固安县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
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固安县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E 为底面ABCD 上的动点.若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大,则E 点位于( )
A .点A 处
B .线段AD 的中点处
C .线段AB 的中点处
D .点D 处
2. 某几何体的三视图如下(其中三视图中两条虚线互相垂直)则该几何体的体积为( )
A.83 B .4 C.163
D .203
3. 若集合A={x|﹣2<x <1},B={x|0<x <2},则集合A ∩B=( ) A .{x|﹣1<x <1} B .{x|﹣2<x <1} C .{x|﹣2<x <2} D .{x|0<x <1}
4. 已知等差数列的公差
且
成等比数列,则
( ) A .
B .
C .
D .
5. 下列命题中的说法正确的是( )
A .命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”
B .“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件
C .命题“∃x ∈R ,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R ,均有x 2+x+1>0”
D .命题“在△ABC 中,若A >B ,则sinA >sinB ”的逆否命题为真命题
6. 执行如图所示的程序框图,如果输入的t =10,则输出的i =( )
A.4 B.5
C.6 D.7
7.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示,那么水瓶的形状是
()
A.B.C.D.
8.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则异面直线EF和BC1所成的角是()
A.60°B.45°C.90°D.120°
9.以过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
10.某个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中的圆弧是半径为2的半圆,则该几何体的表面积为
( )
A .π1492+
B .π1482+
C .π2492+
D .π2482+
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用,难度中等.
11.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B ,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为( )
A .
B .
C .
D .
12.已知函数()x e f x x
=,关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=(a R Î)有3个相异的实数根,则a 的
取值范围是( )
A .21(,)21e e -+?-
B .21(,)21e e --?-
C .21(0,)21e e --
D .2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识,意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力.
二、填空题
13.S n =
+
+…+
= .
14.如果定义在R 上的函数f (x ),对任意x 1≠x 2都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2(fx 1),则称函数为“H 函数”,给出下列函数
①f (x )=3x+1 ②f (x )=()x+1
③f (x )=x 2+1 ④f (x )=
其中是“H 函数”的有 (填序号)
15.当0,1x ∈()时,函数()e 1x f x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方,则实数a 的取值范围是___________.
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性,意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力.
16.定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上是增函数,且f (2)=0,则不等式f (log 8x )>0的解集是 .
17.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是 . 18.命题“(0,)2
x π
∀∈,sin 1x <”的否定是 ▲ .
三、解答题
19.如图所示,在正方体1111ABCD A BC D -中. (1)求11AC 与1B C 所成角的大小;
(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点,求11AC 与
EF 所成角的大小.
20.如图,在四棱柱中,底面,,,.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:; (Ⅲ)若
,判断直线
与平面是否垂直?并说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=1
2
x 2+x +a ,g (x )=e x .
(1)记曲线y =g (x )关于直线y =x 对称的曲线为y =h (x ),且曲线y =h (x )的一条切线方程为mx -y -1=0,求m 的值;
(2)讨论函数φ(x )=f (x )-g (x )的零点个数,若零点在区间(0,1)上,求a 的取值范围.
22.(1)直线l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a ∈R ).若l 在两坐标轴上的截距相等,求a 的值; (2)已知A (﹣2,4),B (4,0),且AB 是圆C 的直径,求圆C 的标准方程.
23.(本小题满分12分)
如图长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,
BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=4,D1F=8,过点E,F,C的平面α与长方体的面相交,交线围成一个四边形.
(1)在图中画出这个四边形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α将长方体分成的两部分体积之比.
24.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l过点P(1,0),斜率为,曲线C:ρ=ρcos2θ+8cosθ.
(Ⅰ)写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|•|PB|的值.
固安县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A
【解析】解:如图,
E 为底面ABCD 上的动点,连接BE ,CE ,D 1E , 对三棱锥B ﹣D 1EC ,无论E 在底面ABCD 上的何位置, 面BCD 1 的面积为定值,
要使三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大,则侧面BCE 、CAD 1、BAD 1 的面积和最大, 而当E 与A 重合时,三侧面的面积均最大,
∴E 点位于点A 处时,三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大. 故选:A .
【点评】本题考查了空间几何体的表面积,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.
2. 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知,该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点,上底面
为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图,其体积V =23-13×2×2×1=20
3,故选D.
3. 【答案】D
【解析】解:A ∩B={x|﹣2<x <1}∩{x|0<x <2}={x|0<x <1}.故选D .
