山西省晋中市2020届高三普通高等学校招生统一模拟考试(四模)数学试卷(理)答案
【附加15套高考模拟试卷】山西省2020届高三年级第二次四校联考理科数学试题含答案
山西省2020届高三年级第二次四校联考理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(1)()f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为(1,3)-，那么不等式(2)0f x -<的解集为（ ）A ．31(,)(,)22-∞-+∞UB ．31(,)22-C ．13(,)(,)22-∞-+∞U D ．13(,)22-2．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5B．C．3．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8B ．14 C ．1D ．44．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心5．己知点A 是抛物线212(0)=>︰y px p C 与双曲线222221(00)-=>>︰，x y a b C a b 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．26．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则C 的离心率为（ ）A1 B．12 C．2 D．7．已知点,,,A B C D在同一个球的球面上，2AB BC AC ===，若四面体ABCD 外接球的球心O恰好在侧棱DA上，DC =ABCD 的体积为（ ）A． B． C．D8．设,m n u r r为非零向量,则“存在负数λ,使得m n λ=u r r”是“0m n ⋅<v v”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知数列{}n a 的前n 项和S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（ ） A ．196 B ．200 C ．10011942+D ．10211982+10．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）A ．65B ．54C ．32D ．5211．已知一个几何体的三视图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．2(1)i i +B ．()21i i -C ．2(1)i + D ．()1i i +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(a卷)
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A 卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合2{|20}A x x x =+-…，{|B x y ==，则()(R A B =I ð ) A ．[0，1) B ．(1,)+∞C ．[0，2)D ．(2,1)-2．（5分）若复数1(2aii i-+为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为( ) A ．1B ．0C ．1D ．23．（5分）若||2a =r ，||1b =r ，且(4)a a b ⊥-r r r ，则向量a r，b r 的夹角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（5分）若x y >，则下列不等式恒成立的是( ) A ．11x y<B ．tan tan x y >C ．()0ln x y ->D ．1133x y >5．（5分）给定下列四个命题，其中真命题是( ) A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 6．（5分）已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点0(P x ，2)，若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则||OP 等于( )A ．B ．C ．4D ．7．（5分）已知函数21()sin (0)2f x x ωω=->的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位，所得图象关于3x π=对称，则实数a 的最小值为( )A ．4π B ．3π C ．34π D ．π8．（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20，80)mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过( )A ．2小时B ．4小时C ．6小时D ．8小时9．（5分）已知a 为正整数，tan 11ga α=+，tan 1ga β=，且4παβ=+，则当函数()sin 3cos ([0,])f x a θθθπ=-∈取得最大值时，(θ= )A ．2πB ．23π C ．56π D ．43π 10．（5分）某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是( )A ．12B ．14C ．16D ．1811．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆222:O x y b +=相交于A ，B ，C ，D四点，如图所示，点F 是双曲线C 的左焦点，且||3||AF CF =，则双曲线C 的离心率为()A 2B 3C ．2D 512．（5分）函数()21f x x =-，2()24g x x x =-+，若存在1x ，2x ，⋯⋯，[1n x ∈，5)，其中*n N ∈且2n …，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋯⋯++=++⋯⋯++，则n 的最大值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X 表示投进的次数，则()E X = ．14．（5分）已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1(1)(0a f x og x a =->且1)a ≠-，且0.5(116)2f og =-，则a = ．15．（5分）现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB 重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ；该三棱锥体积的最大值为 ．16．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sin2sin 0a B b A +=，若ABC ∆的面积3S b ，则ABC ∆面积的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学 不喜欢国学合计 男生 20 50 女生 10 合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X ，。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020届山西省晋中市2017级高三下学期四模考试数学(理)试卷参考答案
)
0
cos(1
)在（0,1）单调递增，
cos(1
)
（0,1）
1 cos(1
)
（1，
） a
1
，故选
B.
二、填空题：
13. 160
14. 1,2
8
15.4 16.
3
13.解：Tr1 C6r x62r 2r ， 6 2r 0, r 3 ，故常数项为
160 .
14.解： f x1 f x m 0 得 f x 1或 f x m ，作出函数
6
6
3 2
n
2n
3 2
n1 ………………………………（12
分）
19．解：（1）由题可知 e c 2 ，又椭圆 C 上的点到其左焦点的最大距离为1 2 ，所以 a2
a c 1 2 ，所以 a 2, c 1, ………………………………（2 分)
b a2 c2 1………………………………（3 分）
1,1,0 ………………………………（9
分）
理科数学 第 4页
2020届山西省晋中市2017级高三下学期四模考试数学（理）试卷
cos m, n 2 1 3 ………………………………（11 分） 3 2 3
因为二面角 B PA D 为锐二面角，所以其余弦值为 3 ………………………………（12 分） 3
当 x 0 时，有 g(x) g(0) ，
任取 x1 x2 0 ，则 g x1 g x2 0 ，由不等式的性质可得 x1g x1 x2g x2 0 ，
即 f x1 f x2 0 ，所以，函数 f (x) 在 (0， ) 上递增，
因此，
f
3 2
f
7 2
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(A卷)(含答案解析)
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. D.2.若复数为虚数单位是纯虚数，则a的值为A. 1B. 0C. 1D. 23.若，，且，则向量，的夹角为A. B. C. D.4.若，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.5.给定下列四个命题，其中真命题是A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为3，则等于A. B. C. 4 D.7.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为A. B. C. D.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过A. 2小时B. 4小时C. 6小时D. 8小时9.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，A. B. C. D.10.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为若要使该总体的标准差最小，则的值是A. 12B. 14C. 16D. 1811.已知双曲线与圆O：相交于A，B，C，D四点，如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且，则双曲线C的离心率为A.B.C. 2D.12.函数，，若存在，，，，其中且，使得，则n的最大值为A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某篮球运动员罚篮命中率为，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______．14.已知函数是奇函数，当时，且，且，则______．15.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为______．16.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若的面积，则面积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系？针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：，．18.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面ABC，且，且，D，F分别为PA，BC的中点．求证：直线平面ABC；求锐二面角的余弦值．19.已知等差数列前n项和为，，．求数列的通项公式及前n项和；设，求前n项和．20.设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．求椭圆E的方程；设过原点O的直线交椭圆于A，B两点B不在坐标轴上，连接AF并延长交椭圆于点C，若，求四边形ABCD面积的最大值．21.已知函数．求在点处的切线方程；若恒成立，求a的取值范围；当时，证明．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和的直角坐标方程；已知曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于极点O，求的值．23.已知关于x的函数．若存在x使得不等式成立，求实数a的取值范围；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：或，，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：是纯虚数，，解得．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：若，，且，设向量，的夹角为，，则，求得，，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4.答案：D解析：解：由幂函数的性质可知，函数在R上单调递增，又，，故选：D．利用幂函数的性质可知选项D正确．本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图所示，在长方体中：，，但是与不平行，所以A错；平面与平面相交，但是内平行于的直线都平行于，所以B错；平面平面，平面平面，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6.答案：B解析：解：设抛物线的方程为，由抛物线定义知，，，抛物线方程为，点在抛物线上，，．故选：B．