最新-黑龙江省哈尔滨市第六中学2018学年高二下学期期

满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1.已知集合[0,4)A =,集合},32|{2N x x x x B ∈≥-=，则=B A ( )
A. }43|{<≤x x
B. }30|{<≤x x
C. {3}
D. {3,4} 【答案】C
考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算． 2．79cos()6
π
-
的值为( ) A ．－12 B. －32 C ．12 D. 32
【答案】B 【解析】 试题分析：2
3
6cos 67cos 679cos )679cos(-
=-===-
ππππ；故选B ． 考点：诱导公式．
3. 设)(x f 是定义在R 上的函数,则“)(x f 不是奇函数”的充要条件是（ ） A ．,()()x R f x f x ∀∈-≠-
B ．,()()x R f x f x ∀∈-≠
C ．000,()()x R f x f x ∃∈-≠-
D ．000,()()x R f x f x ∃∈-≠
【答案】C 【解析】
试题分析：)(x f 不是奇函数，等价于“)()(x x f -=-对于R x ∈∀不恒成立”，即
000,()()x R f x f x ∃∈-≠-；故选C ．
考点：充分、必要条件的判定． 4. 已知5
3
)sin(=
+απ，α是第四象限的角，则)2cos(πα-=（ ） A.54 B.54- C.±54 D.
53
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意，得53sin )sin(=-=+ααπ，即5
3
sin -=α，又因为α是第四象限的角，所以54sin 1cos 2
=-=αα，则5
4cos )2cos(==-απα；故选A ．
考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．
5. 若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，(23)(14)f f +-=（ ） A.1- B. 1 C. 2- D. 2
【答案】A
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性． 6．方程03log 3=-+x x 的解所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
【答案】C 【解析】
试题分析：令
3log )(3-+=x x x f ，因为03
2
log 12log )2(2
3<=-=f ，013log )3(3>==f ，0)3()2(<⋅f f ，所以函数3log )(3-+=x x x f 的零点所在区间为
)3,2(；故选C ．
考点：1.零点存在定理；2.对数的运算性质．
7. 已知442log 6,log 0.2,log 3a b c ===，则这三个数的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
【答案】A 【解析】
试题分析：因为9log 3log 22
log 3
log 3log 44442===
=c ，且x y 4log =在),0(+∞上为增函数，
则2.0log 6log 9log 444>>，即b a c >>；故选A ． 考点：1.换底公式；2.对数函数的单调性．
8. 已知命题0:p x R ∃∈，使0sin 2
x =；命题():0,,sin q x x x ∀∈+∞>，则下列判断正确的是（ ）
A ．p 为真
B ．q ⌝为假
C ．p q ∧ 为真
D ．p q ∨为假 【答案】B
考点：1.命题真假的判定；2.复合命题． 9. 将函数sin(4)6
y x π
=-
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移
4
π
个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
.A 6π
=
x
.B 3π
=
x
.C 12π
=
x
.D 512x π
=
【答案】C 【解析】
试题分析：将函数sin(4
)6
y x π
=-图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数
)62sin(π-=x y 的图象，再将所得图象向左平移4
π
个单位，纵坐标不变，得到函数
)3
2sin(]6)4(2sin[π
ππ
+=-+=x x y 图象，令
Z
k k x ∈+=
+
,2
3
2ππ
π
，则
Z k k x ∈+=
,12
2π
π，令0=k 时，得到该函数图象的一条对称轴方程为12π=x ；故选C ．
考点：1.三角函数的图象变换；2.三角函数的性质．
10. 现有四个函数：①x x y sin =②x x y cos =③x x y cos =④x x y 2⋅=的图象(部分)如下，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A ．④①②③
B ．①④③②
C ．①④②③
D ．③④②①
【答案】
C
【方法点睛】本题考查通过函数的解析式和性质确定函数的图象，属于中档题；已知函数的解析式确定函数的图象，往往从以下几方面考虑：定义域（确定图象是否连续），奇偶性（确定图象的对称性），单调性（确定图象的变化趋势），最值（确定图象的最高点或最低点），特殊点的函数值（通过特殊函数值排除选项），其主要方法是排除法. 考点： 1.函数的奇偶性；2.函数的图象． 11. 已知函数1()ln
sin 1x
f x x x
+=+-，
则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是（ ） A
．2) B ．(32)-， C ．(12)， D
． 【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：
因
为
)
(x f 的定义域为
)
1,1(-，且
)()s
i n 11(l n )s i n (11ln
)(x f x x
x
x x x x f -=+-+-=-++-=-，所以函数)(x f 是奇函数，又因为
x x x x f sin )1ln()1ln()(+--+=在)1,1(-上为增函数，所以2(2)(4)0f a f a -+-<可化为
)4()4()2(22a f a f a f -=--<-，则⎪⎩
⎪
⎨⎧-<-<-<-<-<-2242141121a a a a ，解得23<<a ；故选A ．
考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性．
【易错点睛】本题考查对数函数的运算性质、正弦函数的奇偶性、函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题；解决本题的关键在于先判定函数的奇偶性，再将不等式转化为
