高中数学必修5高考专题《三角函数(解答题型)》PPT

3Hale Waihona Puke 2＝492 .因 a＝b>c，所以 C 为锐角，
因此 cosC＝ 1－sin2C＝
1－4
9
22＝79.
于是 cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC
＝13×79＋2 3 2×4 9 2＝2237.
总结提炼
高考中的三角函数常见解答题型 三角变换与求值——考查各种变换公式，转化为 y＝Asinωx＋φ形 式，多以解答题第一题位置出现. 三角函数图象与性质——利用向量的概念和三角变换化为一个角的 三角函数，构造方程确定角，构造不等式求单调区间，同时考查推理论 证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想的应用. 正弦、余弦定理及解三角形——主要考查正弦定理、余弦定理以及三 角形的面积公式，考查考生的分类讨论能力以及解三角形的能力. 易错提醒 (1)由三角函数值求角时，要据角的范围取舍． (2)实际问题要检验.
(2)由(1)得，f(x)＝cos(2x－π3)， 于是g(x)＝cos[2(x－6π)－3π]＝cos(2x－23π)， ∵2kπ≤2x－ 23 π≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋ 3π ≤x≤kπ＋ 56 π， k∈Z. ∴g(x)的单调递减区间为[kπ＋3π，kπ＋56π]，k∈Z.
把握通性
[解]
(1)因为
f(t)＝10－2
23cos1π2t＋12sin1π2t＝10－2sin1π2t＋π3，
又 0≤t<24，所以π3≤1π2t＋π3<73π，－1≤sin1π2t＋π3≤1.
当 t＝2 时，sin1π2t＋π3＝1；
当 t＝14 时，sin1π2t＋π3＝－1.
于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8.
∴f34π－θ＝
3sin(π－θ)＝
3sinθ＝
30 4.
考点突破
热点二 三角函数的图象与性质 [例 2] [2014·陕西高三质检]已知平面向量 a＝(cosφ，sinφ)， b＝(cosx，sinx)，其中 0<φ<π，且函数 f(x)＝(a·b)cosx＋sin(φ－x)sinx 的图象过点(π6，1)． (1)求 φ 的值； (2)将函数 y＝f(x)图象向右平移π6个单位长度，得到函数 y＝ g(x)的图象，求函数 y＝g(x)的单调递减区间．
[解] (1)∵a·b＝cosφcosx＋sinφsinx＝cos(φ－x)， ∴f(x)＝(a·b)cosx＋sin(φ－x)sinx ＝cos(φ－x)cosx＋sin(φ－x)sinx ＝cos(φ－x－x) ＝cos(2x－φ)， ∴f(6π)＝cos(3π－φ)＝1. 而0<φ<π， ∴φ＝3π.
演示反馈
1. [2014·安徽高考]设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分 别是 a，b，c，且 b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求 a 的值； (2)求 sinA＋π4的值．
[解] (1)因为 A＝2B，所以 sinA＝sin2B＝2sinBcosB. 由正、余弦定理得 a＝2b·a2＋2ca2c－b2. 因为 b＝3，c＝1，所以 a2＝12，a＝2 3. (2)由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝9＋16－12＝－13.
Z专题知能提升
拓展提升
解三角形的实际应用
[2014·浙江高考]如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面
前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目
标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，
[解] (1)由题意知 f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x. 因为 y＝f(x)的图象过点1π2， 3和23π，－2，
所以－32＝＝mmssininπ64＋3π＋ncnocsoπ6s，43π，
即
3＝12m＋ 23n，
－2＝－ 23m－12n，
解得 m＝ 3，n＝1.
(2)由(1)知 f(x)＝ 3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋6π. 由题意知 g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6. 设 y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)， 由题意知 x02＋1＝1，所以 x0＝0， 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2)．
由于 0<A<π，所以 sinA＝ 1－cos2A＝
1－19＝23
2 .
故 sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝232× 22＋－13× 22＝ 4－ 2
6.
2. [2014·广东高考]已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f51π2 ＝32.
(1)求A的值； (2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f34π－θ.
当 cosA＝0 时，A＝π2，B＝6π，a＝433，b＝233，
当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，
联立方程ab2＝＋2ba2－ab＝4
，解得
a＝2
3
3，b＝43
3 .
所以△ABC
的面积
S＝12absinC＝23
3 .
把握通性
三角形的基本量的求法
(1)先将几何问题转化为代数问题，若要把“边”化为
[解] (1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4， 又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absinC＝ 3，得 ab＝4. 联立方程aab2＋＝b42－ab＝4 ，解得 a＝2，b＝2.
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即 sinBcosA ＝2sinAcosA，
所以
S△ABC＝12bcsinA＝
3 4.
把握通性
1．条件求值的一般思路 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角 入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联 系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅 角．
π 6
＋2B－
π 6
＝
π，即A＋B＝23π，所以C＝π3.