先由抛物线的定义建立关于p的方程，解之可得p的值以及抛物线的方程，再把点P的坐标代入可求得，最后利用两点间距离公式即可得解．本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：函数，整理得，由于函数的最小正周期为，所以，故．将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象，由于函数的图象关于对称，所以，解得，当时，．故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：C解析：解：，则n小时后的血液中酒精含量为，由，解得，故选：C．先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．9.答案：C解析：解：已知，所以，所以，解得或舍去．则，由于，所以．则当，即时，函数取得最大值．故选：C．首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题，因为中位数为12，所以，，；要使该总体的标准最小，即方差最小，所以：，当且紧当，取等号，即体标准差最小此时故选：A．由题，中位数为12，求得，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x，y 的值，即可求得．本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型．11.答案：B解析：解：双曲线的右焦点为，根据对称性可知是平行四边形，所以，又点A在双曲线上，所以，因为，所以，所以，在三角形OFC中，，，，可得三角形OFC是直角三角形，C为直角，在三角形AFC中，，，，，所以，即：，所以双曲线的离心率为：．故选：B．画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．12.答案：C解析：解：令，，，，，，，，，，，，集合，，，且，，，，即，又，的最大值为10．故选：C．令，由，得，由，，，，得，从而，，进而集合，，，，，由此能求出n的最大值．本题考查实数的取大值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：解析：解：由题意知，随机变量，计算，故答案为：．根据题意知随机变量，计算即可．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、方差的计算问题，是基础题．14.答案：解析：解：根据题意，函数是奇函数，且，又由，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：根据题意，由对数的性质可得，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意，，又，，，，，．，三棱锥的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，且点C到平面ABD的距离，．故答案为：；．由题意，，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC的长度，结合，可知三棱锥的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C 到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，求出点C到平面ABD的距离，可得三棱锥体积的最大值．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，，，即．，的面积，解得．则面积的最小值为当且仅当，时取等号．故答案为：．，利用正弦定理、倍角公式可得，化简可得利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得，利用的面积，进而得出结论．本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100，在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：X 0 1 2P．解析：补充完整的列联表，求出，从而在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：证明：设AB的中点为G，连结DG，CG，则，，又，且，，且，四边形DGCE为平行四边形，，平面ABC，平面ABC，直线平面ABC．解：如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，4，，2，，0，，0，，0，，2，，，2，，，，，，，平面AEF，平面AEF的一个法向量2，，设平面PAE的一个法向量y，，4，，0，，则，取，得1，，设锐二面角的平面角为，则，锐二面角的余弦值为．解析：设AB的中点为G，连结DG，CG，推导出四边形DGCE为平行四边形，从而，由此能证明直线平面ABC．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由题意，，即，设等差数列的公差为d，则，，．则，．由知，，当n为偶数时，为奇数，，当n为奇数时，为偶数，，综上所述，可得．解析：本题第题根据等差数列的求和公式和等差中项的性质计算可得，然后根据即可计算出公差d，则可得到等差数列的通项公式及前n项和；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后分n为偶数和n为奇数两种情况分别求和，运用分组求和法及等差数列的求和公式进行计算，最后综合两种情况可得前n项和．本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及正负交错类型数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论数学，方程思想，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．20.答案：解：由题得，，所以，则，故椭圆E的方程为：；根据条件可得，设直线AC的方程为，联立，整理得，设，，则，，则，令，则，在上单调递减，所以当，即时，面积最大，最大值为．解析：有条件得到，，求出b，即可得椭圆方程，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到，利用换元思想及不等式即可求出其最值．本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：解：由题知，，，，在点处的切线方程为，即；解：恒成立，所以恒成立．令，则，，当时，，故满足；当时，，故在上单调递减，时，，所以不满足；当时，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，，解得；综合知a的取值范围为；证明：当时，，由知：，即，．令，得，即，所以，．解析：先利用导数的几何意义求切线的斜率，进而求切线方程；先把恒成立转化为恒成立，再对a进行讨论，求出取值范围；先由中结论证出，进而有，再利用放缩法与裂项相消法证明即可．本题主要考查切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道难题．22.答案：解：曲线的参数方程为，为参数转换为和直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．根据题意建立，解得，同理，解得，故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立方程组，进一步求出的值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：对，，当且仅当时，等号成立，故原条件等价于，即，解得，故实数a的取值范围为；当时，，，即，则，又的解集包含，在恒成立，当时，，又，，即实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的性质可得，解出即可；依题意，在恒成立，则，，由此即可求得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。
山西省实验中学2020届高三年级第四次联考(理数)
山西省实验中学2020届高三年级第四次联考数 学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解 三角形、平面向量、数列、不等式（约40%）；空间向量与立体几何、直线与圆（约60%）。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1．已知集合{}1log 4<=x x A ，{}84>=x x B ，则=B A I A ．)4,0(B ．)4,2(C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,232．已知直线3+=kx y 的倾斜角是ο45，则=k A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．"4"πα=是"04sin "=⎪⎭⎫⎝⎛-απ的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量),2(k a =，)5,1(-=b ，若),(b a a +⊥则实数=k A ．2或3-B ．2-或3C ．2-或3-D ．2或35．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若caB =cos ,则ABC ∆的形状为 A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．圆1)1()2(:221=++-y x C 与圆4)2()3(:222=+++y x C 的位置关系是 A ．相交B ．外离C ．相切D ．内含7．如图是某几何体的三视图（正视图及侧视图中两虚线均垂直， 且长度相等），则该几何体的表面积为 A ．π496-B ．π2248+C ．π)12(496-+D ．π)12(248-+8．若直线l 与圆0124:22=++--y x y x C 交于B A ,两点，AB 的中点为),2,1(-P 则=ABA ．2B ．2C ．22D ．49．如图是一个正方体的表面展开图D B A ,,均为棱的中点，C 是顶点，则在正方体中异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为A ．510B ．1010 C ．55D ．10510．已知函数,ln )(2x x x f +=则不等式)1()12(->+x f x f 的解集为 A ．)2,1()1,0(Y B ．),2()0,(+∞-∞Y C ．),1()1,0()2,(∝+--∞Y Y D ．),1()1,2(+∞-Y11．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，BC AB 2=，将ADE ∆ 沿直线DE 翻转为.]DE A ∆若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻 转过程中，给出下列命题： ①BM 是定值 ②三棱锥ADE A -1的体积存在最大值； ③;|1C A DE ④若∉1A 平面,BEDC 则//MB 平面.1DE A其中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数)1,0(=/>k k k 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯匾在平面直角坐标系中，已知)0,0(O ,),0,3(A 圆)0()2(:222>=+-r r y x C 上有且仅有一个点P 满足PO PA 2=，则r 的取值集合为A ．{}5,1B ．{}3,1C ．{}3,2D ．{}5,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届山西省晋中市高三下学期一模(普通招生考试模拟)数学(理)试题(解析版)
因为 ，且 为奇函数，
故可得 ，
则 ；
又当 时，
故可得 ，
即 ，故可得 或 (舍).
即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题.
15．在 中，内角 所对应的边分别为 ，且 ，若 的面积 ，则 面积的最小值为______．
【答案】
【解析】利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角，即可求得 ，结合面积公式，求得 等量关系；再由余弦定理，以及基本不等式求得 的最小值，即可求得面积的最小值.
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
50
女生
10
合计
100
（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？
（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为 ，求 的分布列和数学期望．
正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误
对 ：利用反证法简单证明如下：
若两个平面 垂直，假设一个平面 内与它们的交线 不垂直的直线 与另一个平面 垂直.
因为 ，且平面 的交线 ，
故可得 ，
这与题设 与 不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.
即 选项正确.
故选：D．
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.
A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时
【答案】C
【解析】列出函数模型 ，根据题意，列出不等式，求解即可.
