第三讲++高考中的数学思想方法

第三讲高考中的数学思想方法
在高考中把考查数学思想方法作为一个重要内容。

一、高考要求考查的数学思想方法
考查数学思想方法是《数学考试说明》中的一项基本要求，同时也是由于数学科的特点所决定的。

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。

因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度。

考查时，要从学科整体意义的思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检验考生对中学数学知识中蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。

一般认为中学数学涉及的数学思想主要有：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，必然与或然思想等。

数学基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等。

数学逻辑方法或思维方法主要有：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等，它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法，对数学思想方法的考查要结合数学知识多层次进行。

经过多年的实践，对数学思想和方法的考查重要性的认识更加明确，自觉性更加增强，运用更加成熟。

我们可以看出对数学思想方法的考查有以下几个特点：
1、基本的思想方法是年年都要考的。

2、对思想方法的考查已由单纯的直接考查转化为用这些观点进行数学思维的考查。

3、以思想方法来考查考生的数学素养、聪明程度、个性品质和潜能。

二、高考中考查数学思想方法试题的编写过程举例
高考中如何考查数学思想方法，考查数学思想方法的试题是如何命制出来的，这是大家很关心的问题。

下面是高考命题专家任子朝叙述的当年命题的过程：
例1 已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线。

当n≤y ≤n+1（n=0，1，2，…）时，设图象是斜率为b n的线段（其中正常数
b≠1），设数列{x
n }由f（x
n
）=n（n=1，2，…）定义
（Ⅰ）求x
1，x
2
和x
n
的表达式；
（Ⅱ）求f（x）的表达式，并写出其定义域；
（Ⅲ）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。

函数的概念、性质与应用是初、高中数学的一个核心内容，函数的概念涉及三个要素：定义域、值域和对应关系（或映射规则），其核心内容是对应关系或映射规则，而定义域、值域是对于对应关系的进一步描述，描述函数就是描述它的对应关系，通常函数的表述方法有三种：解析式子表述法，语言文字表述法和坐标平面上的图象表述法，函数的对应关系一旦确定，为了方便，我们把参与映射的两个集合的元素分别赋予自变量、因变量的名称，把一个映射方向称为函数，其相反方向则称为反函数，而对应关系或映射规则是两者互动状态的
描写。

这个试题的编制，以中学三类基本初等函数中最简单的一次函数为知识栽体，一反用解析式子给出函数的习惯，用描写函数图象给出函数关系，希望通过此题来考查考生对函数概念的深刻内涵的理解程度，创造性地运用数学基础知识的能力，同时考查学生的思维品质和数学素质。

本题给出这样的题干：“已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，……）时，该图象是斜率
为b n的线段（其中正常数b≠1），设数列{ x
n }由f（x
n
）=n（n=1，2，…）
定义”。

由此题干该提出的中心问题，自然应该是“求函数f（x）的表达式”，由于它是用图象表述给出函数关系，自然地建立了函数与解析几何的联系，考生可以借助画辅助图形的方法，在每一区间［n，n+1］画出斜率为b n的折线段，得到一个基本图形，从中受到启发，可以运用点斜式求直线方程的方法，表述出每一个区间［n，n+1］上的线段所在的直线方程，形成如下基本解题思路：
当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b°=1的线段，它所在的直线方程是
y=x，0≤x≤1
当n≤y≤n+1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b n的线段，它所在的直线方程是
y=n+ b n（x- x
n ），x
n
≤x≤X
1
n
，n=1，2，3，…
得到函数关系式之后必须确定这函数的定义域，为了求出定义
域，必须表述x
n
=g（b）
在已有的求直线方程的整体思想框架下，由于f（x
n
）=n，
f（x
1+
n
）=n+1，于是有
n+1=n+b n（x
1+
n - x
n
），
即x
1+
n - x
n
=
n
b
1，n=1，2，3，…
由此可知，数列{ x
1+
n - x
n
}是首项为1，公比为
b
1的等比数列，
从而启发我们利用等比数列的求和方法，求出横坐标的点列{x
n
}
即x
n =
1
1
1-
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
n
b
b
b
这个解题思想，为了便于考生思考和表述，试题设置为两问：
“（1）求x
1，x
2
和x
n
的表达式；（2）求f（x）的表达式，并写出定
义域；”
其中之所以要先求x
1，x
2
，目的是让考生能从特例出发去探求，
尽快形成思路。

