【名师精编】北京市平谷区2017-2018学年八年级上期末考试数学试卷(有答案)

2017-2018学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题
意的.
1．9的算术平方根是（）
A．﹣3B．3C．±3D．81
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）
A．B．
C．D．
4．下列各式中，正确的是（）
A．B．
C．D．
5．如图，△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，则下图中共有几对全等三角形（）
A．2B．3C．4D．5
6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）
A．B．C．D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边中点，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（）
A．2B．C．D．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．使有意义的的取值范围是．
10．等腰三角形的两边长为3，7，则其腰长为．
11．如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为．
12．计算：=．
13．如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC．
14．若分式的值为0，则=．
15．如图，△A1OM是腰长为1的等腰直角三角形，以A1M为一边，作A1A2⊥A1M，且A1A2=1，连接A2M，再以A2M为一边，作A2A3⊥A2M，且A2A3=1，则A1M=，照此规律操作下去…则A n M=．
16．阅读下面材料：
数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．
（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．
（3）两弧分别交于点P和点M
（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是．
三、解答题（共10个题，共50分，每小题5分）
17．计算：﹣（+2）．
18．计算：﹣（π﹣2017）0+|1﹣|+．
19．计算：．
20．已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC∥BD，AB=BD，∠ABC=∠D．求证：AC=BE．
21．计算：．
22．解分式方程：﹣=1．
23．已知：a2+3a﹣2=0，求代数的值．
24．若，求的值．
25．随着几何部分的学习，小鹏对几何产生了浓厚的兴趣，他最喜欢利用手中的工具画图了．如图，作一个∠AOB，以O为圆心任意长为半径画弧分别交OA，OB于点C和点D，将一副三角板如图所示摆放，两个直角三角板的直角顶点分别落在点C和点D，直角边中分别有一边与角的两边重合，另两条直角边相交于点P，连接OP．小鹏通过观察和推理，得出结论：OP平分∠AOB．
你同意小鹏的观点吗？如果你同意小鹏的观点，试结合题意写出已知和求证，并证明．
已知：∠AOB中，=，⊥，⊥．
求证：OP平分∠AOB．
26．列方程解应用题：
为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小敏经过一段时间的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原读3500字的文章所用的时间相同．求小敏原每分钟阅读的字数．
四、解答题（本题共18分，其中第27题6分，28题5分，29题7分）
27．边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上．
（1）猜想△ABC的形状，并证明；
（2）直接写出△ABC的面积=；
（3）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
28．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，
例如：，．
（1）仿照以上方法计算：=；=．
（2）若，写出满足题意的的整数值．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次
，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．29．在△ABC中，AB=AC，以BC为边作等边△BDC，连接AD．
（1）如图1，直接写出∠ADB的度数；
（2）如图2，作∠ABM=60°在BM上截取BE，使BE=BA，连接CE，判断CE与AD的数量关系，请补全图形，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，AE．若∠DEC=60°，DE=2，求AE的长．
2017-2018学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题
意的.