4. 【答案】A
【解析】 由已知,
,
成等比数列,所以
,即
所以
,故选A
答案:A
5.【答案】D
【解析】解:A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错误,
B.由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6,即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件,故B错误,
C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1≤0﹣5,故C错误,
D.若A>B,则a>b,由正弦定理得sinA>sinB,即命题“在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB”的为真命题.则命题的逆否命题也成立,故D正确
故选:D.
【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断,含有量词的命题的否定,比较基础.
6.【答案】
【解析】解析:选B.程序运行次序为
第一次t=5,i=2;
第二次t=16,i=3;
第三次t=8,i=4;
第四次t=4,i=5,故输出的i=5.
7.【答案】A
【解析】解:考虑当向高为H的水瓶中注水为高为H一半时,注水量V与水深h的函数关系.
如图所示,此时注水量V与容器容积关系是:V<水瓶的容积的一半.
对照选项知,只有A符合此要求.
故选A.
【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
8.【答案】A
【解析】解:如图所示,设AB=2,
则A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(2,2,1).
∴=(﹣2,0,2),=(0,1,1),
∴===,
∴=60°.
∴异面直线EF和BC1所成的角是60°.
故选:A.
【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9.【答案】C
【解析】解:设过右焦点F的弦为AB,右准线为l,A、B在l上的射影分别为C、D
连接AC、BD,设AB的中点为M,作MN⊥l于N
根据圆锥曲线的统一定义,可得
==e,可得
∴|AF|+|BF|<|AC|+|BD|,即|AB|<|AC|+|BD|,
∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|,|MN|=(|AC|+|BD|)
∴圆M到l的距离|MN|>r,可得直线l与以AB为直径的圆相离
故选:C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F,求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系,着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
10.【答案】A
11.【答案】B
【解析】解:在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,
则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR,
其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR,
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==.
故选B.
【点评】本题考查的知识点是几何概型,其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键.
12.【答案】D
第Ⅱ卷(共90
分)
二、填空题
13.
【答案】
【解析】
解:∵==(﹣),
∴
S
n
=++…
+
=
[(1﹣)+
(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=(1﹣)=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和,属于中档题.
14.【答案】 ①④
【解析】解:∵对于任意给定的不等实数x 1,x 2,不等式x 1f (x 1)+x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)+x 2f (x 1)恒成立, ∴不等式等价为(x 1﹣x 2)[f (x 1)﹣f (x 2)]≥0恒成立, 即函数f (x )是定义在R 上的不减函数(即无递减区间); ①f (x )在R 递增,符合题意; ②f (x )在R 递减,不合题意;
③f (x )在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增,不合题意; ④f (x )在R 递增,符合题意; 故答案为:①④.
15.【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意,知当0,1x ∈()时,不等式2
e 1x
x ax -≥-,即21e x x a x +-≥恒成立.令()21e x
x h x x
+-=,
()()()2
11e 'x x x h x x
-+-=.令()1e x k x x =+-,()'1e x k x =-.∵()0,1x ∈,∴()'1e 0,x k x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减,∴()()00k x k <=,∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>,∴()h x 在()0,1x ∈为递增,∴
()()12e h x h <=-,则2e a ≥-.
16.【答案】 (0,
)∪(64,+∞) .
【解析】解:∵f (x )是定义在R 上的偶函数, ∴f (log 8x )>0,等价为:f (|log 8x|)>f (2),
又f (x )在[0,+∞)上为增函数, ∴|log 8x|>2,∴log 8x >2或log 8x <﹣2,
∴x >64或0<x <
.
即不等式的解集为{x|x >64或0<x <}
故答案为:(0,
)∪(64,+∞)
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合,是函数性质综合考查题,熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键,根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键.
17.【答案】 2:1 .
【解析】解:设圆锥、圆柱的母线为l ,底面半径为r ,
所以圆锥的侧面积为: =πrl
圆柱的侧面积为:2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为:2:1 故答案为:2:1
18.【答案】()
0,2x π
∃∈,sin 1≥
【解析】
试题分析:“(0,)2x π
∀∈,sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈,sin 1≥
考点:命题否定
【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每个元素x ,证明p (x )成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合M 中的一个特殊值x 0,使p (x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可,否则就是假命题.
三、解答题
19.【答案】(1)60︒;(2)90︒. 【解析】
试
题解析:(1)连接AC ,1AB ,由1111ABCD A BC D -是正方体,知11AAC C 为平行四边形, 所以11//AC AC ,从而1B C 与AC 所成的角就是11AC 与1B C 所成的角.