确定函数y=f（x）定义域的过程，在得到x
n
=g（b）之后，要注意到题中给出的“b是正常数且不等于1”，并非某个具体数值，b 的每一个确定值能作出一条折线，事实上是形成一折线族，于是，必须研究当b变化时，折线族如何变化？
从几何直观可想象到此折线族可分为两类：当b>1时，由于b n →∞，随着n的增大，族中的折线应越来越陡，因之对应的定义域是
有限的，可以通过lim x
n
得到；当b<1时，由于b n→0，随着n的增
大，族中的折线应越来越平缓，且有x
n
→∞ 因此可正确表示出y=f
（x）的定义域。

试题设置的第三问：“（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点 ”这是问题的深化，将“数形结合”推上新境界，进一步考查考生的数学素质，特别是创新意识。

由第二问探求函数定义域的研究，已经能直观地想象到由于b 的变化折线族中每条折线的走向分布，就是对于x>1，当b>1时，y=f （x）的图象在直线y=x的上方，当b<1时，y=f（x）的图象在直线y=x的下方，第三问则是要求几何图象解析化，具体来说是要求考生能把所描述的函数图象之间的关系“翻译”成要证明的数学命题，再加以证明。

本题以最简单的一次函数为素材来构造试题，在简单之中蕴含着丰富的内涵，且使数和形和谐地融为一体，使考生能领略到数学世界的绚丽多姿，有利于发展学生的思维品质。

本题的设计，以函数为主线，由描述图象表示函数，给出函数值域要求确定定义域，深刻地揭示函数概念的本质，同时综合数列、极限、数学归纳法以及解析几何中直线方程等知识，体现知识网络的交汇点，解题思维过程不但要用到函数与方程，数形结合，分类与整合，化归与转化，特殊与一般，有限与无限，分析、综合、归纳等基本数学思想方法，还要有较高的数形转化和参数讨论的数学能力，给考生展现创造性的思维提供了广阔的空间，也是对考生综合数学实力的检验。

三、高考中考查数学思想方法试题举例
我们来看一个当年试题中具有导向作用的例子。

例2 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元。

（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全长运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：此题的难点在于“速度不得超过c 千米/小时”，参考答案在处理b a ≤c 时，用的是典型的不等式性质；而在处理b
a >c 时，用的是比较法，整个解法严谨，但正因为在求
b a >
c 情况下的值y min 用的是比较法，因其几何直观性不强，而且在比较过程中的恒等变形及不等概念的推理有一定的技巧性和难度，所以不少考生最终难以自圆其说，此处失分的人较多，文科考生也考了此题，无疑难度稍大了些。

分析一下原因，主要是对函数y=s （v a +bv ）的几何性质的了解及分析，教材上不多见，教师的讲解也有限，大多数学生掌握的程度不理想。

解法一（1）依题意汽车从甲匀速行驶到乙所用的时间为v s ，全程运输成本为y=a ·v s +bv 2·v s =s(v a +bv)，
所求函数及其定义域为y= s(v a +bv)，v ∈（0，c ］
（2）由题意，s 、a 、b 、v 均为正数，故s(v a +bv)≥2sab 等式当且仅当v a
=bv ，即v=b
a 时成立
若
b a ≤
c ，则当v=b a 时，全程运输成本y 最小； 若b
a >c ，当v ∈（0，c ］时，有 s （v a
+ bv ）-s(c a +bc)=s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)()11(c v b c
v a =vc
s (c-v)（a-bcv ） 因为c-v ≥0，且a>bc 2，故a-bcv>a-bc 2>0，
所以s(a v a +bv)≥s(c a +bc)，当且仅当v=c 时等号成立，
即当v=c 时，全程运输成本y 最小。

