2017-2018年江西省南昌十九中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2017-2018学年江西省南昌十九中高三（上）期中数学试卷（理
科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）设集合A={x|y=log2（﹣x2+2x+3）}，B={x|＜（）x＜1}，则A∩B=（）
A．（0，3） B．（1，+∞）C．（1，3） D．（0，2）
2．（5分）“x＞1”是“”成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）
A．[1，+∞）B．（0，2]C．[1，2]D．（﹣∞，2]
4．（5分）设函数f（x）=，若f（x）为奇函数，则g（﹣）的值为（）
A．﹣ B．C．﹣2 D．2
5．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的解有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个
6．（5分）函数的图象是（）
A．B．C．
D．
7．（5分）如图，阴影部分的面积为（）
A．2 B．2﹣C．D．
8．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）
A．3 B．4 C．D．
9．（5分）已知数列{a n}满足，前n项的和为S n，关于a n，S n叙述正确的是（）
A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值
C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值
10．（5分）在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且||=||=，则•（+）的最小值为（）
A．0 B．﹣C．﹣ D．2
11．（5分）已知=（）
A．﹣B．C．﹣ D．
12．（5分）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于（）
A．B．C．D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设变量x，y满足的约束条件，则z=32x﹣y的最大值．14．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=．
15．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+），其中x∈[，m]（m∈R且m＞），若f（x）的值域是[﹣1，﹣]，则m的最大值是．
16．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则
++…+=．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．
（1）证明：A=2B；
（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．
18．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
19．（12分）在△ABC中，记∠BAC=x（角的单位是弧度制），△ABC的面积为S，且•=8，4≤S≤4．
（1）求x的取值范围；
（2）根据（1）中x的取值范围，求函数f（x）=2sin2（x+）+2cos2x﹣的最大值和最小值．
20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4=24，S7=63．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=2an+（﹣1）n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．
21．（12分）设，g（x）=x3﹣x2﹣3；
（1）如果存在x1，x2∈[0，3]使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对于任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=+lnx﹣2，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，m）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数f （x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在（0，e2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
2017-2018学年江西省南昌十九中高三（上）期中数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）设集合A={x|y=log2（﹣x2+2x+3）}，B={x|＜（）x＜1}，则A∩B=（）
A．（0，3） B．（1，+∞）C．（1，3） D．（0，2）
【解答】解：集合A={x|y=log2（﹣x2+2x+3）}={x|﹣x2+2x+3＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|＜（）x＜1}={x|0＜x＜2}，
则A∩B={x|0＜x＜2}=（0，2），
故选：D．
2．（5分）“x＞1”是“”成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，
若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，
即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）
A．[1，+∞）B．（0，2]C．[1，2]D．（﹣∞，2]
【解答】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．
所以当x=1时，函数的最小值为2．
当x=0时，f（0）=3．
由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．故选：C．
4．（5分）设函数f（x）=，若f（x）为奇函数，则g（﹣）的值为（）
A．﹣ B．C．﹣2 D．2
