河南省平顶山市第七中学2019年高三数学文联考试题含解析

河南省平顶山市第七中学2019年高三数学文联考试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
B
由图象可知，所以函数的周期，又，所以。

所以，又，所以，即
，所以，所以，选B.
2. 已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D. 3
参考答案：
C
3. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为
A．2 B．2．3 C．3 D．3．5
参考答案：
A
略
4. 设椭圆的离心率为，右焦点为，方程
的两个实根分别为和，则点（）
A. 必在圆内
B. 必在圆上
C. 必在圆外
D. 以上三种情形都有可能
参考答案：
A
考点：椭圆的简单性质；点与圆的位置关系．
专题：计算题．
分析：由题意可求得c=a，b=a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得x12+x22的值，从而可判断点P与圆x2+y2=2的关系．
解答：解：∵椭圆离心率e==，
∴c=a，b==a，
∴ax2+bx-c=ax2+ax-a=0，
∵a≠0，
∴x2+x-=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，
∴x1+x2=-，x1x2=-，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=+1＜2．
∴点P在圆x2+y2=2的内部．
故选A．
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．
5. 函数f(x)=+(x-4)0的定义域
为（）
A． {x|x>2,x≠4} B.{x|x≥2,或x≠4} C. D.
参考答案：
C
略
6. 复数（1+i）（1﹣i）=（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，即可求出．【解答】解：（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=1+1=2，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
7. 函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（）
A．大于B．小于
C．等于D．与的大小关系无法确定
参考答案：
D
略
8. 已知R是实数集，M==（）
A．（﹣1，2）B．[一l，2] C．（0，2）D．[0，2]
参考答案：
D
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，
∴﹣1＜0，
∴＞0，
∴x（x﹣2）＞0，
解得x＜0，或x＞2，
∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），
∴?R M=[0，2]，
∵y=x2﹣1≥﹣1，
∴N=[﹣1，+∞），
∴?R M∩N=[0，2]，
故选：D．
9. 若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程
为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
10. 用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )
A．6个B．7个C．10个D．无数个
参考答案：
D
考点：棱锥的结构特征．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．
解答：解：∵正四面体是中心对称图形，
∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，
可判断这样的平面有无数个，
故选；D
点评：本题考查了常见的几何体的性质，关键是确定几何体的性质为中心对称，难度不大，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为．
参考答案：
解：设直线的方程为，联立，化为，
由题意可得△．
，．
，
，
中点的纵坐标:
．
故答案为：．
12. 已知是坐标原点，点.若点为平面区域上的一个动点，
则的取值范围是__________.
参考答案：
[0,2]
略
13. 已知关于x的方程恰好有两个不同解，其中为方程中较大的
解，则
参考答案：
-1
14. 定义函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得
，则称函数在上的“均值”为，则函数
的“均值”为________．
参考答案：
1010
【分析】
根据定义域可知，；由
在上单调递增，可知若需满足题意，则
，进而得到结果.
【详解】，即
若，则，
对于任意，存在唯一的使得且
在上单调递增
本题正确结果：
【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，关键是能够充分理解新定义的“均值”的含义，进而通过单调性可得的值，考查学生的分析和解决问题能力.
15. 现有5双不同号码的鞋，从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率
为．
参考答案：
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：由题意可得总的基本事件数为=210，恰有两只成双的取法是???=120，由概率公式可得．
解答：解：总的基本事件数为=210，
恰有两只成双的取法是???=120
∴从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率P==
故答案为：
点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合的知识，属基础题．
16. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为．
参考答案：
设，由题得
故填.
17. 已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是；
参考答案：
做出函数的图象如图，由图象可知，要使有两个不同的实根，则有，即的取值范围是.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
已知,函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）是否存在的值，使得方程有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案：
（1）当时，
所以曲线y=(x)在点处的切线的斜率为0. …………………………3分
(2)…………………………………………4分
1
当上单调递减；………………………6分2当.
.
………………8分
（3）存在，使得方程有两个不等的实数根. ………………9分
理由如下：
由（1）可知当上单调递减，
方程不可能有两个不等的实数
根；………………………11分
由（2）得，使得方程有两个不等的实数根，等价于函数的极小值，即
，解得
所以的取值范围是
………………………………14分19. .1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组，，…，，并整理得到如图频率分布直方图：
（1）估计其阅读量小于60本的人数；
（2）一只阅读量在，，内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用表示所选学生阅读量在内的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．
参考答案：
（1）（人）．
（2）由已知条件可知：
内的人数为：，
内的人数为2人，内的人数为3人，内的人数为5人．的所有可能取值为0，1,2，
，，，
所以的分布列为
．20. 已知正项数列的闪n项和为
.
求证：
参考答案：
略
21. （本小题满分13分）
已知椭圆C：经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；
（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．
参考答案：
（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………9分（Ⅲ）（方法一）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．…………………………11分
若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，
与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．
故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………13分（方法二）由（2）直线PQ的斜率为1，设其方程为
得
假设为直角，则由得………………………………11分
所以直线PQ的方程为
因为点M（-2，-1）在直线上，即点Ｐ或点Ｑ中有一点与点Ｍ重合，不符合题意．
所以不可能为直角．………………………………13分
22. 某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东方向上，且俯角为的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西方向上，且俯角为的D处。

（假设客车匀速行驶）
（1）如果此高速路段限速80公里/小时，试问该客车是否超速；
（2）又经过一段时间后，客车到达楼房B的正西方向E处，问此时客车距离楼房B多远。

参考答案：
略。