2020年江西省赣州市十五县(市)高二(下)期中数学试卷(文科)

期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.复数z=-2+i，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）
A. 没有一个内角是钝角
B. 有两个内角是钝角
C. 有三个内角是钝角
D. 至少有两个内角是钝角
4.某镇有A．B．C三个村，它们的精准扶贫的人口数量之比为3：4：5，现在用分层
抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A村有15人，则样本容量为（）
A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
5.
广告费用x（万元）4235
销售额y（万元）49263954
根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售
额为（）
A. 63.6万元
B. 67.7万元
C. 65.5万元
D. 72.0万元
6.一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，
方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）
A. 81.2，4.4
B. 78.8，4.4
C. 81.2，84.4
D. 78.8，75.6
7.已知点P（-1，4），过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，则
抛物线C的标准方程为（）
A. x2=
B. x2=4y或y2=-16x
C. y2=-16x
D. x2=y或y2=-16x
8.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的
中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自
黑色部分的概率是( )
A.
B.
C.
D.
9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问
题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？
“该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二
位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为（）
A. 23
B. 47
C. 24
D. 48
10.已知函数f(x)=，则y=f(x)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
11.过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F且平行于其一条渐近线的直线l与另
一条渐近线交于点A，直线l与双曲线交于点B，且|BF|=2|AB|，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 2
12.已知函数f（x）=ax lnx-+a有且只有一个极值点，则实数a构成的集合是（）
A. {a|a＜0}
B. {a|a＞0}
C. {a|a＜1}
D. {a|a＞1}
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数y=f（x）在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=______．
14.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别
为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是
______．
15.若命题“∃x∈R，x2-x+a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是______．
16.已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右
焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外
完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
18.已经集合A={x|-1＜x＜7}，B={x|2-m≤x≤3m+1}，设命题p：满足A∩B=B，命题q：
只有一个实数x满足不等式x2+2mx+2m≤0，若命题“p或q”是假命题，求m的取值范围．
19.2018年11月21日，意大利奢侈品牌“D&G”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷
站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商
品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如表．
（1）根据如图所示的频率分布直方图，求网友留言条数的中位数；
（2）在答题卡上补全2×2列联表中数据；
（3）判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？
一般关注强烈关注合计
男45
女1055
合计100
参考公式及数据：
P（K2≥K0）0.050.0250.0100.005
k0 3.841 5.024 6.6357.879
20.如图，椭圆E：（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
21.已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2ln x（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，设g（x）=（x2-2x）e x，求证：对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．
22.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是θ=α（ρ∈R），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．
23.设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵z=-2+i，
∴它的共轭复数=-2-i，对应的坐标为（-2，-1）位于第三象限，
故选：C．
根据复数共轭的定义以及复数的几何意义，即可得到结论．
本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的概念，比较基础．
2.【答案】D
【解析】解：a，b是实数，如果a=-1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．
如果a=-1，b=-2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，
所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
3.【答案】D
【解析】【分析】
写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可.
本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注意积累这一类量词的对应．
【解答】
解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”,
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：A村所占的比例为=，
15÷=60，故样本容量n=60，
故选：B．
由分层抽样的特点，用A村的样本数除以A村所占的比例，即得样本的容量n．
本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由表中数据得：=3.5，==42，
又回归方程=x+中的为9.4，
故=42-9.4×3.5=9.1，
∴=9.4x+9.1．
将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）．
∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）．
故选：C．
根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程．将x=6代入回归直线方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额．
本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，是一个中档题目．
6.【答案】A
【解析】解：设这组数据为x1，x2，…，x n，平均数为，方差为s2；
则新数据为x1-80，x2-80，…，x n-80，
它的平均数是=
=
=-80
=1.2，
∴=81.2；
方差为s′2=[++…+]
=[++…+]
=4.4=s2．
故选：A．
根据平均数和方差的定义，进行推导，即可得出答案．
本题考查了平均数与方差的应用问题，解题时可以推导出正确的答案，是基础题目．7.【答案】D
【解析】解：过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，说明P在抛物线上，
设抛物线方程为：y2=2px，代入点P（-1，4），可得16=-2p，
所求抛物线方程为：y2=-16x，
设抛物线方程为：x2=2py，代入点P（-1，4），可得1=8p，2p=．
所求抛物线方程为：x2=y，
故选：D．
过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，说明P在抛物线上，转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，考查计算能力．
【解析】【分析】
本题主要考查与面积有关的几何概型的概率计算，属于基础题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】
解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，
设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S=，
则对应概率P==，
故选B．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，当程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=0时，满足条件退出循环，即可得到输出的S值．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得
n=24，S=24
执行循环体，n=24-8=16，S=24+16=40
不满足条件n=0，执行循环体，n=16-8=8，S=40+8=48
不满足条件n=0，执行循环体，n=8-8=0，S=48+0=48
满足条件n=0，退出循环，输出S的值为48-1=47．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的图象判断，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可. 【解答】
解：令g(x)=x-ln x-1，则x>0，
因为，
由g'(x)＞0，得x＞1，即函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，
由g'(x)＜0，得0＜x＜1，即函数g(x)在(0，1)上单调递减，
所以当x=1时，函数g(x)有最小值，g(x)min=g(1)=0，
于是对任意的x∈(0，1)∪(1，+∞)，有g(x)>0，
则f(x)>0，故排除B、D，
因为函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，故排除C.