【解答】解：g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣log2=log24=2，
故选：D．
5．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的解有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个
【解答】解：解：由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，
又函数为偶函数且当x∈[0，1]时，f（x）=x，
故可作出函数f（x）得图象．
∴方程f（x）=log3|x|的解个数等价于f（x）与y=log3|x|图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程f（x）=log3|x|的解个数为4，
故选：C．
6．（5分）函数的图象是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：函数，可得x，可得x＞1或﹣1＜x＜0，
排除选项A，D；
当x＞1时，y=x﹣是增函数，由复合函数的单调性可知，函数，x＞1是增函数，
排除C，
故选：B．
7．（5分）如图，阴影部分的面积为（）
A．2 B．2﹣C．D．
【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx
=（3x﹣x3﹣x2）|=（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）=，
故选：C．
8．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）
A．3 B．4 C．D．
【解答】解：考察基本不等式，
整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0
即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4
故选：B．
9．（5分）已知数列{a n}满足，前n项的和为S n，关于a n，S n叙述正确的是（）
A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值
C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值
【解答】解：①∵，∴当n≤5时，a n＜0且单调递减；当n≥6时，
a n＞0，且单调递减．故当n=5时，a5=﹣3为最小值；
②由①的分析可知：当n≤5时，a n＜0；当n≥6时，a n＞0．故可得S5最小．综上可知：．a n，S n都有最小值．
故选：A．
10．（5分）在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且||=||=，则•（+）的最小值为（）
A．0 B．﹣C．﹣ D．2
【解答】解：由足⊥，||=||=，
∴△ABC为等腰直角三角形，
以A为原点，AB，AC为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A（0，0），B（，0），C（0，），M（，）
∵M是BC的中点，O是线段AM上任意一点，
∴可设O（x，x），0≤x≤，
∴（x﹣，x），=（x，x﹣），
∴+=（2x﹣，2x﹣）
∴•（+）=（x，x）（2x﹣，2x﹣）=4x2﹣x=4（x﹣）2﹣，故当x=时，•（+）的最小值为﹣，
故选：C．
11．（5分）已知=（）
A．﹣B．C．﹣ D．
【解答】解：∵sin（a+）﹣cosa=sina•+cosa•﹣cosa=sin（a﹣）=，故cos（2a﹣）=1﹣2=1﹣2×=，
故选：D．
12．（5分）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于（）
A．B．C．D．1
【解答】解：以O为原点，以OD所在直线为x轴建立直角坐标系，
设点P（x，y），∵=α+β，
则（x，y）=α（0，1）+β（3，0）=（3β，α）．
所以，
α+β=x+y．
由于点P在△BCD内（包含边界），目标函数为α+β=x+y，如图所示，
当点P为点B（1，1）时，α+β=x+y取得最大值，其最大值为+1=，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设变量x，y满足的约束条件，则z=32x﹣y的最大值9．
【解答】解：设m=2x﹣y，得y=2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣m，由平移可知当直线y=2x﹣m，
经过点C时，直线y=2x﹣m的截距最小，此时m取得最大值，
由，解得，即C（1，0）．
将C的坐标代入m=2x﹣y，得m=2，
此时z=32x﹣y的最大值z=32=9，
即目标函数z=32x﹣y的最大值是9．
故答案为：9．
14．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=．
【解答】解：设等差数列首项为a，公差为d，
∴s3=3a+3d
s6=6a+15d
s7=7a+21d
∵，
∴
∴a=2d
∴==
故答案为：
15．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+），其中x∈[，m]（m∈R且m＞），
若f（x）的值域是[﹣1，﹣]，则m的最大值是．
【解答】解：函数f（x）=cos（3x+），
当x=，可得f（）=，则x∈[，m]的值一定取得最小值﹣1，且f （m）．
对称轴方程：3x=π+2kπ，
∴x=，k∈Z，
当k=0时，对称轴x=，
那么：=，
解得：m=，
故答案为：．
16．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则
++…+=2n2+6n．
【解答】解：令n=1，得=4，∴a 1=16．
当n≥2时，
++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．
与已知式相减，得
=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，
∴a n=4（n+1）2，n=1时，a1适合a n．
∴a n=4（n+1）2，
∴=4n+4，
∴++…+==2n2+6n．
故答案为2n2+6n
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．
（1）证明：A=2B；
（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．