)()(y f x f <的形式，再利用函数的单调性将问题转化成y x >的形式，再利用不等式的性质
进行求解，但要注意定义域的限制范围. 12．曲线()()2
0f x ax
a =>与()ln g x x =有两条公切线，则a 的取值范围为（ ）
A ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．1,+e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭ D ．1,+2e ⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
12
1
ln 141x kx -=，即)ln 1(4112
1x kx -=，若存在两条不同的公切线，则需关于1x 的方程)ln 1(41121x kx -=有两个不同的实数根，令),0(,1)ln 1(4)(2+∞∈--=x x kx x h ，则)ln 21(4)('x kx x h -=，令0)('=x h ，得e x =，当0>k 时，)('x h 在),0(e 为正，在
),(+∞e 为负，即12)()(-==ke e h x h 极大值，则需012)(>-=ke e h ，即e
k 21
>
；当0<k 时，)('x h 在),0(e 为负，在),(+∞e 为正，即12)()(-==ke e h x h 极小值，但当0→x 时，0)(<x h ，即函数)(x h 只有一个零点，即方程)ln 1(41121x kx -=只有一个实数根，
不符合题意，综上所述，e
k 21
>；故选D ． 考点：导数的几何意义．
【方法点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值和零点的关系以及等价转化思想、分类讨论思想的应用，属于难题；解决本题的关键在于利用导数的几何意义写出
两条切线方程，将问题转化为方程的根的个数问题，再构造函数，利用导数研究函数的零点，要注意分类讨论思想的应用和极限思想的应用.
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13. 已知函数()log (2)4(0,1)a f x x a a =-+>≠，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正
半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αα
αα
+-= ．
【答案】10
考点：1.对数函数的图象与性质；2.三角函数的定义；3.同角三角函数基本关系式． 14. 函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值为 ． 【答案】3-
考点：1.二倍角公式；2.一元二次函数的值域． 15. 若函数 f (x)= x +(21)1
a x x
+++l 为奇函数，则a= ．
【答案】1- 【解析】
试题分析：因为)22(1
)(+++
=a x
x x f 为奇函数，所以022=+a ，1-=a ；故填1-． 考点：基本函数的奇偶性．
【技巧点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数问题，属于基础题；利用函数的奇偶性求参数的方法大致有：①利用奇偶性的定义转化为恒成立问题；②若函数)(x f 在0=x 处有定义，则利用0)0(=f 求参数；③利用特殊值进行求值，若本题中通过)1()1(f f -=-求值；④利
用基本函数的奇偶性和常见结论（如：
偶函数奇函数奇函数，奇函数奇函数奇函数=⨯=+）进行求解；而本题巧妙地利用
第四种方法，减少了计算量.
16. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=，在区间(,3)-∞-与[]3,0-上分别递增和递减，则不等式()0xf x >的解集为_______ ． 【答案】(,4)(2,0)(2,4)-∞--U U
考点：函数的奇偶性和单调性．
【技巧点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用以及分类讨论思想的应用，属于中档题；解决本题的技巧有二：一是在已知函数奇偶性判定函数在某区间上的单调性时，要注意一些结论的应用（如：奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反），二是利用函数)(x xf 是偶函数进行求解，避免了繁琐的讨论.
三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17. （本小题满分10分）
已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在3[,
]48ππ
-
上的值域.
【答案】（1）π；（2）[1]-． 【解析】
试题分析：先利用二倍角公式和配角公式进行恒等变换，（1）利用周期公式进行求解；（2）
先由x 的范围得到4
2π
+
x 的范围，再利用三角函数的图象和性质进行求解．
试题解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos 2)x x =--)14
x π
=
+
-，
所以函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
=.
（2）因为3[,
]48x ππ
∈-，所以2[,]4
4x π
π
π+
∈-
，所以sin(2)[42
x π+∈-，
所以())1[1]4f x x π
=
+-∈-，
所以函数()f x 在3[,]48
ππ
-上的值域是[1]-. 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质． 18. （本小题满分12分）
已知(,)2παπ∈，且sin cos 22αα+
(1)求cos α的值；
(2)若3sin(),(,)52π
αββπ-=-∈，求cos β的值．
【答案】（1）23-
；（2）10
334+．
(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π
2.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5
.
cos β＝cos α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭
⎫－35＝－43＋3
10
. 考点：1.三角恒等变换；2.同角三角函数基本关系式．
【技巧点睛】本题考查同角三角函数基本关系式、二倍角公式、两角和差的余弦公式进行三角恒等变换，所以中档题；在进行三角恒等变换时，首先要研究“角”，即已知角和所求的关系（如：互余、互补等），如本题中巧妙地利用)(βααβ--=进行化简求值，也是学生不容易想到的地方，另要注意二倍角中的角呈“二倍”关系，如：2
2,224α
ααα⨯=⨯=.