1．9的算术平方根是（）
A．﹣3B．3C．±3D．81
【分析】如果一个非负数的平方等于a，那么是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称的定义．
3．用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．4．下列各式中，正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵，故选项A错误，
∵当≠0时，，故选项B错误，
∵，故选项C正确，
∵不能化简，故选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简．5．如图，△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，则下图中共有几对全等三角形（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】首先证明△ACD≌△ABE可得AD=AE，DC=BE，根据等式的性质可得AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=CE；再证明△EBC≌△DCB，△EOC≌△DOB即可．
【解答】解：△ACD≌△ABE，△EBC≌△DCB，△EOC≌△DOB，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ABE，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA）；
∴AD=AE，DC=BE，
∴AB﹣AD=AC﹣AE，
即BD=CE，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SSS），
在△EOB和△DOC中，
，
∴△EOB≌△DOC（AAS）．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】先把各选项中的二次根式化简，然后根据同类二次根式的定义进行判断．
【解答】解：=2，=2，=2，=3，
所以与是同类二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）
A．B．C．D．
【分析】先求出袋子中总的球数，再用红球的个数除以总的球数即可．
【解答】解：∵袋子中装有3个白球和5个红球，共有8个球，从中随机摸出一个球是红球的可能结果有5种，
∴从袋子中随机摸出一个球是红球的可能性，即概率是，
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边中点，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（）
A．2B．C．D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠A=15°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D为AB边中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=15°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=30°，
∵∠C=90°，
∴BE=AE=2BC=2，CE=BC=，
∴AC=AE+CE=2+，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练
掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．使有意义的的取值范围是≥1．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴﹣1≥0，解得≥1．
故答案为：≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
10．等腰三角形的两边长为3，7，则其腰长为7．
【分析】分两种情况：①腰是7时，②腰是3时，根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形后，即可求出答案．
【解答】解：①当腰是7时，三边是7、7、3，
腰是7；
②当腰是3时，三边是7、3、3，但3+3＜7，根据三角形三边关系定理不能组成三角形．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．
11．如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为
．
【分析】由小正方形的边长可求出小正方形的面积，因为剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为2，进而求出大正方形的边长．
【解答】解：∵两个正方形的边长都是1，
∴两个小正方形的面积都为1，
∴剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为2，
∴此大正方形的边长为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和．
12．计算：=﹣．
【分析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了分式的乘方，熟练掌握乘方法则是解本题的关键．
13．如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件∠A=∠E（或∠B=∠D），使得△ABC≌△DEC．
【分析】依据AB=DE，∠ACB=∠ECD，可得当∠A=∠E（或∠B=∠D）时，△ABC≌△DEC．【解答】解：∵AB=DE，∠ACB=∠ECD，
∴当∠A=∠E（或∠B=∠D）时，依据AAS可得，△ABC≌△DEC．
故答案为：∠A=∠E（或∠B=∠D）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
14．若分式的值为0，则=2．
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，解得=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
15．如图，△A1OM是腰长为1的等腰直角三角形，以A1M为一边，作A1A2⊥A1M，且A1A2=1，
连接A2M，再以A2M为一边，作A2A3⊥A2M，且A2A3=1，则A1M=，照此规律操
作下去…则A n M=．
【分析】根据勾股定理，探究规律，利用规律即可解决问题．
【解答】解：根据勾股定理可得：A1M==，
A2M==，
A3M==，
A4M==，
…，
A n M=
故答案为；
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、规律型图形变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会探究规律、利用规律解决问题．
16．阅读下面材料：
数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．
（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．
（3）两弧分别交于点P和点M
（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确
定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一．
【分析】根据SSS可以证明△ABP≌△ABM，利用等腰三角形的三线合一即可判断．（理由不唯一）
【解答】解：∵AP=AM，BP=BM，AB=AB，
∴△ABP≌△ABM，
∴∠BAP=∠BAM，
∵AP=AM，
∴AQ⊥PM．
故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题用到的知识点比较多，答案不唯一．
三、解答题（共10个题，共50分，每小题5分）
17．计算：﹣（+2）．
【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=2﹣2﹣2
=﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．计算：﹣（π﹣2017）0+|1﹣|+．
【分析】直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=3﹣1+﹣1+3