【详解】
山西省晋中市2020届高三下学期一模(普通招生考试模拟)数学(理)试题
2020年普通高等学校招生统一模拟考试数学（理科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）参考公式： 锥体的体积公式：13VSh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2|20A x xx =+-…，{|B x y ==，则()R A B =I ð（ ）A.[0,2) B ．(1,)+∞ C ．[0,1) D ．(2,1)-2．若复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．0C ．1D ．2 3．若||2a =r ，||1b =r ，且(4)a a b ⊥-r r r ，则向量,a b r r的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．若x y >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．11x y< B ．tan tan x y > C ．ln()0x y -> D ．1133x y >5．给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 6．已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则||OP 等于（ ）A ．B ．C ．4D ．7．已知函数21()sin (0)2f x wx ω=->的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位，所得图象关于3xπ=对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．4πB ．3πC ．34π D ．π8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20,80)mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ） A ．2小时 B ．4小时 C ．6小时 D ．8小时 9．已知a 为正整数，tan 1lg a α=+，tan lg a β=，且4παβ=+，则当函数()sin ([0,])f x a θθθπ=-∈取得最大值时，θ=（ ）A ．2π B ．23π C ．56π D ．43π 10．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的方差最小，则42x y +的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．181l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆222:O x y b +=相交于,,,A B C D 四点，如图所示，点F 是双曲线C 的左焦点，且||3||AFCF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B C ．2 D 12．函数()21f x x =-，2()24g x x x =-+，若存在12,,,[1,5)n x x x ∈L ，其中*n N ∈且2n …，使得()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++L L ，则n 的最大值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X 表示投进的次数，则()E X =_______． 14．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），且()0.5log 162f =-，则a =______．15．现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB 重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为_______．16．在ABC V 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin2sin 0a B b A +=，若ABC V 的面积S =，则ABC V 面积的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？ （2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++． 18．（12分）已知三棱锥P ABC -中，ABC V 为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，PB ⊥平面ABC ，且PB AB =，//EC PB 且12EC PB =，,D F 分别为,PA BC 的中点．（1）求证：直线//DE 平面ABC ； （2）求锐二面角P AE F --的余弦值．19．（12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，59a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）设(1)n nn b S =-，求{}n b 前n 项和n T ．20．（12分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于,A B 两点（,A B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD OA OC =+u u u r u u u r u u u r，求四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）已知函数ln 1()a x a f x x+-=．（1）求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）（i ）若()1xf x x -„恒成立，求a 的取值范围；（i ）当1a =时，证明(2)(3)()13232224f f f n n n n ++⋯+<+-+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=，点A 是曲线2C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于极点O ，求||AB 的值．23．【选修4—5：不等式选讲】（10分） 已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -„成立，求实数a 的取值范围；（2）若()|3|f x x +„的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．2020年普通高等学校招生统一模拟考试数学（理科）答案1．解析：因为集合{}2|20{|2A x x x x x =+-=-厔或1}x …，{|21}R A x x =-<<ð，集合{|{|0}B x y x x ===…，所以()[0,1)R A B =I ð．故本题正确答案为C ．答案：C2．解析：1(1)(2)2(12)2(2)(2)5ai ai i a a i i i i -----+==++-，由题意知20,5120,5a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩解得2a =．故选D ．答案：D3．解析：根据题意，由于向量||2a =r ，||1b =r ，且(4)a a b ⊥-r r r ，2(4)040a a b a ab ∴⋅-=⇔-=r r r r r r ，1a b ∴⋅=r r，故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，故可知向量,a b r r 的夹角为60︒，故选B ． 答案：B4．解析：若0x y >>，则11x y >，所以A 错误；若x y >，取34xπ=，4y π=，tan tan x y <，所以B 错误；对于C 选项，由于对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，x y >Q ，当01x y <-<时，ln()ln10x y -<=，C 选项中的不等式不恒成立；若x y >，且幂函数13y x =在(,)-∞+∞上单调递增，所以1133x y >，所以D 对．故选D ．答案：D5．解析：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，所以A 错误；若一个平面内的两条直线平行，两平面可以相交，B 错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C 错误．所以答案选D ． 答案：D6．解析：由抛物线定义知，232p+=，所以2p =，抛物线方程为24x y =，因为点()0,2P x 在此抛物线上，所以28x =，于是||OP ==B ．答案：B7．解析：由函数211()sin cos222f x x x ωω=-=-的周期为22ππω=，可得1ω=，故1()cos22f x x =-．将其图象向右平移a 个单位可得1cos[2()]2y x a =--的图象，根据共图象关于3x π=对称，可得223a k ππ-=，k Z ∈，则32k a ππ=-，k Z ∈，所以实数a 的最小值为3π．故选B ． 答案：B8．解析：1.6100160mg ⨯=，则160(10.3)20n⨯-<，即10.78n<，因为210.70.492=<，31182⎛⎫= ⎪⎝⎭，610.78<，510.78>，所以6n …，故选C ．答案：C9．解析：由条件知4παβ-=，则由tan()1αβ-=，得tan tan (1lg )lg tan()11tan tan 1(1lg )lg a aa a αβαβαβ-+--===+++，即(1lg )lg 0a a +=，解得1a =或110a=（舍去），则()sin 2sin 3f x πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．因为[0,]θπ∈，所以2,333πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．则当32ππθ-=，即56πθ=时，函数()f x 取得最大值，故选C ．答案：C10．解析：因为中位数为12，所以22x y+=，4x y ∴+=． 数据的平均数为：1(2234101019192021)11.410x y ⨯+++++++++++=， 要使方差最小，所以222222.8(1011.4)(1011.4)( 1.4)( 1.4)20.722x y x y x y +-⎛⎫+-++-=-+-= ⎪⎝⎭…，当且仅当 1.4 1.4x y -=-时取等号，即2x y ==时，总体方差最小，此时4212x y -+=，故选A ．答案：A11．解析：设双曲线的右焦点为2F ，根据对称性知2AFCF 是平行四边形，所以有2||AF CF =，又点A 在双曲线上，所以2||2AF AF a -=，因为||3||AF CF =，所以2||3||||2||2AF AF CF CF CF a -=-==，即||CF a =，而在三角形OFC 中，||FC a =，||OC b =，||OF c =，所以三角形OFC 为直角三角形，且90OCF ︒∠=．在三角形AFC 中，||3AF a =，||CF a =，||2AC b =，90ACF ︒∠=，所以22294a a b =+，即222a b =，所以双曲线的离心率e ==B ．答案：B12．解析：令2()()()45h x g x f x x x =-=-+， 则()()()()()()()()()()121121n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x --++++=++++⇔-=L L()()()()()()()()()11221112n n n g x f x g x f x g x f x h x h x h x ---+-++-⇔=+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L ()1n h x -，因为12,,,[1,5)n x x x ∈L ，所以()[1,10)h x ∈， 即()110n h x <„，所以()()()121110(1)n n h x h x h x n --+++<-L „，由()()()()121n n h x h x h x h x -=+++L知，集合[1,10)[1,10(1))n n --≠∅I ．因为*n N ∈且2n …，所以11n -…，10(1)10n -…， 所以1110n -<„，即211n <„，又*n N ∈．所以n 的最大值为10．故选C ． 答案：C13．解析：由于X 满足二项分布，故()500.7537.5E X =⨯=． 答案：37.5 14．解析：函数()f x 是奇函数，当0x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），且()0.5log 162f =-，因为0.5log 1640=-<，2log 1640=>，且函数()f x 是奇函数，所以()()()20.50.5(4)log 16log 16log 162f f f f ==-=-=，即log (41)2a -=，23a =，因为0a >且1a ≠，所以a =．答案：15．解析：因为90ADB ACB ︒∠=∠=，10AB =，所以AD =5BD =，AC BC == 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以三棱锥A BCD -的外接球的直径为AB ，所以球的半径5R =，故球的表面积为100π． 