【解答】解：由a=2bcosB，b≠c．
正弦定理化简，可得sinA=sin2B
可得：A=2B或A=π﹣2B．
∵A+B+C=π，
若A=π﹣2B．
那么：2B+A=π，
∴B=C，
即b=c．与题干矛盾．
∴A=2B；
（2）由a2+c2=b2+2acsinC，
余弦定理：2ac•cosB=a2+c2﹣b2=2ac•sinC，
即cosB=sinC．
∴C=
﹣B或C=
+B，
①当C=
﹣B时，则A=
，B=C=
，
这与“b≠c”矛盾，∴A≠
；
②当C=
+B时，由（1）得A=2B，
∴A+B+C=A+2B+
=2A+
=π，
∴A=
．
18．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（I）由S n=2a n﹣a1，
=2a n﹣1﹣a1，
当n≥2时，S n
﹣1
∴a n=2a n﹣2a n﹣1，
化为a n=2a n﹣1．
由a1，a2+1，a3成等差数列．
∴2（a2+1）=a1+a3，
∴2（2a1+1）=a1+4a1，
解得a1=2．
∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a n=2n．
=2n+1，S n==2n+1﹣2，S n+1=2n+2﹣2．
（II）a n
+1
b n===．
∴数列{b n}的前n项和T n=++…+
=．
19．（12分）在△ABC中，记∠BAC=x（角的单位是弧度制），△ABC的面积为S，且•=8，4≤S≤4．
（1）求x的取值范围；
（2）根据（1）中x的取值范围，求函数f（x）=2sin2（x+）+2cos2x﹣的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵，，
又，
∴bccosx=8，S=4tanx，即．（4分）
∴所求的x的取值范围是．（7分）
（2）∵，（9分）
∴，．（11分）
∴．（14分）
20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4=24，S7=63．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=2an+（﹣1）n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，
由已知得：a1=3，d=2，
∴a n=2n+1…（6分）
（2）由（1）知：a n=2n+1，a1=3
当n为偶数时，T n=b1+b2+…+b n
=
==…（9分）
当n为奇数时，
=…（11分）
…（12分）
21．（12分）设，g（x）=x3﹣x2﹣3；
（1）如果存在x1，x2∈[0，3]使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对于任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取
值范围．
【解答】解：（1）g′（x）=3x2﹣2x=3x（x﹣）．
可得函数g（x）在上单调递减；在上单调递增，
∴x=时，函数g（x）取得极小值即最小值，∴g（x）min==﹣．
又g（0）=﹣3，g（3）=15．∴g（x）max=15．
∵存在x1，x2∈[0，3]使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，∴g（x）max﹣g（x）min ≥M，可得M≤18+．
∴满足上述条件的最大整数M为18．
（2）对于任意的，都有f（s）≥g（t）成立，⇔f（x）min≥g（x）
．
max
由（1）可得：函数g（x）在上单调递减，在上单调递增．而
=﹣，g（2）=1，
∴g（x）max=1．
∴+xlnx≥1在x∈内恒成立．
∴a≥x﹣x2lnx恒成立，x∈．
令h（x）=x﹣x2lnx，h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h″（x）=﹣2lnx﹣3，
h″（x）在x∈时单调递减，∴h″（x）≤﹣﹣3=2ln2﹣3＜0，
而h′（2）=1﹣4ln2﹣2＜0，=+ln2＞0．而h′（x）在x∈时单调递减，h′（1）=0．
∴h′（x）存在唯一零点1∈，
可得函数h（x）在上单调递增，在（1，2]上单调递减．
∴x=1时，函数h（x）取得极大值即的最大值，h（1）=1．
∴a≥1．
因此实数a的求值范围是[1，+∞）．
22．（12分）已知函数f（x）=+lnx﹣2，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，m）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数f （x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在（0，e2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵f（x）=+lnx﹣2，（x＞0），
f′（x）=+，（x＞0），
又曲线y=f（x）在点P（2，m）处的曲线平行于直线y=﹣x+1，
∴f′（2）=﹣a+=﹣，解得：a=8，
∴f′（x）=+=，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞8，故f（x）在（8，+∞）递增，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜8，故f（x）在（0，8）递减，
故f（x）的递增区间是（8，+∞），递减区间是（0，8）；
（2）由f（x）=+lnx﹣2，求导f′（x）=﹣+=，（x＞0），
（i）当a≤0，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，e2]上单调递增，无最小值，不满足题意．
（ii）当a＞0，令f′（x）=0，得x=a，
∴当f′（x）＞0时，x＞a，当f′（x）＜0时，x＜a，
∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
若a＞e2，则函数f（x）在（0，e2]上的最小值f（x）min=f（e2]=+lne2﹣2=，由=2，解得：a=2e2，满足a＞e2，符合题意；
若0＜a≤e2，则函数f（x）在（0，e2]上的最小值f（x）min=f（a）=+lna﹣2=lna ﹣1，
由lna﹣1=2，解得：a=e3，不满足0＜a≤e2，不符合题意，舍去．
综上可知，存在实数a=2e2，使函数f（x）在（0，e2]上有最小值2．。