第二章 计算机控制系统的设计方法

1．设计模拟控制器 根据给定被控对象的特性及设计要求的性能指标，利用连续系统 中的设计方法设计模拟控制器。 2．选择合适的采样周期 采样定理给出了从采样信号恢复连续信号的最低采样频率，理论 上应根据采样定理选择采样周期。但实际上，被控对象的物理过程和 参数变化比较复杂，难以获得模拟信号的最高频率。 3．模拟控制器的离散化 根据选定的采样周期，选择合理的离散化方法将模拟控制器离散 化为数字控制器，以便计算机能够实现。 4．仿真校验是否达到设计要求 利用计算机仿真软件，对所设计的数字控制器进行校验，若其闭 环特性满足系统设计要求，则设计结束，进行下一个步骤；否则，修 改控制器参数，直到达到满足要求为止。 5．数字控制器的计算机实现 将数字控制器变成易于计算机编程的差分方程的形式。
LL
0
T
2T
3T 4T
(k − 1)T kT
t
图2-10 双线性变换法的数值积分等效图
3．零极点匹配法 零极点匹配法就是利用 z 变换的定义，将模拟控制器 的零极点变换为数字控制器D (z )的零极点，使D(z )和 D(s) 的 低频增益相互匹配。 零极点匹配法的步骤为： （1）将 D(s)变换成零极点形式，即
r (t ) +
e(t ) −
D(s )
u (t )
G (s)
y (t )
r (k ) +
e(k ) D(z ) −
u (k )
G (z )
y (k )
(a) 连续控制系统
r (t ) + e(t )
−
T
(b)离散控制系统
G (s )
e(k )
D(s)
u (k )
u (t )
y (t )
D (z )
4．加零阶保持器的 Z 变换方法 带有零阶保持器的 Z 变换方法就是将零阶保持器与模 拟控制器串联，然后对其进行 Z 变换，离散化成为数字控 制器。所串接的零阶保持器是虚拟保持器，是公式中的一 个解析部分，而不是一个硬件模型。 1 − e −Ts (2-29) D( z ) = Z [ D( s )]
选T = ( 1 ~ 1 )τ ，为被控对象的滞后时间。
8 4
2．从系统抗干扰性能和随动性方面考虑 如果系统受到高频干扰信号的影响，应该选择采样周 期使采样频率低于干扰信号的频率，保证系统具有足够的 抗干扰能力。如果系统受到低频干扰信号的影响，且干扰 信号的频率准确已知，可以选择采样周期，使采样频率是 干扰信号频率的整数倍，以便系统可以采用滤波的方法去 除干扰。对于随动系统，为了能够迅速地反应给定值的变 化，采样周期应尽量小。 3．从系统的控制品质方面考虑 一般来说，在计算机运算速度允许的情况下，采样周 期越小，控制品质越高。通常在系统输出达到95％的过渡 过程时间内，采样6~15次。 4．从计算机的工作量和回路成本方面考虑 大多数计算机控制系统是多回路控制系统，计算机的工作 量很大，因此，采样周期应选择大一些。尤其是当控制回 路较多时，应该使每个回路都有足够的计算时间。
与连续系统中传递函数的定义类似把在初始条件为零时系统输出量的变换与输入量的变换之比定义为脉冲传递函数即25对于连续系统的动态过程可以用微分方程来描述同样对于计算机控制系统的动态过程可以用差分方程来描设计算机控制系统的输入量序列为输出量序列为控制系统的差分方程一般表示为26根据z变换的定义s平面内的极点经过变换后在z平面内有对应极点为210代入式23有211st212图25z平面极点分布与脉冲响应如前所述计算机控制系统就其中的信号类型而言是一种混合系统
s
加零阶保持器的 Z 变换方法具有的主要特点是： （1）如果 D (s ) 稳定，则 D (z )也稳定； （2）如果 D (s ) 是一个复杂的传递函数，其 Z 变换很可 能无法在一般 Z 变换表中查到，需要进行部分分式展开。
1 − z −1 可得 s 与 z的关系为 s = T
则有
D( z) = D(s)
1− z −1 s= T
z −1 = 1 − sT
(2-14) (2-15) (2-16)
在时域分析时，后向差分法就是用一阶差分近似一阶微 分，即用一个采样周期内的平均导数近似瞬时导数，也 等价于数值积分中的后向矩形法，如图2-8所示。