当点C 到平面ABD 距离最大时三棱锥A BCD -的体积最大，此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离5d =，所以111553326A BCD CABD ABD V V S d -==⋅=⨯⨯⨯=．答案：100π616．解析：由sin2sin 0a B b A +=，得2sin cos sin 0a B B b A +=，由正弦定理得2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=，所以1cos 2B =-，23B π=，则1sin 2S ac B ===，所以4ac b =，由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++…，21()316ac ac …，所以48ac …，当且仅当a c =时等号成立，故4S =…，所以ABC V 面积的最小值为答案：17．解：（1）补充完整的列联表如下：计算得2K 的观测值为2100(20104030)16.6710.82860405050k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为110，从而需抽取男生2人，女生4人，故X 的所有可能取值为0，1，2．22261(0)15C P X C ===，1142268(1)15C C P X C ===，242662(2)155C P X C ====，故X 的分布列为：数学期望1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=． 18．解：（1）设AB 的中点为G ，连接,DG CG ，则//DG PB ，12DGPB =， 又//EC PB 且12EC PB =， //EC DG ∴且EC DG =，∴四边形DGCE 为平行四边形，//DE GC ∴，又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，令4AB PB ==，则(0,0,0)A ，(0,4,2)E ，(2,2,0)F ，(4,0,0)B ，(4,0,4)P ，(2,0,2)D ，(2,2,4)PF =--u u u r ，(2,2,2)EF =--u u u r ，(2,2,0)AF =u u u r，0PF EF ∴⋅=u u u r u u u r ，0PF AF ⋅=u u u r u u u r，PF EF ∴⊥u u u r u u u r ，PF AF ⊥u u u r u u u r ．AF EF F =Q I ，PF ∴⊥平面AEF ，∴平面AFF 的一个法向量为(2,2,4)PF =--u u u r ．设平面PAE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则由0n AE n AP ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即20,0,y z x z +=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则2z =-，1y =，(2,1,2)n ∴=-r ，cos ,||||n PF n PF n PF ⋅∴〈〉==r u u u r r u u u r r u u u r ， 由图知二面角P AE F --为锐角，∴二面角P AE F --19．解：（1）由53525S a ==得35a =．又因为59a =，所以2d =，所以21n a n =-，2(121)2nn n S n +-==． （2）2(1)n n b n =-．当n 为偶数时：()()()12341nn n T b b b b b b -=++++++L ()()2222221234(1)n n ⎡⎤=-++-+++--+⎣⎦L(21)(21)(43)(43)[(1)][(1)]n n n n =-⨯++-⨯+++--⨯+-L123(1)n n =++++-+L(1)2n n +=．当n 为奇数时：()()()123421n n n n T b b b b b b b --=+++++++L()()22222221234(2)(1)n n n ⎡⎤=-++-++--+--⎣⎦2(21)(21)(43)(43)[(1)(2)][(1)(2)]n n n n n =-⨯++-⨯+++---⨯-+--L 2123(2)(1)n n n =++++-+--L(1)2n n +=-． 综上得(1)(1)2n nn n T +=-． 20．解：（1）由题意可得2,2,31a ab ac c ==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩22143x y +=． （2）由（1）知(1,0)F ，设直线AC 的方程为1x my =+， 联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=． 设()11,A x y ，()22,C x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+． 因为122133||234ABCD AOCS S OF y y m ==⨯⨯⨯-==+．设t =，1t …，则218181313ABCD t S t t t==++，在[1,)t ∈+∞上单调递减， 所以当1t =，即0m =时，四边形ABCD的面积取得最大值92．21．解：（1）22ln 11ln ()(0)a a x a a x f x x x x '--+-==>， (1)1f a =-，(1)1f '=，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y a x --=-， 即2y x a =+-．（2）（i ）()ln 11xf x a x a x =+--„，所以ln 0a x x a -+≤．令()ln h x a x x a =-+，则()1(0)a a x h x x x x '-=-=>， ①当0a =时，()0h x x =-<，所以0a =满足；②当0a <时，()0h x '„，()h x 在(0,)+∞上单调递减，因为0x →时，()h x →+∞，所以0a <不满足；③当0a >时，(0,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； (,)x a ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减；max ()()ln 0h x h a a a ==„，解得01a <≤．所以a 的取值范围为[0,1]a ∈．（i ）1a =时，ln ()x f x x =，所以2()ln f n n n n=． 由（i ）知：()1xf x x -„，即ln 1x x -„，所以ln 11x x x -„． 令2x n =，得222ln 11n n n -„，即22ln 121n n n -„，所以22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭． 222222(2)(3)()ln 2ln 3ln 11111111[(1)23232232f f f n n n n n n ⎛⎫++⋯+=++⋯+≤-+-++-=-- ⎪⎝⎭L 222111*********(1)(1)2322334(1)22334n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎤⎡⎛⎫⎛+++<--+++=---+- ⎪⎢⎥ ⎪⎥⎢⨯⨯⨯+⎝⎭⎝⎦⎣⎝⎭⎣⎦L L1111113(1)12212224n n n n n n ⎤⎡⎤⎫⎛⎫++-=---=+-⎪ ⎪⎥⎢⎥+++⎭⎝⎭⎦⎣⎦L ． 22．解：（1）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．转换为普通方程为22(2)4x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为6πθ=．转换为直角坐标方程为：(0)3y x x =…． （2）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． 转换为极坐标方程为：4sin ρθ=． 所以4cos ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩4sin ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1ρ=22ρ=．整理得12||2AB ρρ=-=．23．解：（1）对x R ∈，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+…， 当且仅当(1)()0x x a +-„时，等号成立，故原条件等价于|1|31a a +-„， 即31131a a a -++-剟，解得1a …，故实数a 的取值范围是[1,)+∞．（2）当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+„， 所以||2x a -≤，即22x a --剟，则22x a x -+剟， 又()|3|f x x +„的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()|3|f x x +…在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，max min (2)(2)x a x -+剟， 因为max (2)0x -=，min 3(2)2x +=，因此a 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
2020届山西省晋中市高三下学期一模(普通招生考试模拟)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届山西省晋中市高三下学期一模（普通招生考试模拟）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合{}2|20A x x x =+-…，{|B x y ==，则()R A B =I ð（ ） A ．[0,2)B ．(1,)+∞C ．[0,1)D ．(2,1)- 答案：C求解一元二次不等式解得集合A ，求解y =B ，再求集合交和补运算，则问题得解.解： 因为集合{}2|20{|2A x x x x x =+-=-厔或1}x …， {|21}R A x x =-<<ð，集合{|{|0}B x y x x ===…，所以()[0,1)R A B =I ð．故选：C ．点评：本题考查一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.2．若复数12ai i -+（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12- B ．0 C ．1 D ．2 答案：D 利用复数的混合运算化简12ai i -+，令其实部为零，虚部不为零，即可求得结果. 解： 因为1(1)(2)2(12)2(2)(2)5ai ai i a a i i i i -----+==++-，由题意知20,5120,5a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩解得2a =．故选：D ．点评：本题考查复数的混合运算，涉及由复数的类型求参数值，属综合基础题.3．若||2a =r ，1b r ||=，且(4)a a b ⊥-r r r ，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 答案：B由向量垂直则数量积为零，求得1a b ⋅=r r，再根据夹角公式求得结果.解： 根据题意，由于向量||2a =r ，1b r ||=，且(4)a a b ⊥-r r r ，2(4)040a a b a a b ∴⋅-=⇔-⋅=r r r r r r ，1a b ∴⋅=r r ， 故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，又向量夹角的范围为[]0,π， 故可知向量,a b r r 的夹角为60︒.故选：B ．点评：本题考查向量垂直的转化，以及由数量积求向量的夹角，属综合基础题.4．若x y >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．11x y <B ．tan tan x y >C ．ln()0x y ->D ．1133x y > 答案：D根据不等式性质，正切函数、幂函数、对数函数的性质，结合特值，进行判断即可. 解：若0x y >>，则11x y >，所以A 错误； 若x y >，取34x π=，4y π=，tan tan x y <，所以B 错误；对于C 选项，由于对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，x y >Q ，当01x y <-<时，ln()ln10x y -<=，C 选项中的不等式不恒成立，故C 错误；若x y >，且幂函数13y x =在(,)-∞+∞上单调递增，所以1133x y >，所以D 正确． 故选：D ．点评：本题考查正切函数、对数函数、幂函数的单调性，以及不等式的性质，属综合基础题.5．给定下列四个命题，其中真命题是（ ）A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直答案：D根据空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，结合判定定理和性质定理，对选项进行逐一分析即可判断.解：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错误；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B 错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C 错误对D ：利用反证法简单证明如下：若两个平面,αβ垂直，假设一个平面α内与它们的交线l 不垂直的直线1l 与另一个平面β垂直.