版创新设计高考总复习数学(文)人教A版第二章 函数概念与基本初等函数第2讲 函数的单调性与最值

在(3，＋∞)上是增函数．
而函数 y＝log1u 在(0，＋∞)上是减函数，
3
∴y＝log1(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，
3
单调递增区间为(－∞，1)．
考点突 考点二 利用函数的单调性求参数范围
破【例 2】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是单调
递增的，则实数 a 的取值范围是( )
3
(2)解 令 u＝x2－4x＋3，
原函数可以看作 y＝log1u 与 u＝x2－4x＋3 的复合函数．
3
令u＝x2－4x＋3＞0. 则x＜1或x＞3. ∴函数 y＝log1(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
3
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，
规律方法 判断函数单调性的常用方法： (1)定义法．注意证明函数单调性只能用定义法 和导数法． (2)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意 两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集： 二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和” 或“，”连接，不能用“∪”连接．
考点突 考点一 确定函数的单调性或单调区间
解析 作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增， 需满足a≥4或a＋1≤2， 即a≤1或a≥4，故选D． 答案 D
考点突 考点三 利用函数的单调性求最值 破【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)
＝f(x＋y)，且当 x＞0 时，f(x)＜0，f(1)＝－23. (1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
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考点突 考点一 确定函数的单调性或单调区间
破
【训练
1】
(1)已知
a＞0，函数
f(x)＝x＋ax(x＞0)，证明：函数
f(x)
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(2)求函数 y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．
3
法二 f′(x)＝1－xa2， 令 f′(x)＞0，则 1－xa2＞0， 解得 x＞ a或 x＜－ a(舍)． 令 f′(x)＜0，则 1－xa2＜0， 解得－ a＜x＜ a. ∵x＞0， ∴0＜x＜ a. ∴f(x)在(0， a)上为减函数；在( a，＋∞)上为增函数，
(1)证明 设x1＞x2， 则f(x1)－f(x2)＝f(பைடு நூலகம்1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)． 又∵当x＞0时，f(x)＜0，
而x1－x2＞0， ∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在R上为减函数．
考点突 考点三 利用函数的单调性求最值 破【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)
在(3，＋∞)上是增函数．
考点突 考点一 确定函数的单调性或单调区间
破
【训练
1】
(1)已知
a＞0，函数
f(x)＝x＋ax(x＞0)，证明：函数
f(x)
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(2)求函数 y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．
3
[接上一页]u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，
(2)法一 f(x)＝axx＋－11＝a－ax＋ ＋11， 设x1<x2<－1，
则 f(x1)－f(x2)＝a－xa1＋＋11－a－xa2＋＋11
＝xa2＋＋11－xa1＋＋11 ＝（ （ax＋1＋11））（（xx1－ 2＋x12） ），
又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)>0.
A．－41，＋∞ B．－41，＋∞ C．－14，0 D．－14，0
(2)若函数 f(x)＝axx＋－11在(－∞，－1)上是减函数，借则助二a 次的函取数值的范
围是________．
可用定义法或导数法
对称轴和区间关 系
解析 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－在定3，义域R上是单调递增的，
故在(－∞，4)上单调递增；
为增函数； 综上可知，函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0， a]上
为减函数；
在[ a，＋∞)上为增函数．
深度思考 (证明函数的 单调性问题 一般有两种 解法：定义 法和导数法， 你不妨都试 一试.