5．从计算机及A/D、D/A转换器的特性方面考虑 较小的采样周期，要求计算机及A/D、D/A转换器具有 快速的运算和转换能力。而计算机字长及A/D、D/A转换 器的位数决定了它们的运算速度和转换速度，字长越长， 位数越高，速度越快，价格越高，系统的硬件成本也就越 高。因此，应从性能价格比出发进行考虑。另外，从计算 精度考虑，采样周期过小，导致前后两次采样值变化很小， 计算机的量化误差会使调节作用减弱。 6．从执行机构的响应速度方面考虑 通常计算机控制系统的执行机构具有大惯性特性，响 应速度较慢。如果采样周期过小，新的控制量已经输出， 而前一次的控制量还没有执行完成，这样采样周期过小就 没有意义。因此，应选择与之相适应的采样周期。
e(kT )
e(t )
LL
0
T
2T
3T 4T
(k − 1)T kT
t
图2-8 后向差分的数值积分等效图
2．双线性变换法 双线性变换法，也称图斯汀(Tustin)变换。由 Z 变换的 定义，利用泰勒级数进行展开
sT +L e 2 (2-21) z = e sT = sT = sT − 2 1− +L e sT 2 1+ 2 当 T 很小时，式（2-21）可近似为 z = sT 1− 2 −1
sT 2
1+
2 1− z 由此可解得 s 与 z 的关系为 s = T 1 + z −1
则有
D( z ) = D( s )
2 1− z −1 s= T 1+ z −1
双线性变换法就是数值积分中的梯形积分法，其实质 是将连续时间函数积分近似为有限个梯形面积之和，如图 2-10所示。
e(kT )
e(t )
A′
r (t )
−
D(z )
A
y (t )
B
B′
图2-6 计算机控制系统结构图
从图中的 A′B′ 两点向左看，计算机控制系统等效为一个如 图2-7所示的连续系统。因此，计算机控制系统中的数字 控制器可按下面的设计步骤进行设计。
D(s )
r (t )
−
D(z )
y (t )
图2-7 等效连续系统结构图
Tσ jωT
= e ∠ωT
σT
(2-11)
这样，复变量的模值及相角与复变量的实部和虚部的关系为
R = z = eσT θ = ∠z = ωT
(2-12)
图2-5 Z平面极点分布与脉冲响应
第二节 计算机控制系统的模拟化设计方法
一、计算机控制系统模拟化设计步骤 如前所述，计算机控制系统就其中的信号类型而言是 一种混合系统。典型的计算机控制系统结构如图2-6所示。
把时间和幅值上均连续的模拟信号，按一定的时间间 隔 （采样周期T）转变为只在瞬时才有脉冲输出信号的过程 称为采样过程。实现采样的装置称为采样器或采样开关，如 图2-1所示。
y (t )
y * (t )
y (t )
y * (t )
LL
∆T
t
2T 3T
t
图2-1 采样过程示意
计算机控制系统中的被控对象接受的是连续模拟信 号，因此，在满足采样定理的条件下，采用保持器将计 算机输出的离散信号恢复为被控对象能够接受的连续模 拟信号。在计算机控制系统中，D/A转换器具有零阶保持 器的作用，其信号的保持过程如图2-2所示。
∑
k =0
δ 式中， (t )为脉冲响应信号，对式（2-1）做拉氏变换得： 2-1
(2-2) F* 从式（2-2）可以看出， ( s) 是的超越函数，因此仅用 拉氏变换这一数学工具无法使问题简化。为此，引入另一 个复变量 z ，并令 z = e sT
k =0
F (s) = f (0) + f (T)e + f (2T)e
T
2T
3T
t
图2-4 计算机控制系统的信号变换图
三、计算机控制系统的数学描述
1. Z变换 变换 连续信号 f(t) 经采样周期为 T 的理想采样开关后，其采样 信号f *(t) 可以表示为： ∞ (2-1) * f (t) = f (0)δ (t) + f (T)δ (t − T) + f (2T)δ (t − 2T) +L= f (kT)δ (t − kT)
y (kT )
yh (t )
y (kT )
yh (t )
2T
4T
t
2T
4T
t
图2-2 零阶保持器的信号保持过程
二、计算机控制系统中的信号类型 控制系统按照它所包含的信号形式通常可以 划分为以下几种类型。 （1）连续控制系统，典型结构如图2-3a所示，系 统中各处均为连续时间信号； （2）离散控制系统，典型结构如图2-3b所示，系 统各处均为离散时间信号； （3） 采样控制系统，典型结构如图2-3c所示，其 中既包含连续时间信号，也包含离散时间信号， 是一个混合信号系统； （4）数字控制系统，典型结构图如图2-3d所示， 其中包含有数字信号。所谓数字信号是指在时间 上离散、幅值上量化的信号。