因为1l β⊥，且平面,αβ的交线l β⊂，故可得1l l ⊥，这与题设l 与1l 不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.即D 选项正确.故选：D ．点评：本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.6．已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则||OP 等于（ ）A ．B ．C ．4D ．答案：B根据抛物线的定义，求得p ，再结合抛物线方程，求得点P 的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得结果.解：因为抛物线过点()0,2P x ，故可得该抛物线开口向上，设其方程为22,(0)x py p =>， 由抛物线定义知，232p +=，所以2p =， 则抛物线方程为24x y =，因为点()0,2P x 在此抛物线上，所以208x =，于是||OP ==故选：B ．点评： 本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题.7．已知函数21()sin (0)2f x x ωω=->的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位，所得图象关于3x π=对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．4πB ．3πC ．34πD ．π答案：B利用降幂扩角公式化简()f x ，再根据其周期求得ω，结合图象的左右平移求得平移后的解析式，利用3x π=是函数的对称轴，求得关于a 的方程，即可求得a 的最小值.解：容易知211()sin cos222f x x x ωω=-=- 又其周期为22ππω=，可得1ω=，故1()cos 22f x x =-． 将其图象向右平移a 个单位可得1cos[2()]2y x a =--的图象， 根据其图象关于3x π=对称， 可得223a k ππ-=，k Z ∈， 则32k a ππ=-，k Z ∈，又0a >， 故当0k =时，a 取得最小正值为3π. 所以实数a 的最小值为3π． 故选：B ．点评： 本题考查降幂扩角公式的应用，求函数图像平移后的解析式，以及余弦型三角函数的性质，属综合中档题.8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20,80)mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ）A ．2小时B ．4小时C ．6小时D ．8小时 答案：C列出函数模型()16010.3n y =-，根据题意，列出不等式，求解即可.解：因为1.6100160⨯=，故喝酒后驾驶员100mL 血液中酒精含量为160mg .不妨设喝酒后经过的时间为n ，n 小时后100mL 血液中酒精含量为y ，故可得()16010.3n y =-.根据题意，若想安全驾驶，则20y <，即可得160(10.3)20n ⨯-<， 即10.78n <， 因为210.70.492=<，又31182⎛⎫= ⎪⎝⎭，610.78<，510.78>， 根据选项可知，n 取整数，所以6n …， 故选：C ．点评：本题考查指数函数模型的应用，解决问题的关键是要建立正确的函数模型，属中档题.9．已知a 为正整数，tan 1lg a α=+，tan lg a β=，且4αβπ=+，则当函数()sin ([0,])f x a θθθπ=∈取得最大值时，θ=（ ）A ．2πB ．23πC ．56πD ．43π 答案：C利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数a ；再利用辅助角公式化简()f x ，根据其最值，求得θ即可. 解： 由条件知4αβ-=π，则由tan()1αβ-=， 得tan tan (1lg )lg tan()11tan tan 1(1lg )lg a a a aαβαβαβ-+--===+++， 即(1lg )lg 0a a +=，解得1a =或110a =（舍去），则()sin 2sin 3f x πθθθ⎛⎫==-⎪⎝⎭． 因为[0,]θπ∈， 所以2,333πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 则当32ππθ-=，即56πθ=时，函数()f x 取得最大值，故选：C ．点评：本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.10．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18答案：A 由题，中位数为12，求得4x y +=，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x ，y 的值，即可求得答案.解：由题，因为中位数为12，所以242x y x y +=∴+= 数据的平均数为：1(22342019192021)11.410x y ++++++++++= 要使该总体的标准最小，即方差最小，所以 222222.8(1011.4)(1011.4)( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y x y +-+-++-=-+-≥= 当且紧当 1.4 1.4x y -=-，取等号，即2x y ==时，总体标准差最小此时4212x y +=故选A点评：本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆222:O x y b +=相交于,,,A B C D 四点，如图所示，点F 是双曲线C 的左焦点，且||3||AF CF =，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5答案：B 设双曲线的右焦点为2F ，连接22,,AF CF AC ，由四边形是平行四边形，结合双曲线的定义，即可求得90ACF ∠=︒，再在ACF n 中，由勾股定理，即可求得,a b 等量关系，结合离心率的求解公式，则问题得解.解：设双曲线的右焦点为2F ，连接22,,AF CF AC ,作图如下：根据对称性知2AFCF 是平行四边形，所以有2||AF CF =，又点A 在双曲线上，所以2||2AF AF a -=，因为||3||AF CF =，所以2||3||||2||2AF AF CF CF CF a -=-==，即||CF a =，而在三角形OFC 中，||FC a =，||OC b =，||OF c =，所以三角形OFC 为直角三角形，且90OCF ︒∠=．在三角形AFC 中，||3AF a =，||CF a =，||2AC b =，90ACF ︒∠=，所以22294a a b =+，即222a b =，所以双曲线的离心率2213b e a=+=点评：本题考查双曲线离心率的求解，本题的难点在于求得,a b 的等量关系，属中档题.12．函数()21f x x =-，2()24g x x x =-+，若存在12,,,[1,5)n x x x ∈L ，其中*n N ∈且2n …，使得()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++L L ，则n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11答案：C构造函数2()()()45h x g x f x x x =-=-+，将问题转化为()()()12n h x h x h x =+++L ()1n h x -，有根，结合()h x 的值域，将问题进一步转化为根据集合之间的关系，求参数范围即可.解：令2()()()45h x g x f x x x =-=-+，则()()()()121n n f x f x f x g x -++++L ()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L()()n n g x f x ⇔-()()()()()()112211n n g x f x g x f x g x f x --=-+-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦L()()()12n h x h x h x ⇔=+++L ()1n h x -，因为12,,,[1,5)n x x x ∈L ，容易知二次函数()245h x x x =-+对称轴为2x =，所以()[1,10)h x ∈，即()110n h x <„，所以()()()121110(1)n n h x h x h x n --+++<-L „，由()()()()121n n h x h x h x h x -=+++L 知，集合[1,10)[1,10(1))n n --≠∅I ．因为*n N ∈且2n …，所以11n -…，10(1)10n -…， 所以1110n -<„，即211n <„，又*n N ∈．所以n 的最大值为10．故选：C ．点评：本题考查由集合之间的关系求参数范围，函数思想的应用，涉及二次函数值域的求解，属综合压轴题.二、填空题13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X 表示投进的次数，则()E X =_______．答案：37.5根据题意，X 服从二项分布，根据二项分布数学期望的计算公式即可容易求得结果. 解：根据题意可知：X 满足二项分布，即可()~50,0.75X B ，故()500.7537.5E X =⨯=．故答案为：37.5.点评：本题考查二项分布数学期望的求解，属基础题.14．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），且()0.5log 162f =-，则a =______．利用函数奇偶性，结合已知函数值和函数解析式，利用对数运算，即可求得结果. 解：因为0.5log 1640=-<，且()f x 为奇函数，故可得()0.5log 162f =-()()44f f =-=-，则()42f =；又当0x >时，()log (1)a f x x =-故可得()4log 32a f ==，即23a =，故可得a =a =舍).即a =点评：本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题.15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin 2sin 0a B b A +=，若ABC V 的面积S =，则ABC V 面积的最小值为______．答案：利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角，即可求得B ，结合面积公式，求得,,a b c 等量关系；再由余弦定理，以及基本不等式求得ac 的最小值，即可求得面积的最小值. 解：由sin 2sin 0a B b A +=，得2sin cos sin 0a B B b A +=， 由正弦定理得2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=， 所以1cos 2B =-，23B π=，则1sin 24S ac B ac ===， 所以4ac b =，由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++…，即21()316ac ac …， 所以48ac …，当且仅当a c =时等号成立，故S =…，所以ABC V 面积的最小值为故答案为：点评：本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化，涉及余弦定理，面积公式，以及基本不等式求最值，属综合压轴题.三、双空题16．现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB 重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为_______．答案：100π12536（1）容易知AB 中点为外接球球心，则AB 为外接球直径，从而求得半径，利用表面积公式，即可求得结果；（2）体积最大时，即平面ABC ⊥平面ABD ，求得点C 到平面ABD 距离，利用棱锥体积公式即可求得结果. 解：（1）因为90ADB ACB ︒∠=∠=，10AB =， 且6DAB π∠=，4BAC π∠=，所以53AD =5BD =，52AC BC == 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以三棱锥A BCD -的外接球的直径为AB ， 所以球的半径5R =，故球的表面积为24S R π==100π．（2）当点C 到平面ABD 距离最大时三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，过点C 作CH AB ⊥，因为CH ⊂平面ACB ，平面ABC ⊥平面ABD ，且交于AB ， 故可得CH ⊥平面ABD ， 则点C 到平面ABD 的距离为CH ，又在Rt ABC n 中，(252510AC CB CH AB⨯===，所以111125353553326A BCD C ABD ABD V V S CH --==⋅=⨯⨯⨯=． 故答案为：100π1253. 点评：本题考查三棱锥外接球表面积的求解，以及棱锥体积的求解，涉及面面垂直推证线面垂直，属综合中档题.四、解答题17．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 20 50 女生 10 合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．答案：（1）列联表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）分布列见解析；4()3E X =（1）根据总数为100，结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式，求得2K 的观测值，结合参考数据，即可容易判断；（2）求得分层抽样的抽样比，计算出6人中男生和女生人数，利用概率计算公式即可求得分布列，结合分布列求得()E X . 