由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒,
即11AC 与
BC 所成的角为60︒.
考点:异面直线的所成的角.
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解,其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及空间想象能力,本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键,属于中档试题. 20.【答案】
【解析】【知识点】垂直平行 【试题解析】(Ⅰ)证明:因为,
平面
,
平面
,
所以平面
. 因为,平面,
平面
,
所以平面
.
又因为, 所以平面平面
.
又因为平面, 所以
平面.
(Ⅱ)证明:因为底面,底面,
所以.
又因为,,
所以平面.
又因为底面,
所以.
(Ⅲ)结论:直线与平面不垂直.
证明:假设平面,
由平面,得.
由棱柱中,底面,
可得,,
又因为,
所以平面,
所以.
又因为,
所以平面,
所以.
这与四边形为矩形,且矛盾,
故直线与平面不垂直.
21.【答案】
【解析】解:(1)y=g(x)=e x关于直线y=x对称的曲线h(x)=ln x,设曲线y=h(x)与切线mx-y-1=0的切点为(x0,ln x0),
由h(x)=ln x得
h ′(x )=1
x ,(x >0),
则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0=m mx 0-ln x 0-1=0,
解得x 0=m =1. ∴m 的值为1.
(2)φ(x )=1
2x 2+x +a -e x ,
φ′(x )=x +1-e x , 令t (x )=x +1-e x , ∴t ′(x )=1-e x ,
当x <0时,t ′(x )>0,x >0时,t ′(x )<0, x =0时,t ′(x )=0.
∴φ′(x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴φ′(x )max =φ′(0)=0, 即φ′(x )≤0在(-∞,+∞)恒成立, 即φ(x )在(-∞,+∞)单调递减, 且当a =1有φ(0)=0.
∴不论a 为何值时,φ(x )=f (x )-g (x )有唯一零点x 0, 当x 0∈(0,1)时,则φ(0)φ(1)<0, 即(a -1)(a -2e -3
2
)<0,
∴1<a <2e -32,即a 的取值范围为(1,2e -3
2
).
22.【答案】
【解析】解:(1)当a=﹣1时,直线化为y+3=0,不符合条件,应舍去;
当a ≠﹣1时,分别令x=0,y=0,解得与坐标轴的交点(0,a ﹣2),(,0).
∵直线l 在两坐标轴上的截距相等,
∴a ﹣2=
,解得a=2或a=0;
(2)∵A (﹣2,4),B (4,0), ∴线段AB 的中点C 坐标为(1,2).
又∵|AB|=
,
∴所求圆的半径r=|AB|=
.
因此,以线段AB 为直径的圆C 的标准方程为(x ﹣1)2+(y ﹣2)2
=13.
23.【答案】
【解析】解:
(1)交线围成的四边形EFCG (如图所示). (2)∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD , 平面A 1B 1C 1D 1∩α=EF , 平面ABCD ∩α=GC , ∴EF ∥GC ,同理EG ∥FC . ∴四边形EFCG 为平行四边形, 过E 作EM ⊥D 1F ,垂足为M , ∴EM =BC =10,
∵A 1E =4,D 1F =8,∴MF =4. ∴GC =EF =EM 2+MF 2=
102+42=116,
∴GB =
GC 2-BC 2=
116-100=4(事实上Rt △EFM ≌Rt △CGB ).
过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ,连接GH ,则四边形EHC 1F 为平行四边形,由题意知,B 1H =EB 1-EH =12-8=4=GB .
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG -FC 1C 与三棱柱HB 1C 1GBC 两部分组成. 其体积为V 2=V 三棱柱EHG -FC 1C +V 三棱柱HB 1C 1GBC =S △FC 1C ·B 1C 1+S △GBC ·BB 1 =12×8×8×10+1
2
×4×10×8=480, ∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1=V 长方体-V 2=16×10×8-480=800. ∴V 1V 2=800480=53
, ∴其体积比为53(3
5也可以).
24.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)∵直线l 过点P (1,0),斜率为
,
∴直线l的一个参数方程为(t为参数);
∵ρ=ρcos2θ+8cosθ,∴ρ(1﹣cos2θ)=8cosθ,即得(ρsinθ)2=4ρcosθ,
∴y2=4x,∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(Ⅱ)把代入y2=4x整理得:3t2﹣8t﹣16=0,
设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则,
∴.
【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。