G( z) =
(2-5) 对于连续系统的动态过程可以用微分方程来描述，同 样，对于计算机控制系统的动态过程可以用差分方程来描 述。 设计算机控制系统的输入量序列为，输出量序列为， 控制系统的差分方程一般表示为
y (k ) + a1 y (k − 1) + a2 y (k − 2) + L + an y (k − n) = b0 r (k ) + b1r (k − 1) + b2 r (k − 2) + Lbm r (k − m)
*
−sT
−2sT
+L= ∑ f (kT)e−ksT
∞
代入式（2-2），并令 F*(s)
F ( z ) = f (0) + f (T ) z + f (2T ) z
−1 −2
1 s= lnz T
= F(z) ，则
∞
+ L = ∑ f (kT ) z − k
k =0
(2-4) 的
f * (t的 Z 变换，它是变量Z 式（2-4）定义为采样信号 )
幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。 2．脉冲传递函数与差分方程 在连续系统中，通常用传递函数分析控制系统的性 能。对于计算机控制系统，同样可以利用脉冲传递函数在 域中分析控制系统的性能。
与连续系统中传递函数的定义类似，把在初始条件为 零时，系统输出量的 Z 变换与输入量的 Z 变换之比定义为 脉冲传递函数，即
G (s )
(c)采样控制系统
(d) 数字控制系统
图2-3 四种类型控制系统的典型结构图
r (k ) + −
D
E
F
G
H
y (t )
CBAຫໍສະໝຸດ I011A， I
F D，
010
001
0
T
2T
3T
t
0
T
2T
011
3T
t
B
E
001
010
0
T
2T
3T
t
0
T
2T
3T
t
C， d 3 G d 2 d1
t
H
0
T
2T
3T
0
ks (s + z1)(s + z2 )L(s + zm ) D(s) = (s + p1)(s + p2 )L(s + pn )
（2）将 D(s)的零极点映射到Z平面 （3）在 z = −1 处加上足够的零点，使D(z )零极点个数相同。 （4）在低频段，使 的增益与 的增益相匹配。
D(z )
D(s)
Y ( z) R( z )
(2-6)
平面到Z平面的映射 四、S平面到 平面的映射 平面到 根据Z变换的定义，S平面内的极点经过变换后，在Z平 面内有对应极点为 z = e sT 。复变量S有实部σ 和虚部ω ，即
s = σ + jω
代入式（2-3），有
(2-10)
z =e
T (σ + jω)
=e e
二、采样周期的选择 在实际工程中，通常以采样定理为理论依据，根据 系统控制品质要求、系统抗干扰要求和系统快速响应要求， 从以下几个方面综合考虑。 1．从被控对象的特性方面考虑 若被控对象的时间常数为 T p ，一般采样周期 T 选
T 为： < 1 Tp 10 。对于具有较大纯滞后时间的被控对象，常
表2-1 常见对象的采样周期经验值
被 控 量 流量 压力 液位 温度 成分
采样周期（s）
1～5 3～10 6～8 15～20 15～20
备 注 优选1～2s 优选3～5s 优选7s
取纯滞后时间常数
优选18s
三、模拟控制器离散化方法 1．后向差分法 根据 Z变换的定义，z = e sT ，利用泰勒级数将其进行展开， (2-13) 2 (Ts ) z −1 = e − sT = 1 − Ts + +L 2! 当 T 很小时，式（2-13）可近似为
第二章 计算机控制系统的设计方法
• • • • 第一节 计算机控制系统的基础知识 第二节 计算机控制系统的模拟化设计方法 第三节 计算机控制系统的数字化设计方法 第四节 系统设计举例
第一节 计算机控制系统的基础知识
一、信号的采样与保持 信号从幅值上可以区分为： （1）模拟量：即幅值连续变化并可以为任意值的信号； （2）离散量：只在时间轴的离散点上幅值可以为任意值 的信号； （3）数字量：即幅值用一定位数的二进制编码形式表示， 这个过程称为量化。 从时间上可以区分为： （1）连续时间信号：即时间轴上任何时刻都存在的信号； （2）离散时间信号：即时间轴上断续出现的信号。