江西省南昌市高三数学一模考试试题(理科)

2008年江西省南昌市高三数学一模考试试题(理科)
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那幺
球的表面积公式24πS R = ()()()P A B P A P B +=+
其中R 表示球的半径
如果事件A B ，相互独立，那幺 球的体积公式34π3
V R =
()()()P A B P A P B =
其中R 表示球的半径
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那幺n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
()(1)
k k n k
n n P k C P P -=-
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的． 1.
2
)
3(31i i +-= ( )
A.
i 4341+ B.i 4341-- C.i 2321+ D.i 2
321-- 2. 若),0(πθ∈，且25
24
2sin -=θ，则θθsin cos -=（ ）
A ．
5
7
B ．5
7-
C ．5
1
D ．－5
1
3. 已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没
有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( ) A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
4. 若n
x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+13的展开式中各项系数之和为1024，
则展开式中含x 的整数次幂的项共有 （ ）
A ．2项
B ．3项
C ．5项
D ．6项
5. 函数log (3)1
a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n
+的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6. 等比数列{a n }的首项a 1=－1，前n 项和为S n ,若3231
510=S S ，则l i m ∞
→n S n 等于 ( )
3
2 B. 32A.- C 2 D －2 7. 从1，2，3，…，20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍
数的概率为 ( )
A ．119
B ．338
C ．3295
D ．57190
8. 正三棱锥S —ABC 中，M 是SC 的中点，⋅=0，若侧棱34=SA ，则此正
三棱锥S —ABC 外接球的表面积是 A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
9. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>24y x =的准线重合。

设双曲线与抛物线的一个交点为P ,抛物线的焦点为F ，则
||PF =
A .21
B .18
C .
D .4
10.已知函数在区间x x f ωsin 2)(=]3
,4[π
π-
上的最小值为－2，则ω的取值范围是
（ ）
A
．
⎪
⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2329, B ．
[)+∞⎥⎦⎤ ⎝
⎛
-∞-,229,
C ．[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,223,
D ．(]⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,232, 11. 已知f(x)= x x 33-,过点A(1,m)(m ≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m 的取
值范围是( )
A. (-1,1)
B. (-2,3) (C) (-1,-2) (D) (-3,-2) 12. 对于函
数
)]([)(,)],([)()],([)(1
1)(1232x f f x f x f f x f x f f x f x x x f n n ===+-=+ ，设
)2*,(≥∈n N n 且，令集合},)(|{22008R x x x f x M ∈==，则集合M 为（ ）
A ．空集
B ．实数集
C ．单元素集
D ．二元素集
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13. 设函数34
log (1)
(4)()2
(4)x x x f x x --+>⎧=⎨≤⎩的反函数为1()f x -，且11
()8
f -=a,
则(7)f a +=__________
14. 设x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥+-≤0,063
y x y x x 则该不等式组表示的平面区域 ,则z=2x+y 的最大值
是_____________.
15. 两个三口之家，拟乘两艘小游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有__________.
16. 如图，矩形ABCD 中，DC=3，AD=1，在DC 上截
取DE=1，将△ADE 沿AE 翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1­—AE —B 的平面角的余弦值是 .
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
)
17.（本小题满分12分）已知)2
cos ,2sin 3(x
x =,)2cos ,2(cos x x b -=,函数
x f ⋅=)(.
(1)求)(x f 的单调递增区间； (2)若)2
,0(π
∈x ，)(x f =6
1
-
,求x cos 的值.
18.（本小题满分12分）某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。