19.（本小题满分12分）
（1）求()f x 的单调增区间； （2）若0x 为)(x f 的一个零点)2
0(0π
≤≤x ，求0cos2x 的值.
【答案】（1）[,],63
k k k Z π
π
ππ-
+∈；（2）8
1
53+．
试题解析：
12sin 262x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，所以()f x 的最小正周期为π，
因为222,,2
6
2
6
3
k x k k x k k Z π
π
π
π
π
ππππ-
≤-
≤+
∴-
≤≤+
∈
函数()f x 的单调递增区间是[,],63
k k k Z π
π
ππ-
+∈；
（Ⅱ）()0001
12sin 20sin 26264f x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=-
+=∴-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭， 00050,2202
6
6666
x x x π
π
π
ππ
π≤≤
-
≤-
≤∴-≤-≤，
0cos 26x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭
0000cos2cos 2cos 2cos sin 2sin
666666x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
1142=
+⨯=
. 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质． 20. （本小题满分12分）
已知函数2()1,x f x e x x R =--∈ （1）求证：x x x f +-≥2)(；
（2）若kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围； 【答案】（1）证明略；（2）)2,(--∞e ．
∴0)0()(min ==g x g ，从而x x x f +-≥2)( （2）kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立⇔
k x
x f >)
(对任意的),0(+∞∈x 恒成立 令0,)
()(>=x x x f x ϕ,∴2
222)1)(1()1()2()()()(x x e x x x e x e x x x f x f x x x x x ---=----=-'=
'ϕ 由（1）可知当),0(+∞∈x 时，01>--x e x 恒成立 令'()0x ϕ>，得1>x ；0)(<'x g 得10<<x
∴()x ϕ的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(，min ()(1)2x e ϕϕ==- ∴min ()(1)2k x e ϕϕ<==-，∴实数k 的取值范围为)2,(--∞e
考点： 1.不等式恒成立问题；2.导数与函数的单调性、最值间的关系．
【方法点睛】本题考查不等式的恒成立问题、利用导数研究函数的单调性、最值问题，属于
中档题；处理含参数的不等式恒成立问题往往是先合理分离参数，使问题转化为求函数的最值问题，再利用“M x f ≥)(恒成立M x f ≥⇔min )(”或“M x f ≤)(恒成立M x f ≤⇔max )(”求参数的值，较巧妙地避开的繁琐的讨论. 21. （本小题满分12分）
已知函数f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)的极值点；
(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x －1)，其中a ∈R ，求函数g(x)在区间1，e]上的最小值．(其中e 为自然对数的底数)．
【答案】（1）x ＝1e 是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在；（2）当a≤1时，g(x)的最小值为
0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a －e a －
1；当a≥2时，g(x)的最小值为a ＋e －ae ．
所以f(x)在区间(0，1e )上单调递减，在区间(1
e ，＋∞)上单调递增．
所以，x ＝1
e
是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
(2)g(x)＝xln x －a(x －1)，则g ′(x)＝ln x ＋1－a ，由g ′(x)＝0，得x ＝e a －
1，
所以，在区间(0，e a －
1)上，g(x)为递减函数，在区间(e a －
1，＋∞)上，g(x)为递增函数．
当e a －
1≤1，即a ≤1时，在区间1，e]上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.
当1<e a －
1<e ，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(e a －
1)＝a －e a －
1.
当e a －
1≥e ，即a ≥2时，在区间1，e]上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)＝a
＋e －ae.
综上，当a ≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a －e a －
1；当a ≥2时，
g(x)的最小值为a ＋e －ae.
考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.分类讨论思想． 22. （本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知点A(2，m)，求过点A 的曲线y ＝f(x)的切线条数．
【答案】（1）f(x)＝x 3－3x ；（2）①当m>2或m<－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线；②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6恰有两解，即过点A 有两条切线；③当－6<m<2时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6有三解，即过点A 有三条切线． 【解析】
试题分析：（1）求导，利用⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-=3)0(0)1(0
)1('''f f f 进行求解；（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义
求其斜率，写出切线方程，构造函数，利用导数研究极值，再通过数形结合思想求解．
试题解析：(1)f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，
设g(t)＝－2t 3＋6t 2－6，令g ′(t)＝0，即－6t 2＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2. 当t 变化时，g ′(t)与g(t)的变化情况如下表：
所以g(t)的极小值为g(0)＝－6，极大值为g(2)＝2. 作出函数草图可知：
①当m>2或m<－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6<m<2时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6有三解，即过点A 有三条切线． 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的极值．。