=4+1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．计算：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=
=
=
=
=
=
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC∥BD，AB=BD，∠ABC=∠D．求证：AC=BE．
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．
【解答】证明：∵AC∥BD
∴∠BAC=∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE（ASA）
∴AC=BE．
【点评】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
21．计算：．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式=5﹣2+3﹣2+1
=7﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．解分式方程：﹣=1．
【分析】根据解分式方程的步骤解出方程．
【解答】解：方程两边同乘（+2）（﹣2），
得，（+2）﹣1=（+2）（﹣2）
整理得，2+2﹣1=2﹣4，
解得，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根是．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
23．已知：a2+3a﹣2=0，求代数的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由题意得出a2+3a=2，代入即可得．
【解答】解：原式=
=
=
=；
∵a2+3a﹣2=0，
∴a2+3a=2，
∴原式=．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
24．若，求的值．
【分析】变形已知为a+b=n的形式，然后整体代入得结果
【解答】解：∵
∴=3，即b+a=3ab
因为
=
=
=
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是利用整体代入．
25．随着几何部分的学习，小鹏对几何产生了浓厚的兴趣，他最喜欢利用手中的工具画图了．如图，作一个∠AOB，以O为圆心任意长为半径画弧分别交OA，OB于点C和点D，将一副三角板如图所示摆放，两个直角三角板的直角顶点分别落在点C和点D，直角边中分别有一边与角的两边重合，另两条直角边相交于点P，连接OP．小鹏通过观察和推理，得出结论：OP平分∠AOB．
你同意小鹏的观点吗？如果你同意小鹏的观点，试结合题意写出已知和求证，并证明．
已知：∠AOB中，OC=OD，PC⊥OA，PD⊥OB．
求证：OP平分∠AOB．
【分析】由尺规作图和直角三角板的摆放可补全已知部分，再根据直角三角形的判定求解可得．
【解答】解：已知：∠AOB中，OC=OD，PC⊥OA，PD⊥OB．
求证：OP平分∠AOB．
证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO中，
∵
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠COP=∠POD，
∴OP平分∠AOB．
故答案为：OC，OD，PC，OA，PD，OB．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握尺规作图和全等三角形的判定与性质．
26．列方程解应用题：
为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小敏经过一段时间的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原读3500字的文章所用的时间相同．求小敏原每分钟阅读的字数．
【分析】设小敏原每分钟阅读的字数是字，根据现在读9100字的文章与原读3500字的文章所用的时间相同，可列方程求解．
【解答】解：设小敏原每分钟阅读的字数是字，
可得：=，
解得：=500，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小敏原每分钟阅读500个字．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键根据现在读9100字的文章与原读3500字的文章所用的时间相同．以时间做为等量关系列方程求解．
四、解答题（本题共18分，其中第27题6分，28题5分，29题7分）
27．边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上．
（1）猜想△ABC的形状等腰直角三角形，并证明；
（2）直接写出△ABC的面积=5；
（3）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定即可得；
（2）利用直角三角形的面积公式可得；
（3）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，再顺次连接可得．
【解答】解：（1）等腰直角三角形，
由图可求：AB=，AC=，BC=，
∵AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）△ABC的面积=AB•AC=××=5，
故答案为：5；
（3）如图所示，△A1B1C1即为所求；
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理、等腰三角形的判定及轴对称的定义和性质．
28．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，
例如：，．
（1）仿照以上方法计算：=2；=5．
（2）若，写出满足题意的的整数值1，2，3．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次
，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，3次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知＜4，可得满足题意的的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵22=4，52=25，62=36，
∴5＜＜6，
∴=[2]=2，[]=5，
故答案为：2，5；
（2）∵12=1，22=4，且，
∴=1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]=10，
第二次：[]=3，
第三次：[]=1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
29．在△ABC中，AB=AC，以BC为边作等边△BDC，连接AD．
（1）如图1，直接写出∠ADB的度数150°；
（2）如图2，作∠ABM=60°在BM上截取BE，使BE=BA，连接CE，判断CE与AD的数量关系，请补全图形，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，AE．若∠DEC=60°，DE=2，求AE的长．
【分析】（1）只要证明△ADB≌△ADC，可得∠ADB=∠ADC，由此即可解决问题；
（2）结论：CE=AD．只要证明△ABD≌△EBC即可解决问题；
（3）只要证明△BDE是直角三角形，△ABE是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
∵△BDC是等边三角形，
∴BD=DC，∠BDC=60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=360°﹣60°，
∴∠ADB=150°，
故答案为150°．
（2）结论：CE=AD．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°
∴∠ABE﹣∠DBM=∠DBC﹣∠DBM ∴∠1=∠2，
∵AB=BE，BD=DC
∴△ABD≌△EBC
∴CE=AD．
（3）解：
∵△ABD≌△EBC
∴∠BCE=∠BDA=150°
∵∠DCE=90°，∠DEC=60°
∴∠CDE=30°
∵DE=2
∴CE=1，DC=BC=，
∵∠BDE=60°+30°=90°
DE=2，BD=
由勾股BE=，
∵∠ABE=60°AB=BE
∴△ABE是等边三角形
∴AE=BE=．
【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．。