设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.5，0.5. (1)若有4位工人参加这次测试，求恰有2人通过测试的概率； (2) 求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数ξ的分布列及E ξ.
19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB. D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点. （1）求B A 1与平面A 1C 1CA 所成角的大小；
(2)求二面角B —A 1D —A 的大小；
（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）已知函数f (x ) =ln x ,g (x ) =21
2
x a +，（a 为常数），若
直线l 与y =f (x ), y =g (x )的图象都相切，且l 与y = f (x )的图象相切的切点的横坐标为1.
（1）求直线l 的方程及a 的值；
(2) 当 –2 ≤m <4
1
时,求h(x)= f(x)—f '(x)[2g(x)- m +1]在[21,2]上的最大值.
21.（本小题满分12分）已知F 1、F 2是椭圆122
22=+b
y a x 的两个焦点，O 为坐标原
点，点P 2
2
,
1(-）在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足2=+F ；⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l : y =kx +m 与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B .
（1）求椭圆的标准方程； （2）当λ=⋅，且满足4
3
32≤≤λ时，求△AOB 面积S 的取值范围.
22.(本小题满分14分) 已知数列}{n a 满足).2,(22,1*11≥∈-+==-n N n n a a a n n （1） 求数列}{n a 的通项公式；
（2） 设b n =
)
2()4)(2(1
11
21-----n n a a a (n∈N *,n ≥2), b 11=, ①求证：b 1+b 2+……+b n < 3 ;
②设点M n (n,b n )((n∈N *,n>2)在这些点中是否存在两个不同的点同时在函数
y =2
)1(-x k
(k>0)的图象上,如果存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理
由.
参考答案
一、选择题 (1)B (2) B (3) B (4) B (5) C(6)B (7)C (8)C(9) D(10) C(11) D(12) A
二、填空题 (13)-2
(14) 15 (15) 48 (16) 32-
三、解答题 17.解：（１）
2
1
)6sin(21cos 21sin 232cos 2cos 2sin 3)(2--=--=-=⋅=πx x x x x x x f (4)
分 由3
223
22
26
2
2π
ππ
ππ
ππ
π
π+
≤≤-
+
≤-
≤-
k x k k x k 得 )(Z k ∈ 所以)(x f 的单调递增区间为]3
22,3
2[π
ππ
π+
-
k k )(Z k ∈ ………6分 （２）由)(x f =6
1-得：31)6sin(=-πx 366,20π
πππ<-<-∴<<x x
∴,3
2
2)6
cos(=
-
π
x ………8分 ∴-⋅-
=+
-
=6
cos
)6
cos(]6
)6
cos[(cos π
π
π
π
x x x 6
sin
)6
sin(π
π
⋅-
x
=6
1
62213123322-=⨯-⨯…………12分 18.解：（1）每位工人通过测试的概率为5
4
2112115111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- (2)
分
每位工人不能通过测试的概率为5
1
. …………4分
4位工人中恰有2人通过测试的概率为P = C 24
(22)51()54⋅=625
96 。

…………6分
(2)ξ的取值为1、2、3.
()511==ξP , ()52
215112=
⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξP , ()5
2
2115113=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξP .…………8分
故工人甲在这次上岗测试参加考试次数g 的分布列
…………10分
∴5
11
523522511=⨯+⨯+⨯
=ξE .…………12分 19. 解：（1）∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱 ∴CC 1⊥底面ABC ∴CC 1⊥BC
∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A 1C 1CA ………………2分
∴C BA 1∠为B A 1与平面A 1C 1CA 所成角
2
2
arctan arctan 11==∠C A BC C BA
∴B A 1与平面A 1C 1CA 所成角为2
2
arctan
……………4分
（2）分别延长AC ，A 1D 交于G. 过C 作CM⊥A 1G 于M ，连结BM ∵
BC⊥
平面ACC 1A 1 ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影
∴BM⊥A 1G ∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角……6分 平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA=2，D 为C 1C 的中点 ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG 中， 5
5
2=
∴CM 5CMB tan =∠∴, 即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan …………………8分
（3）在线段AC 上存在一点F ，使得EF⊥平面A 1BD ………10分 其位置为AC 中点，证明如下：
∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱 ， ∴B 1C 1//BC
∵由（1）BC⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA
∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，F 为AC 中点 ∴C 1F⊥A 1D ∴EF⊥A 1D ……11分
同理可证EF⊥BD , ∴EF⊥平面A 1BD …………12分 ∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面 ,点F 唯一 解法二：（1）同解法一……………………4分
（2）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱住 C 1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点, 建立如图所示的坐标系得
C （0，0，0） B （2，0，0） A （0，2，0） C 1（0，0，2） B 1（2，0，2） A 1（0，2，2）
D （0，0，1）
E （1，0，2）………………6分
)
2,2,2()1,0,2(1-=-=∴BA 设平面A 1BD 的法向量为n (1,,)=l m r
⎩⎨⎧=μ-=λ⎩
⎨⎧=μ+λ+-=μ+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴2102220
20BA n 0n 1得即 n (1,1,2)\=-r ……………8分
平面ACC 1A 1的法向量为m r
=（1，0，0）
1cos n,m 6
<>=
=
r r …9分 即二面角B —A 1D —A 的大小为6
6
arccos
……………10分 （3）在线段AC 上存在一点F ，设F （0，y ，0）使得EF⊥平面A 1BD
欲使EF⊥平面A 1BD 由（2）知，当且仅当n r
//…………11分
)2,y ,1(-= 1=∴y … ……13分
∴存在唯一一点F （0，1，0）满足条件. 即点F 为AC 中点……12分
20. 解：（1）()x
x f 1
='，()11='∴f ，()11='∴f ，11=∴k 。

