﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为，试求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据：
【答案】（1）没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；（2）2人； (3) 的分布列是
的期望值是. 【解析】
试题分析：（1）直接代入公式计算对照表格可知；（2）由分层抽样的比例可计算其人数；(3)先写出所有的的可能性，求出其概率，由公式计算其期望即可. 试题解析：（1）由列联表可得
22
2
()100(26203024)0.649350.708()()()()56445050
n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯.(3
分)
所以没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关. (4分)
（2）依题意可知，所抽取的5位女性中,
19.(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值.
F
B
D
A
C
【答案】(1)见解析；(2). 【解析】
试题分析：(1)先利用等腰三角形性质得，由线面性质垂直性质可得，又因为，
20. (本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆标准方程；
(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由.
【答案】(1) ;(2)存在点使之成立.
则有11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =--=--+
)4())(2()1(2
2212212m k x x m k x x k ++++-+= )4(3112)2(31612)1(2222
2222
m k k k m k k k k +++⋅+-+-⋅+= （10分）
要使上式为定值，即与k 无关，则应，
即，此时为定值，定点为.（12分）
考点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆与直线的位置关系；3.向量运算.
21. (本小题满分12分)
已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性；
(3)求证：当时，
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)
自圆外一点引圆的两条割线和，如图所示，其中割线过圆心，.
(1)求的大小；
(2)分别求线段和的长度.
P
【答案】(1); (2) ,.
【解析】
试题分析：(1)由可知，所以即
23. (本小题满分10分)
已知在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）.
(1)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
(2)直线的坐标方程是，且直线与圆交于两点，试求弦的长.
24. (本小题满分10分)
已知函数的定义域为.
(1)求实数的取值范围；
(2)当正数满足时，求的最小值.
【答案】(1); （2）.
【解析】
试题分析：(1) 0恒成立等价于，从而可求的取值范围;
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