解：（1）补充完整的列联表如下：计算得22100(20104030)16.6710.82860405050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系． （2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生2人，女生4人， 故X 的所有可能取值为0，1，2．22261(0)15C P X C ===，1142268(1)15C C P X C ===，242662(2)155C P X C ====，故X 的分布列为：X0 1 2P115 815 25数学期望1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=． 点评：本题考查2K 的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及分层抽样，属综合中档题.18．已知三棱锥P ABC -中，ABC V 为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，PB ⊥平面ABC ，且PB AB =，//EC PB 且12EC PB =，,D F 分别为,PA BC 的中点．（1）求证：直线//DE 平面ABC ； （2）求锐二面角P AE F --的余弦值． 答案：（1）证明见解析；（26（1）设AB 的中点为G ，连接,DG CG ，通过证明四边形DGCE 为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，由法向量的夹角与二面角平面角的关系，即可容易求得结果. 解：（1）设AB 的中点为G ，连接,DG CG ，则//DG PB ，12DG PB =， 又//EC PB 且12EC PB =， //EC DG ∴且EC DG =， ∴四边形DGCE 为平行四边形，//DE GC ∴，又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，//DE ∴平面ABC ．即证.（2）因为AB AC ⊥，且PB ⊥平面ABC ， 又,AB AC ⊂平面ABC ， 故可得,PB AB PB AC ⊥⊥，故以A 为坐标原点，,,AB AC 分别为,x y 轴建立空间直角坐标系A xyz - 如下图所示：令4AB PB ==，则(0,0,0)A ，(0,4,2)E ，(2,2,0)F ，(4,0,0)B ，(4,0,4)P ，(2,0,2)D ，(2,2,4)PF =--u u u r ，(2,2,2)EF =--u u u r，(2,2,0)AF =uuu r ，0PF EF ∴⋅=u u u r u u u r ，0PF AF ⋅=u u u r u u u r，PF EF ∴⊥u u u r u u u r ，PF AF ⊥u u u r u u u r ．AF EF F =Q I ，PF ∴⊥平面AEF ，∴平面AFF 的一个法向量为(2,2,4)PF =--u u u r．设平面PAE 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则由0n AE n AP ⋅=⋅=r u u u r r u u u r，即20,0,y z x z +=⎧⎨+=⎩令2x =，则2z =-，1y =，(2,1,2)n ∴=-r，cos ,||||n PF n PF n PF ⋅∴〈〉==r u u u rr u u u r r u u u r ， 由图知二面角P AE F --为锐角，∴二面角P AE F --的余弦值为6点评：本题考查由线线平行推证线面平行，用向量法求二面角的余弦值，属综合中档题. 19．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，59a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）设(1)nn n b S =-，求{}n b 前n 项和n T ．答案：（1）21n a n =-，2n S n =；（2）(1)(1)2nn n n T +=- （1）利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n 项和即可；（2）根据（1）中所求即可求得n b ，对n 分类讨论，结合等差数列的前n 项和公式，即可容易求得结果. 解：（1）由53525S a ==得35a =． 又因为59a =，所以5322a a d -==， 则311245a a d a =+=+=，解得11a =； 故21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==．（2）2(1)nn b n =-． 当n 为偶数时：()()()12341n n n T b b b b b b -=++++++L()()2222221234(1)n n ⎡⎤=-++-+++--+⎣⎦L(21)(21)(43)(43)[(1)][(1)]n n n n =-⨯++-⨯+++--⨯+-L 123(1)n n =++++-+L(1)2n n +=． 当n 为奇数时： ()()()123421n n n n T b b b b b b b --=+++++++L()()22222221234(2)(1)n n n ⎡⎤=-++-++--+--⎣⎦2(21)(21)(43)(43)[(1)(2)][(1)(2)]n n n n n =-⨯++-⨯+++---⨯-+--L 2123(2)(1)n n n =++++-+--L(1)2n n +=-． 综上得(1)(1)2nn n n T +=-． 点评：本题考查数列通项公式和前n 项和基本量的求解，涉及并项求和，属综合中档题.20．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于,A B 两点（,A B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD OA OC =+u u u r u u u r u u u r，求四边形ABCD 面积的最大值．答案：（1）22143x y +=；（2）92 （1）根据题意，列出,,a b c 的方程组，求解即可求得结果；（2）设出直线AC 方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表示AOC n 的面积；根据向量关系，求得3ABCD AOC S S =，再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可. 解：（1）由题意可得2,2,331a ab ac c ⎧==⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩， 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）由（1）知(1,0)F ，设直线AC 的方程为1x my =+，联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,C x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+． 因为OD OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得四边形AOCD 为平行四边形，则2AOCD AOC S S =， 又AOC BOC S S =，故()221212121318133||422ABCD AOCm S S OF y y y y y y +==⨯⨯⨯-=+-= 设21t m =+，1t …， 则218181313ABCD t S t t t==++，令13y t t =+，故可得213y t '=-， 当1t ≥时，0y '>恒成立，故13y t t=+在[)1,+∞单调递增， 故218181313ABCD t S t t t==++在[1,)t ∈+∞上单调递减，所以当1t =，即0m =时， 四边形ABCD 的面积取得最大值92． 点评：本题考查椭圆方程的求解，椭圆中四边形面积的最值的求解，属综合中档题. 21．已知函数ln 1()a x a f x x+-=．（1）求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）（i ）若()1xf x x -…恒成立，求a 的取值范围；（i i ）当1a =时，证明(2)(3)()13232224f f f n n n n ++⋯+<+-+． 答案：（1）2y x a =+-；（2）（i ）[0,1]a ∈；（i i ）证明见解析.（1）对函数求导，求得()()1,1f f '，利用导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）（i ）将问题转化为()0h x alnx x a =-+≤恒成立，对参数a 进行分类讨论，根据函数单调性，即可容易求参数的范围； （i i ）当1a =时，2()ln f n nn n=；结合（i ）中所求，可得22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，再利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明. 解：（1）因为ln 1()a x a f x x+-=，故可得22ln 11ln ()(0)a a x a a xf x x x x'--+-==>， (1)1f a =-，(1)1f '=，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y a x --=-，即2y x a =+-．（2）（i ）因为()1xf x x -„恒成立，ln 11a x a x +--„恒成立，即ln 0a x x a -+≤恒成立．令()ln h x a x x a =-+，则()1(0)a a x h x x x x'-=-=>， ①当0a =时，()0h x x =-<，所以0a =满足；②当0a <时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上单调递减，因为0x →时，()h x →+∞，所以0a <不满足；③当0a >时，(0,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；(,)x a ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减；max ()()ln 0h x h a a a ==„，解得01a <≤．所以a 的取值范围为[0,1]a ∈．（i i ）1a =时，()lnx f x x =，所以2()ln f n n n n=． 由（i ）知：()1xf x x -„，即ln 1x x -„，所以ln 11x x x -„． 令2x n =，得222ln 11n n n -„，即22ln 121n n n -„，所以22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭． 222(2)(3)()ln 2ln 3ln 2323f f f n n n n++⋯+=++⋯+ 22211111111[(1)2232n n ⎛⎫≤-+-++-=-- ⎪⎝⎭L 22211123n ⎤⎛⎫+++ ⎪⎥⎝⎭⎦L 1111(1)22334(1)n n n ⎡⎤⎛⎫<--+++⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭⎣⎦L 11111(1)22334n ⎡⎛=---+- ⎢⎝⎣111n n ⎤⎫++-⎪⎥+⎭⎦L 11113(1)2212224n n n n ⎡⎤⎛⎫=---=+- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ 即证.点评：本题考查利用导数几何意义求切线方程，由恒成立问题求参数范围，利用导数证明不等式，涉及不等式放缩以及裂项求和求数列的前n 项和，属压轴题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=，点A 是曲线2C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于极点O ，求||AB 的值．答案：（1）22(2)4x y +-=；(0)y x x =…；（2）2 （1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消参即可求得1C 的普通方程；利用y tan x θ=，即可求得曲线2C 的直角坐标方程；（2）联立12,C C 以及23,C C 的极坐标方程，即可容易求得,A B 两点在极坐标系下的坐标，再求两点之间的距离即可.解：（1）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． 转换为普通方程为22(2)4x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为6πθ=．转换为直角坐标方程为：(0)y x x =…． （2）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． 转换为极坐标方程为：4sin ρθ=． 联立4cos ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩与4sin ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：A ρ=，2B ρ=．整理得12||2AB ρρ=-=．点评： 本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的相互转化，以及利用极坐标求两点之间的距离，属综合基础题.23．已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -„成立，求实数a 的取值范围；（2）若()|3|f x x +„的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围． 答案：（1）[1,)+∞；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值，再解绝对值不等式即可；（2）当x ∈1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，将问题转化为max min (2)(2)x a x -+剟恒成立，即可容易求得参数的范围.解：（1）对x ∈R ，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+…，当且仅当(1)()0x x a +-„时，等号成立，故原条件等价于|1|31a a +-„， 即31131a a a -++-剟，解得1a …， 故实数a 的取值范围是[1,)+∞．（2）当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+„，所以||2x a -≤，即22x a --剟，则22x a x -+剟， 又()|3|f x x +„的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以()|3|f x x +„在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，max min (2)(2)x a x -+剟， 因为max (2)0x -=，min 3(2)2x +=， 因此a 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 点评：本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，绝对值不等式的求解，属综合中档题.。