故选A.
【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），
过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F且平行于其一条渐近线的直线l与另一条
渐近线交于点A，
，解得A（，），|BF|=2|AB|，解得B（，），
直线l与双曲线交于点B，，e＞1，解得e=．
故选：C．
求出AB坐标，焦点坐标，然后利用|BF|=2|AB|，结合双曲线方程，求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
12.【答案】A
【解析】解：f'（x）=a（1+ln x）-x，令f'（x）=0，
得a（1+ln x）-x=0，．
设，．
当g'（x）＞0时，得x＞1；当g'（x）＜0时，得或，
所以函数g（x）在区间和上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
因为函数有且只有一个极值点，
所以直线y=a与函数的图象有一个交点，所以a＜0或a=1．
当a=1时f'（x）=ln x-x+1≤0恒成立，所以y=f（x）无极值，所以a＜0．
故选：A．
求出函数的导数，构造新函数，利用导函数判断函数的单调性利用函数的极值，列出不等式求解a的范围．
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及导函数的应用，考查转化思想以及计算能力以及构造法的应用．
13.【答案】2
【解析】解：∵函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8，
∴f′（5）=-1，f（5）=-5+8=3，
∴f（5）+f′（5）=3-1=2，
故答案为：2．
根据导数的几何意义和切线方程求出f′（5），把x=5代入切线方程求出f（5），代入即可求出f（5）+f′（5）的值．
本题考查导数的几何意义，以及切点在切线上的灵活应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意，设A表示至少有1人破译出密码，
则A的对立事件表示三人都没有破译密码，
则P（A）=1-P（）=1-（1-）××=．
故填：．
设A表示至少有1人破译出密码，则A的对立事件表示三人都没有破译密码，则P（A）=1-P（），计算概率即可．
本题考查了事件的对立事件，相互独立事件的积事件的概率求法．属于基础题．
15.【答案】[，+∞）
【解析】解：∵命题“∃x∈R，x2-x+a＜0”是假命题，
∴则命题的否定“∀x∈R，x2-x+a≥0”为真命题，
∴△=1-4a≤0，解得a，
∴实数a的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
考虑命题的否定为真，运用判别式不大于0，解出a即可判断．
本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题与命题的否定的关系、充分必要条件的判断，属于基础题．
16.【答案】4
【解析】解：离心率为e==2，即c=2a，b=a，
M（-a，0），N（0，b），可得MN的方程为bx-ay+ab=0，
设P（m，n），F1（-c，0），F2（c，0），
可得•=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m2+n2-c2，
由m2+n2=（）2表示原点O与P的距离的平方，
显然OP垂直于MN时，|OP|最小，
由OP：y=-x，即y=-x，联立直线x-y+a=0，
可得P（-a，a），即S1=•2c•a=a2，
当P与N重合时，可得OP的距离最大，
可得S2=•2c•b=2a2，
即有==4．
故答案为：4．
由离心率公式和a，b，c的关系，设出MN的方程，以及P（m，n），F1（-c，0），
F2（c，0），运用向量数量积的坐标表示，以及两点的距离公式，可得取得最值时的P 的位置，由三角形的面积公式，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，
所以P（A）==．
因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．
（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．
所以P（B）=1-P（）=1-=．
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
【解析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，一一列举即可，而满足a+b=c的（a，b，c）有3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题
18.【答案】解：若A∩B=B得B⊆A，
若B是空集，则2-m＞3m+1，得4m＜1，得m＜；
若B不是空集，则满足，得得≤m＜2；
综上m＜2，即p：m＜2．
若只有一个实数x满足不等式x2+2mx+2m≤0，则判别式△=4m2-4m=0得m=0或m=1，
即q：m=0或m=1，
若命题“p或q”是假命题，则命题p和q都是假命题，即，即m≥2，
即实数m的取值范围是[2，+∞）．
【解析】求出命题p，q的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求解命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．
19.【答案】解：（1）依题意，10×（0.010+0.018+0.022）=0.45＜0.5，
所以网友留言条数的中位数为30+=32；
（2）根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为10×（0.020+0.005）=0.25，
所以强烈关注的人数为100×0.25=25，因为强烈关注的女行有10人，所以强烈关注的男性有15人，
所以一般关注的男性有45-15=30人，一般关注的女性有55-10=45人，
所以2×2列联表如下：
一般关注强烈关注合计
男301545
女451055
合计7525100
（3）由（2）中的2×2列联表中数据可得：
=≈3.030＜3.841．
所以没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关．
【解析】（1）根据中位数处在中间位置，小于中位数的数据和大于中位数的数据频率各占0.5，求解即可；
（2）根据频率分布直方图中的频率，计算强烈关注的频率进而得到强烈关注的人数，结合表中的数据即可得到其余数据，补全列联表；