综上，为使全程运输成本y 最小，当
b a ≤
c 时，行驶速度为 v=b a ；当b
a >c 时，行驶速度为v=c 解法二（2）设y 1=
v as ，y 2=sbv ，则y= y 1+y 2，并作出 y 1与y 2示意图，如图2—1
由y 1=y 2＝>v=
b a 设v 1、v 2∈（0，
b a ］，且 v 2> v 1 则：y 2v v =-y 1v v ==（y 1+y 2）2v v =-（y 1+y 2）1v v =
=（2v as +sbv 2）-（1
v as +sbv 1） =s （
2v a -1v a ）+s （bv 2-bv 1） =2
1v v s （v 2-v 1）（a-b v 1v 2）①
因为①中s 、v 1、v 2、a 、b 均大于零， v 2-v 1>0，
且v 1 v 2<(b
a )2=
b a ＝>（a-b v 1v 2）>0 故①的右端大于零，即y 2v v =＞y 1v v =，
所以函数y 在区间（0，b
a 】上单调递减 同理可推出函数y 在区间【
b a ，+∞）上单调递增 则：当c<b
a ，v ∈（0，c ］时，v=c ，y 取最小值 综上，为使全程运输成本最小，当
b a ≤
c 时， 行驶速度应为v=b a ，当b
a >c 时，行驶速度应为v=c 评注1°此题考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查数学建模能力、求最值的方法。

图2—1 图2—2 评注2°解法二的运算过程和解法一大同小异，但前者侧重几何性质的运用——单调性，后者侧重不等式的运算，相比较而言，图形直观，容易把握；而代数式恒等变换，有一定的难度，不等式又是
代数的一个难点，学生不易掌握，以往高考数学试题中的应用题主要侧重应用，即要求能理解，会列式，求解过程相对简单，而这道试题，对应用题的要求无疑有了提高，加大了说理的成分，应用题一般要求解某个或某几个变量，而求解变量一般可建立相应的函数关系式，引进函数，必然涉及到函数图象，从图象上找“信息”，对开阔思路是十分必要的。

a+bv）的简当然，此解法还可以简化，即可直接作出函数y=s（
v
图，如图2—2所示,讨论过程与前同，能正确的作出相关函数或曲线方程的简图（并非精确图），正是用好数形结合法的要诀之一。

评注3°中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形有联系，这个联系常称之为数形结合，或形数结合，因此，中学数学的基本知识也可以相应地分做三大类，一类是关于纯粹数的知识，一类是关于纯粹形的知识，一类是关于数形结合的知识。

实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等是关于数的知识，平面几何和立体几何是关于形的知识，数形结合的知识是哪些呢？我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，例如，表示实数与直线上的点之间所具有的一一对应关系的数轴，表示有序实数对与平面上的点之间所具有的一一对应关系的平面坐标系，表示复数与平面上的点之间或复数与平面上以某定点为始点的向量之间所具有的一一对应关系的复平面。

建立在这些对应关系上的数学知识有函数的图象，以及曲线与方程作为研究对象的解析几何等。

有一些关于数的知识，其自身就是借助于形来表述的，也可以算做数
形的结合，如锐角三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

以上所述是把数形结合作为一类数学基本知识来考虑的，但是，数形结合也可看做是一种数学思想方法，事实上，数学方法总是一定数学知识的内容的反映，例如，数学归纳法来自自然数的皮亚诺公理，方程的解决来自方程的同解原理，证题的综合法与分析法则源于（条件）命题成立的意义。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形；或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，这就是说，当我们把数形结合当做数学思想方法来应用时，数与形两者之中，一个为手段（方法），另一个为目的，事实上，第一种情形数是手段，形为目的；第二种情形，形为手段，数为目的。

例如，应用曲线的方程可以精确地阐明曲线的几何性质，是属于前一种情形，这是以方程（数）为手段解决曲线（形）的问题，应用函数的图象可以直观地说明函数的性质，则属于后一种情形 这是以图象（形）为手段来解决函数（数）问题把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考察（即用代数方法研究几何问题）。

高考中对数学思想方法的考查,在选择题、填空题、解答题中都会出现,对数学思想方法的考查也不仅仅是单独进行，经常综合进行。