山西省晋中市高考数学四模试卷(理科)
山西省晋中市高考数学四模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·新乡模拟) 已知集合，集合，若，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知i是虚数单位，则复数i13（1+i）=（）A . 1+iB . 1－iC . -1+iD . -1－i3. （2分） (2016高一下·福建期中) 函数f（x）= 落在区间（﹣3，5）的所有零点之和为（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）设点A为圆（x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（）A . (x-1)2+y2=4B . y2=2xC . (x-1)2+y2=2D . y2=-2x5. （2分）等比数列中，，则“”是“” 的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2015高一上·扶余期末) 已知M（﹣2，0），N（1，3a），P（0，﹣1），Q（a，﹣2a），若MN⊥PQ，则a=（）A . 0B . 1C . 2D . 0或17. （2分）在图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）下列命题中: ①若, , 则; ②若,, 则α、β一定相交于一条直线，设为m,且; ③经过三个点有且只有一个平面; ④若,, 则. 正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2018·山东模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（）A . 1.6B . 1.8C . 2.0D . 2.410. （2分）如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·青岛模拟) 设F为双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为 |OF|，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 512. （2分）设是R上的可导函数，且满足，对任意的正实数a，下列不等式恒成立的是（）A . ；B . ；C . ；D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·昆明期末) 设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是________．14. （1分）已知a=(sinx+cosx)dx，则二项式的展开式中含x2项的系数是________15. （1分） (2016高一下·太康开学考) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x=________．16. （1分）若a，b 是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0) 的两个不同的零点，且a，b，-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于________ ．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高一下·彭水期中) 在中，角所对的边分别为、、，且，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求、的值.18. （5分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．19. （5分）(2017·蔡甸模拟) 某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]芯片数量（件）82245378已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20. （10分） (2018高三上·寿光期末) 已知椭圆上动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的一个顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由.21. （15分）(2014·湖北理) π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）求函数f（x）= 的单调区间；（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（3）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22. （5分）(2017·深圳模拟) 在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C：（α为参数）；直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．23. （10分）(2016·温岭模拟) 定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+ ）﹣|x﹣ |（a∈R）．（1）当a= 时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥ x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。
山西省晋中市皋落中学2020年高三数学理模拟试卷含解析
山西省晋中市皋落中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集，集合，，则A. B. C. D.参考答案：D2. 若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B． C. D．参考答案：A3. 已知函数y＝f (x)是偶函数，且函数y＝f (x－2)在[0,2]上是单调减函数，则( )A、f (－1)<f (2)<f (0)B、f (－1)<f (0)<f (2)C、f (2)<f (－1)<f (0)D、f (0)<f (－1)<f (2)参考答案：D4. 已知等比数列的公比为, 则的值是(A) (B) (C)(D)参考答案：A5. 若函数，则下列结论正确的是（）①，在上是增函数②，在上是减函数③，是偶函数④，是奇函数以上说法正确的有几个（）A．0个B． 1个 C． 2个 D． 3个参考答案：B略6. 已知全集U=R，集合，则=（）A. B. C. D.参考答案：A略7. 李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步参考答案：B【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．8. 已知复数z=1+i，则下列命题中正确的个数为（）①；②；③z的虚部为i；④z在复平面上对应点在第一象限．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．【解答】解：∵复数z=1+i，①，正确；②，正确；③z的虚部为1；④z在复平面上对应点（1，1）在第一象限．可得：①②④正确，③错误．故选：C．9. ，“函数没有零点”是“对任意的，恒成立”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B10. 已知双曲线过点（2，3），渐进线方程为y=±x，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为﹣x2=λ，将点（2，3）代入其中可得﹣22=λ，解可得λ的值，变形即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐进线方程为y=±x，则可以设其方程为﹣x2=λ，（λ≠0）又由其过点（2，3），则有﹣22=λ，解可得：λ=﹣1，则双曲线的标准方程为：x2﹣=1；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为.参考答案：-1;12. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是参考答案：13. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：14. 已知函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣，0）考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：f（x）=xlnx+mx2（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．令g（x）=lnx+1+2mx，由于函数f（x）=x （lnx+mx）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=+2m．当m≥0时，直接验证；当m＜0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=﹣时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g（﹣）＞0，解得即可．解答：解：f（x）=xlnx+mx2（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．令g（x）=lnx+1+2mx，∵函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=+2m，当m≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当m＜0时，令g′（x）=0，解得x=﹣．令g′（x）＞0，解得0＜x＜﹣，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞﹣，此时函数g（x）单调递减．∴当x=﹣时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得0＜﹣m＜．∴实数m的取值范围是（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15. 已知函数在（0， 1）上不是单调函数，则实数的取值范围为________.参考答案：略16. 某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB AD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时长方形ABCD的面积为．参考答案：略17. 函数在区间上取值范围为____________.参考答案：[,]三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山西省晋中市昔阳县高级职业中学2020年高三数学理模拟试题含解析