（3）根据列联表中的数据计算K2的值，结合临界值表中的数据判断即可．
本题考查了独立性检验、根据频率分布直方图求估计数据的中位数、2×2列联表等知识．属于中档题．
20.【答案】（I）解：∵椭圆E经过点A（0，-1），且离心率为，
∴b=1，=，
∴c=1，a=．
∴椭圆E的方程为：+y2=1．
（II）证明：由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠2），
代入+y2=1，得（1+2k2）x2-4k（k-1）x+2k（k-2）=0．
由条件可知△＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则x1+x2=，x1x2=，
从而直线AP，AQ的斜率之和为：
k AP+k AQ=+=+=2k+（2-k）=2k+（2-k）=2k-2（k-1）=2．
所以直线AP、AQ斜率之和为定值2．
【解析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（II）把直线PQ的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．
本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．
21.【答案】解：（1）因为f（x）=x2-3x+2ln x，x＞0，
所以f′（x）=x-3+=，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，
当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1或x＞2，
当f′（x）＜0时，解得1＜x＜2，
所以其单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．
（2）若要命题成立，只需当x∈（0，2]时，f（x）max＜g（x）max．由g′（x）=（x2-2）e x，
可知，当x∈（0，2]时，g（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，2]上单调递增，
g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，
所以只需f（x）max＜0．
对函数f（x）来说，f′（x）=ax-（2a+1）+=．
①当≥2时，即 0＜a≤，函数f（x）在区间x∈（0，2]上单调递增，
所以，f（x）max=f（2）=-2a-2+2ln2＜0，
所以，a＞ln2-1 即0＜a≤，
②当0＜＜2时，即a＞，函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，2]上单
调递减，
所以f（x）max=f（）=-2ln a--2．
当a≥1时，显然小于0，满足题意；
当＜a＜1时，可令h（a）=-2ln a--2，
所以h′（a）=，
可知该函数在a∈（，1）时单调递减，h（a）＜h（）=2ln2-3＜0，满足题意，
所以a＞满足题意．
综上所述：当a＞0时，对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．
（2）另法】f（x）=ax2-（2a+1）x+2ln x=-（x-2ln x），
因为a＞0，x∈（0，2]，
所以＜0
令h（x）=x-2ln x，则h′（x）=1-=，
所以h（x）在（0，2]为单调递减，h（x）≥h（2）=2-2ln2＞0，
因此，在a＞0，x∈（0，2]时，f（x）＜0，
故当a＞0时，对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．
【解析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间；
（2）问题转化为f（x）max＜g（x）max，根据导数和函数最值的关系求出g（x）max=0，再对a进行分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可证明．
本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题和存在性的问题的处理方法，属于中档题．
22.【答案】解：（1）由圆C的方程为（x+6）2+y2=25，得x2+y2+12x+11=0，
把x2+y2=ρ2，x=ρcosθ代入，得C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0；
（2）把θ=α代入ρ2+12ρcosθ+11=0，
得ρ2+12ρcosα+11=0，则ρA+ρB=-12cosα，ρA•ρB=11．
∴|AB|=|ρA-ρB|==．
则cos2α=，∴sin2α=，，
∴tan，即l的斜率为．
【解析】（1）化圆的标准方程为一般方程，把x2+y2=ρ2，x=ρcosθ代入可得C的极坐标方程；
（2）把θ=α代入ρ2+12ρcosθ+11=0，利用根与系数的关系及弦长公式列式求得tanα得答案．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查利用极坐标方程求弦长，是中档题．
23.【答案】解：（1）当a=1时，
f（x）=5-|x+1|-|x-2|=．
当x≤-1时，f（x）=2x+4≥0，解得-2≤x≤-1，
当-1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即-1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）=-2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[-2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5-|x+a|-|x-2|≤1，
∴|x+a|+|x-2|≥4，
∴|x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x|
≥|x+a+2-x|=|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤-6或a≥2，
故a的取值范围（-∞，-6]∪[2，+∞）．
【解析】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题.
（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可；
（2）由题意可得|x+a|+|x-2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出.。