(2)由c＝ 3，sinA＝45，sianA＝sincC，得a＝85，
由a<c，得A<C，从而cosA＝35，
故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝
4＋3 10
3 ，所以，
△ABC的面积为S＝12acsinB＝8
2. [2014·山东高考]已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x， n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点1π2， 3和点23π，－2.
(1)求m，n的值； (2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝ g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值 为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
研究三角函数图象与性质的常用方法
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的 奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 y＝ Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解．
(2)对于形如 y＝asinωx＋bcosωx 型的三角函数，要通过引入
辅助角化为 y＝
a2＋b2 sin(ωx ＋ φ) cosφ＝
＝sin22x－
3c2os2x－
3 2
＝sin(2x－π3)－
3 2.
当 2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，
即
x∈{x|x＝kπ＋51π2，k∈Z}时，f(x)取最大值
1－
3 2.
(2)由 f(A2)＝－ 23，可得 sin(A－π3)＝0， 因为 A 为△ABC 的内角，所以 A＝π3， 则 a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc， 由 a＝3，b＋c＝2 3，解得 bc＝1，
[解] (1)f51π2＝Asin51π2＋π4＝32， ∴A·23＝32，A＝ 3. (2)f(θ)＋f(－θ) ＝ 3sinθ＋4π＋ 3sin－θ＋4π＝32， ∴ 3 22sinθ＋cosθ＋ 22－sinθ＋cosθ＝32，
∴ 6cosθ＝32，cosθ＝ 46，
又θ∈0，2π，
∴sinθ＝ 1－cos2θ＝ 410，
“角”，常利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，若要把
“角”化为“边”，常利用sinA＝
a 2R
，sinB＝
b 2R
，sinC＝
c 2R
，
cosC＝a2＋2ba2b－c2等；
(2)然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出
三角形的基本量．
演示反馈
1. [2014·浙江高考]在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c.已知 a≠b，c＝ 3，cos2A－cos2B＝ 3sinAcosA－ 3
sinBcosB. (1)求角 C 的大小； (2)若 sinA＝45，求△ABC 的面积．
[解] (1)由题意得
1＋c2os2A－1＋c2os2B＝ 23sin2A－ 23sin2B，
即 23sin2A－12cos2A＝ 23sin2B－12cos2B，
sin2A－π6＝sin2B－π6.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－
由余弦定理，得 a2＋c2＝b2＋2accosB. 又 b＝3，所以 a2＋c2＝9＋2×2＝13. 解aa2c＋＝c62，＝13， 得 a＝2，c＝3 或 a＝3，c＝2. 因 a>c，所以 a＝3，c＝2.
(2)在△ABC 中，sinB＝ 1－cos2B＝ 1－132＝232，
由正弦定理，得
sinC＝bcsinB＝23×2
故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为
4 ℃.
(2)依题意，当 f(t)>11 时实验室需要降温． 由(1)得 f(t)＝10－2sin1π2t＋π3， 故有 10－2sin1π2t＋π3>11， 即 sin1π2t＋π3<－12. 又 0≤t<24，因此76π<1π2t＋π3<116π，即 10<t<18. 在 10 时至 18 时实验室需要降温．
3＋18 25 .
2. [2014·辽宁高考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且a>c. 已知B→A·B→C＝2，cosB＝13，b＝3.求：
(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．
[解] (1)由B→A·B→C＝2 得 c·acosB＝2，又 cosB＝13，所以 ac ＝6.
第四讲 高考中的三角函数 (解答题型)
解密高考
1.命题点：高考中多考查三角变换与求值，三角函数的图象 性质．
2．交汇点：常利用向量的数量积、平行、垂直的坐标运算， 正、余弦定理解三角函数问题．
3．常用方法：利用交汇点转化知识，结合数与形进行分析.
明确考点
1．三角函数的图象与性质． 2．y＝Asin(ωx＋φ)中 A、ω、 φ 的意义及确定方法． 3．两角和、差、二倍角、辅助角公式． 4．正、余弦定理、三角形面积公式．
a a2＋b2
，
sinφ＝ a2b＋b2的形式来求．
演示反馈
1. [2014·湖北高考]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－ 3cos1π2t－sin1π2t，t∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃，则在哪段时间实验室需 要降温？
将其代入y＝g(x)得sin2φ＋6π＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6.
因此g(x)＝2sin2x＋2π＝2cos2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－
π 2
≤x≤kπ，k∈Z，所以
函数y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.
考点突破
热点三 正弦、余弦定理及解三角形 [例 3] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， 已知 c＝2，C＝π3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2) 若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC 的面积．
考点突破
热点一 三角变换与求值
[例 1] 已知函数 f(x)＝cosx(sinx－ 3cosx)(x∈R)．
(1)求函数 f(x)的最大值以及取最大值时 x 的取值集合；
(2)在△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
A f(2)
＝－ 23，a＝3，b＋c＝2 3，求△ABC 的面积．
[解] (1)f(x)＝cosx(sinx－ 3cosx) ＝sinxcosx－ 3cos2x