又切点为()0,1l ∴的方程为1-=x y 。

……………2分
又l 与()x g 相切，由⎪⎩⎪
⎨⎧+=-=a x y x y 2
211
得01212=++-a x x ()2
10121
41-=∴=-⨯
-=∆a a …………………4分 (2) h(x)= f(x)—f '
(x)[2g(x)- m +1]= lnx +x
x m 2
- , …………………5分
2
222
'41)21()(x m x x m x x x h -
+--
=+--= 当–2 ≤m <41时，由0)('=x h
得12x x ==
显然12121111
1,2,[,2],[,2]2222x x x x -≤<<≤∴∉∈，又2
21'))(()(x
x x x x x h ---= 当21
2
x x ≤≤时，,0)('≥x h ，h(x)单调递增；（注意画草图，利用数形结合） 当22x x <≤时，,0)('≤x h ，h(x)单调递减 , ∴h(x)max =h(x 2)= -2
411ln
41m
m -++-. 当1
24m -≤<
时， h(x)max = -2
411ln 41m m -++-.………6分
21.解：（1）02=+M F PM ∴点M 是线段PF 2的中点 ∴OM 是△PF 1F 2
的中位线 ,
又OM ⊥F 1F 2 ∴PF 1⊥F 1F 2
1,1,21
211
122222222===⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧+==+=∴c b a c
b a b a
c 解得
∴椭圆的标准方程为22
2
y x +=1………………5分 （2）∵圆O 与直线l 相切
11
1
||222+==+k m k m 即
由0224)21(:1
2
22222
=-+++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m kmx x k y m kx y y x 消去
∵直线l 与椭圆交于两个不同点，002>⇒>∆∴k , 设),(),,(2211y x B y x A ，则
12
1
4321132211211)()
)((212
2,2142222
2
21212
22
2121221212
2212
21≤≤∴≤++≤∴=++=⋅+⋅=⋅+-=
+++⋅=++=⋅+-=⋅+-=+k k k k
k y y x x k k m x x km x x k m kx m kx y y k m x x k km x x λ
1||21⋅⋅==∆AB S S ABO
3
2)2(,46)43(,]2,43[]2,43[,142,243,1
)(4)
(221224)214(1214)(12
12424242
2222212212==∈+=≤≤+=+++=+-⋅-+-⋅+⋅=⋅-+⋅+⋅=S S u S u u u S u k k u k k k k k m k km k x x x x k 单调递增在关于则
设 3
246≤≤∴S …………………………12分 22. (1) 解法一∵).2n ,N n (2n a 2a *1n n ≥∈-+=- ∴)1n a (2n a 1n n -+=+-………
4分
∴数列{n a n +}是以首项a 1+1，公比为2的等比数列，即
n n n n a 2221=⨯=+-
)1(,2≥-=∴n n a n n ……………6分
解法二、)2(221≥-+=-n n a a n n ……………………① 121-+=+n a a n n …………………………② ②－①得12211+-=--+n n n n a a a a
)1(2111+-=+-∴-+n n n n a a a a
}1{1+-∴-n n a a 为公比为2，首项为2的等比数列. …………4分 )2(,1211≥-=-∴--n a a n n n 递推迭加得 )1(,2≥-=∴n n a n n …………………………6分
(也可用数学归法证明：)1(,2≥-=∴n n a n n )
(1) b n =)2()4)(2(11121-----n n a a a =)!
1n (1- = )1n (3211-⨯⨯⨯⨯ ≤2n 2
122211-=⋅⋅ (n ≥2)………8分
∴b 1+b 2+……+b n =1+!11
++!
21)2n (3)21(32
11)21(1121212111)!1n (12n 1
n 2n 2≥<-=--+=+++++≤-+--- , n=1时,b 1=1<3 成立, 所以b 1+b 2+……+b n < 3 .………10分
(2) 假设有两个点A(p,b p ),B(q,b q )(p ≠q,p,q ∈N*,且P>2,q>2),都在y =
2)
1(-x k 上, 即b p =2)1p (k -, 2q )1p (k b -=, ∴,k )!1p ()1p (2=--,k )!1q ()1q (2=--
=--∴)!1p ()1p (2,)!1q ()1q (2-- ……① ………12分
以下考查数列{}n C ，2
n n C n !=的增减情况，
222N n 1n (n 1)n 3n 1C C n!(n 1)!(n 1)!
---+-=-=--- ， 当n>2时, n 2 －3n+1>0 ,所以对于数列{C n }有C 2>C 3>C 4>……>C n >……,所以不可
能存在p,q 使①成立,因而不存在这样的两个点.……14分。