山西省晋中市昔阳县高级职业中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数与的图像的交点为，则所在的区间是A． B． C． D．参考答案：B2. 已知函数,则（）A．B．C．D．参考答案：C略3. 已知复数（是虚数单位），则的实部为A．B．C．D．参考答案：B4. 已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3 D．4cm3参考答案：B考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．解答：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．5. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A． B．C． D．参考答案：C6. 已知集合,,若，则实数=A.3B.2C.2或3D.0或2或3参考答案：D7. 已知，则（）A.7B.-7C.D.参考答案：D8. 已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列．已知数列是正项等比数列，类比上述结论可得A．若满足，则也是等比数列B．若满足，则也是等比数列C．若满足，则也是等比数列D．若满足，则也是等比数列参考答案：D 9. 设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当.则方程上的根的个数为A.2B.5C.8D.4参考答案：D略10. 若函数，则=。
参考答案：3因为，所以。
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，设向量=（b，c﹣a），=（b﹣c，c+a），若⊥，则角A的大小为．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量垂直的性质推导出b2+c2﹣a2=﹣bc，由此利用余弦定理能求出角A的大小．【解答】解：∵在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（b，c﹣a），=（b﹣c，c+a），，∴=b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=b2+bc+c2﹣a2=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，cosA===﹣，∴A=．故答案为：．【点评】本题考查角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直、余弦定理的合理运用．12. 函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和=参考答案：略13. 如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】综合题．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．14. 已知，函数的图象过(0，1)点，则的最小值是．参考答案：略15. 已知函数有零点，则实数的取值范围是参考答案：16. 已知向量，如果，则实数_______. 参考答案：2,因为，所以，解得。
2020年山西省晋中市秋村中学高三数学理模拟试题含解析
2020年山西省晋中市秋村中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 中有一条对称轴是，则最大值为（）A. B. C. D.参考答案：B方法一；当时，平方得：求得得方法二：因为对称轴为所以可知此时的导函数值为0所以所以所以最大值注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为02. 已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=?，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=?=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．3. 如图，向量等于（）A．B．C．D．参考答案：A等于向量的终点指向向量的终点的向量，分解后易知．4. 已知等差数列的公差为-2，是与的等比中项，为数列的前n项的和，则=（）A．-110 B．-90C．90 D．110参考答案：D5. 在的展开式中，含的系数为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C6. 函数的图象是（）参考答案：C略7. 若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A．3 B． C.6 D．9参考答案：A把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，由题意知直线经过圆的圆心(?1,?1)，因而.时取等号.的最小值为3.本题选择A选项.8. 已知复数，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．9. 对于函数，下列命题正确的是A．函数f（x）的图象恒过点（1，1） B．∈R，使得C．函数f（x）在R上单调递增 D．函数f（x）在R上单调递减参考答案：A10. 已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为（）A．2 B．1 C．D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】求出向量a，b的数量积，再求（）=2，由+在方向上的投影为，计算即可得到．【解答】解：||=1，||=2，与的夹角为60°，则=||?||?cos60°=1×=1，则（）=+=1+1=2，则+在方向上的投影为==2．故选A．【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的投影的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设，则a，b，c的大小关系是参考答案：；略12. 从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。
2020学年山西省晋中市高考数学学业质量监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(0d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠2．函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,23．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6B ．5C ．4D ．34．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C的一条渐近线交于点O 及点32A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=6．已知函数()x af x x e -=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 27．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．C 1D ．18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A．171.25cm B．172.75cmC．173.75cm D．175cm9．已知数列{}n a满足11a=,1n na a n--=(2n≥),则数列{}n a的通项公式n a=( )A．()112n n+B．()1312n n-C．2n n1-+D．222n n-+10．已知幂函数()f x xα=的图象过点(3,5)，且1aeα⎛⎫= ⎪⎝⎭，3bα=，1log4cα=，则a，b，c的大小关系为（）A．c a b<<B．a c b<<C．a b c<<D．c b a<<11．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}12．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A2B3C．1 D6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AB PM ……………（1 分） 因为在直角梯形 ABCD 中， AB BC, BC CD 1, AB 2
所以 AD BD 2 所以 DAB 为等腰三角形，所以 AB DM ……………（3 分） 因为 PM DM M ，所以 AB 平面PDM ……………（4 分）
因为 PD 平面PDM ，所以 AB PD .………………………………（5 分）
ðU N 0, 2
所以 M I U N ，M I N M N, M U N N U , M U N
故选：B
z 2.解： 1 i
a
b a
2
bi
,
1
z
i
是实数,所以 a
b
0选
A
3.解： sin 2
cos2
4
2 cos2 4
1
7 8
选
A
4.解：
A
3 2
,
3 2
在渐近线上，故
6.解:由已知中的程序框图可知:该程序的循环变量 n 的初值为 1,终值为 2021，步长为 2,故循环共执行
了 1010 次。 由 S 中第一次累加的是 211 1 ,第二次累加的是 231 4 ,一直下去，
故该算法的功能是求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和，故选: D.
1 2
ac
sin
B
1 2
4
3 2
3 .选 A
12.解
f ( ) a sin(1 ) ln 在区间（0,1）上是增函数，
[ f
( )]'
a cos(1 )
1
0在（0,1）上恒成立,1
（0,1）（0, ） 2
cos(1
)
0a
1 cos(1
)
,[
cos(1
)]'
cos(1
)
sin(1
2NF
，所以
QF 1 PF 1 p ，则 x 1 p ①；
3
3
6
又 SOFN
1 2
| OF
|| NQ
|
1 2
py 2
3 ，得 y 4
3， p
代入抛物线方程
y2
2 px
(p
0)
，得
x
3 2 p3
②，联立①②得，
理科数学 第 2页
p 3 .故选 C.
11.解：
B
3
,
ac
4
，则
ABC
面积的最大值为
7. 解:由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是 C31 3 ;没有
阳爻的是坤卦.于是所求的概率 P
3 C82
3
.故选 B.
28
8.解： f x sin3x 0 ，向右平移 个单位长度后，得到函数的解析式为
8
f x sin3x 3 ，函数的图像关于直线 x 对称 3 3 k , k Z ,得
3 2
b a
3 2
，又
A
3 2
,
3 2
在以
OF
为直径的圆上，
3 2
c 2
3 2
2
3 2
2
3 2
2
c 2 得 c 2, a
3,b 1选 C
5.解：依题意，有 g(x) g(x) ，则 g(x) ex ex 为奇函数，且在 R 上单调递增，
所以 f (x) 为偶函数．
当 x 0 时，有 g(x) g(0) ，
2020 年普通高等学校招生统一模拟考试
理科数学答案 A
一、选择题： 1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.C 11.A 12.B
1.解：令 x 2 0 x 2 ，所以 M 2,
由 x2 2x 0 x 0 或 x 2 ，
所以 N ,0 2,
8
3
38
2
k
8
,k Z，又 0源自，所以 7 8，
f x sin3x
7 8
，当
x
8
,
8
时
3x
7 8
2
, 5 4
， sin3x
7 8
2
,1
选
C
2
9.解析:选择 A.由 AB⊥BC，PB⊥BC，可知 BC⊥平面 PAB.将三棱锥 P ー ABC 补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球 心 O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记△ABP 的外心为 E，由△
3 即 MC 2MD 的最小值为 4. 16.解： sin C 2sin A， AB sin C 2 为非零常数，故点 B 的轨迹是圆.
CB sin A
理科数学 第 3页
以线段 A C 中点为原点， A C 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 则 A (2,0),C (2,0)，设 B(x, y) A B 2 C B ，
)
0
cos(1
)在（0,1）单调递增，
cos(1
)
（0,1）
1 cos(1
)
（1，
） a
1
，故选
B.
二、填空题：
13. 160
14. 1,2
8
15.4 16.
3
13.解：Tr1 C6r x62r 2r ， 6 2r 0, r 3 ，故常数项为
160 .
14.解： f x1 f x m 0 得 f x 1或 f x m ，作出函数
任取 x1 x2 0 ，则 g x1 g x2 0 ，由不等式的性质可得 x1g x1 x2g x2 0 ，
即 f x1 f x2 0 ，所以，函数 f (x) 在 (0， ) 上递增，
因此，
f
3 2
f
7 2
f
7 2
f
(4) ，
理科数学
第 1页
故选：C．
y f x 的图像，如图示，由图可知，f x 1有两个根，故 f x m
有三个根故 m 1,2
15.解：建立如图的直角坐标系，设 AB m ，M 0,t,t 0, m，
由题意可知， C2,0, D1，m ， MC 2,t, MD 1, m t
MC 2MD 4,2m 3t ， MC 2MD 16 2m 3t 2 4 ，当且仅当 t 2m 时取等号，
ABD 为等边三角形，可得 BE=1.又 OE= BC 3 ，故在 RtOBE 中， 2
OB= 2 此即为外接球半径，从而外接球表面积为16
10.解：假设点 M 在准线的上半部分，准线与 x 轴交点为 P，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，设点
N (x, y) .
易得， MPF
~
NQF
，又
MN
(x 2）2 y 2 2 (x 2）2 y 2
3x2 3y2 20x 12 0 ，整理得 (x 10)2 y2 (8)2
3
3
因此，当 A B C 面积最大时， B C 边上的高为圆的半径 8 . 3
三、解答题：
17．（1）证明：取 AB 的中点为 M ，连接 DM , PM ，因为 PAB 是等边三角形，所以