▪1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 ▪2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 3:51:01 PM ▪3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 ▪4、智力教育就是要扩大人的求知范围 ▪5、最有价值的知识是关于方法的知识。 ▪6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 ▪7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 ▪8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
由于x1<x2<－1， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即a<－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
考点突 考点二 利用函数的单调性求参数范围
破
【例
2】(2)若函数
f(x)＝axx＋－11在(－∞，－1)上是减函数，则
a
的
取值范围是________．
法二 由 f(x)＝axx＋－11， 得 f′(x)＝（xa＋＋11）2 又因为 f(x)＝axx＋－11在(－∞，－1)上是减函数， 所以 f′(x)＝（xa＋＋11）2≤0 在 x∈(－∞，－1)上恒成立，
f(x)
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(2)求函数 y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．
3
当 x1＞x2≥ a时，x1－x2＞0，1－x1ax2＞0， 有 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 此时，函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在[ a，＋∞)上
也称为 f(x)在(0， a]上为减函数；在[ a，＋∞)上为增函数．
考点突 考点一 确定函数的单调性或单调区间
破
【训练
1】
(1)已知
a＞0，函数
f(x)＝x＋ax(x＞0)，证明：函数
f(x)
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(2)求函数 y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．
当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称轴为
因为f(x)在(－∞，4)上单调递
x＝－1a，
所综 增以合，上a＜述0得，－且14－≤1aa≥≤40，.解得－14≤a＜0.
考点突 考点二 利用函数的单调性求参数范围
破
【例
2】(2)若函数
f(x)＝axx＋－11在(－∞，－1)上是减函数，则
a
的
取值范围是________．
解得a≤－1， 而a＝－1时，f(x)＝－1， 在(－∞，－1)上不具有单调性， 故a的取值范围是(－∞，－1)． 答案 (1)D (2)(－∞，－1)
考点突 考点二 利用函数的单调性求参数范围 破
规律方法 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以 下两点： (1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区 间的任意子区间上也是单调的； (2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外， 还要注意衔接点的取值．
考点突 考点二 利用函数的单调性求参数范围
破【训练 2】 (2014·北京西城区模拟)设函数 f(x)＝
－x2＋4x，x≤4，若函数 log2x，x＞4.
y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则
实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
第 2 讲 函数的单调性与最值
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三 例 3 训练3
夯基释 疑
判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (2)对于函数 f(x)，x∈D，若 x1，x2∈D 且(x1－x2)·[f(x1)－ f(x2)]＞0，则函数 f(x)在 D 上是增函数．( ) (3)函数 y＝|x|是 R 上的增函数．( ) (4)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递 增区间是[1，＋∞)．( )
＝f(x＋y)，且当 x＞0 时，f(x)＜0，f(1)＝－23. (1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
(2)解 ∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3，3]上也是减函数， ∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3) 与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2， 又函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0， 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，
当 a≥x1＞x2＞0 时，x1－x2＞0，1－x1ax2＜0， 有 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，
此时，函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0， a]上为减函数；
考点突 考点一 确定函数的单调性或单调区间
破
【训练
1】
(1)已知
a＞0，函数
f(x)＝x＋ax(x＞0)，证明：函数
由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上递增．
考点突 考点一 确定函数的单调性或单调区间 破
考点突 考点一 确定函数的单调性或单调区间
破
【例 1】
试讨论函数 f(x)＝x－ax1
(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
可用
解 设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a x－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1，
定义 法或 导数
法
f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝(x1a－(x12)－(xx2－1) 1)，
考点突 考点三 利用函数的单调性求最值 破【训练 3】 如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1＋x)＝f(－x)，
且当 x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数 f(x)在[－2，0]上的 最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
解析 根据f(1＋x)＝f(－ 可x)知，函数 f(x)的图象关于直线 x＝12对称．
破
【训练
1】
(1)已知
a＞0，函数
f(x)＝x＋ax(x＞0)，证明：函数
f(x)
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(2)求函数 y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．
3
证明 法一 任意取x1＞x2＞ 0则，f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2 ＝(x1－x2)＋xa1－xa2 ＝(x1－x2)＋a（xx21－x2x1） ＝(x1－x2)1－x1ax2.
又函数 f(x)在21，＋∞上单调递增， 故 f(x)在－∞，21上单调递减，
则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为 f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4. 答案 C
课堂小 思想方法 结
1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意 x1，x2∈[a，b]且 x1＜x2，那么 (1)f（x1）x1－－xf（2 x2）＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； f（x1）x1－－fx（2 x2）＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． (2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．函数的单调 性是对某个区间而言的．
考点突 考点三 利用函数的单调性求最值 破
规律方法 利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果 函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b， c]上单调递减，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的 最大值是f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单 调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝ f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b)．