河南省商丘市部分学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)

河南省商丘市部分学校2022-2023学年九年级上学期期中数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．观察下列图形，是中心对称图形的是()
A ．
B ．
C ．
D ．2．下列各式是一元二次方程的是（
）A ．2230x x -=B ．()2223123x x x +=++C ．230
y y -=D ．235
x y +=3．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是（）
A ．()213x -=
B ．()214x -=
C ．()215x -=
D ．()213x +=4．如图，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB C ''，则△AB B '是（）三角形．
A ．锐角三角形
B ．正三角形
C ．Rt 三角形
D ．钝角三角形
5．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠AOC=140°，点B 是弧AC 的中点，则∠D 的度数是（）
A ．70°
B ．55°
C ．35.5°
D ．35°
6．如图，在平面直角坐标系中，将点()4,3P 绕原点O 逆时针旋转90°得到点P '，则P '
的坐标为（）
A ．()3,4-
B ．()3,4-
C ．()4,3-
D ．()
3,4--7．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）
A ．321y y y >>
B ．312y y y >=
C ．123
y y y >>D ．123y y y =>8．一元二次方程4x 2﹣2x ﹣1＝0的根的情况为(
)A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
9．如图，
P 是正方形ABCD 内一点，135APB ∠=︒，1BP =，AP =PC 的长为（）
A ．2B
C D ．3
10．如图，一段抛物线y ＝﹣x 2+6x （0≤x ≤6），记为抛物线C 1，它与x 轴交于点O 、A 1；将抛物线C 1绕点A 1旋转180°得抛物线C 2，交x 轴于点A 2；将抛物线C 2绕点A 2，旋转180°得抛物线C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M (18，m )在此“波浪线”上，则m 的值为（）
A ．﹣6
B ．5
C ．﹣4
D ．0
11．若1x =是方程220x mx m -+=的一个根，则m =____．
12．写一个满足下列条件的函数：当1x <-时，y 随x 的增大而减小，且当1x >-时，y 随x 的增大而增大，则该函数的解析式可以为______．
13．平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒，得到平行四边形AB C D '''（点B '与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点，点D ¢与点D 是对应点），点B '恰好落在BC 边上，B C ''与CD 交于点E ，则CEB '∠的度数为_______．
14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在小正方形的顶点上，且弦BG 上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为_____________．
15．已知抛物线()2
14y x =--的图象如图①所示，现将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y x b =+与图象②恰有三个公共点时，则b 的值为________．
16．解下列一元二次方程：
(1)()2346
x x x +=+(2)2221
x x -+=-17．已知二次函数2142
y x x =-+回答下列问题：（1）用配方法将其化成()2y a x h k =-+的形式．
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）
18．已知关于x 的一元二次方程x 2-(k +2)x +k -1=0
（1）若方程的一个根为-1，求k 的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，OAB 的顶点均在格点上，点A 的坐标(1,2)，点B 的坐标(2,1)．
（1）画出OAB 关于原点O 对称的11OA B （A ，B 的对称点分别为1A ，1B ）．
（2）画出OAB 关于原点O 按逆时针方向旋转90°所得的22OA B △（A ，B 的对应点分别为2A ，2B ），并写出2A ，2B 的坐标．
（3）若将点1A 向上平移h 个单位，使其落在22OA B △的内部，请直接写出h 的取值范围．
20．如图，在ABC ∆中AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 交于点D ，过点D 作O 的切线交AC 于点E ．
(1)求证：ABD ADE ∠=∠；
(2)若O 3AD =，求CE 的长．21．某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件．
(1)若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
(2)若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多少元？
22．把两个等腰直角ABC 和ADE V 按图1所示的位置摆放，将ADE V 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD EC ，，设旋转角为α0α360<< （）．
(1)如图1，BD 与EC 的数量关系是______，BD 与EC 的位置关系是______；
(2)如图2，
（1）中BD 与EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由；
(3)如图3，当点D 在线段BE 上时，BEC ∠=______；
(4)当旋转角α=______时，ABD △的面积最大．
23．如图，已知抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
参考答案：
1．D
【详解】解：将D 选项中的图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合，所以这个图形就是中心对称图形.
故选：D ．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项进行判断即可得．
【详解】解：A 、2x
不是整式，选项不是一元二次方程；B 、()2223123x x x +=++，化简为62x =，选项不是一元二次方程；
C 、是一元二次方程；
D 、含有两个未知数且次数均为1，为二元一次方程，不是一元二次方程；
故选：C ．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的定义，准确理解其定义是解题关键．
3．C
【分析】把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．
【详解】解：把方程x 2-2x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x 2-2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2-2x+1=4+1，
配方得（x-1）2=5．
故选C ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．B
【分析】由旋转的性质可得AB AB '=，=60BAB ' ∠，即可判断△AB B '是正三角形．
【详解】解：∵△ABC 旋转得△AB ′C ′，
∴AB ＝AB ′，
∵旋转角是60°，
∴∠BAB′＝60°，
∴△ABB′是等边三角形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定及旋转的性质的理解及运用．5．D
【分析】连接OB，由圆周角定理与推论易知答案.
【详解】连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴∠AOB=1
2
∠AOC=70°，由圆周角定理得，
∠D=1
2
∠AOB=35°
故答案选：D.
【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理与推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与推论.
6．A
【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．
【详解】解：如图，点(3,4)
P'-．
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，学会利用图象法解决问题是解题的关键．
7．D
【详解】∵22y x x c =-++，
∴对称轴为x =1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，
∴23y y >，
根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，
故选：D ．
8．B
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【详解】∵△＝(﹣2)2﹣4×4×(﹣1)＝20＞0，
∴一元二次方程4x 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根.
故选B .
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握运算法则
9．D
【分析】把△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP '，根据旋转的性质可得AP '＝PC ，BP '＝BP ，△PBP '是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP '，然后求出∠APP '＝90°，再利用勾股定理列式计算求出P 'A ，从而得解．
【详解】解：如图，把△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP '（点C 的对应点C '与点A 重合），
∴AP '＝PC ，BP '＝BP ＝1，
∴△PBP '是等腰直角三角形，
∴∠P
'PB ＝45°，PP '，
∵∠APB ＝135°，
∴∠APP '＝∠APB −∠P 'PB ＝135°−45°＝90°，
在Rt △APP '中，AP '3=，
∴PC ＝AP '＝3，
故选D ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及正方形的性质的综合运用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
10．D
【分析】根据26(06)y x x x =-+
可以得到：整个函数图象每隔6212⨯=个单位长度，函数值就相等，而181216=⨯+，由此即可计算．
【详解】解：26(6)(06)y x x x x x =-+=--
，1(6,0)A ∴，
∴整个函数图象每隔6212⨯=个单位长度，函数值就相等，
181216=⨯+ ，
所以m 的值等于6x =时的纵坐标，
所以6(66)0m =-⨯-=．
故选：D ．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，解题的关键是在于能根据函数图象发现规律：m 的值等于5x =时的纵坐标．
11．1
-【分析】把1x =代入方程，得到关于m 的方程即可．
【详解】解：把x =1代入方程220x mx m -+=，
得120m m -+=，
解得1m =-．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义．熟练掌握方程解的含义是解答本题的关键.
12．()2
1y x =+，答案不唯一【分析】根据题意，当1x <-时，y 随x 的增大而减小，且当1x >-时，y 随x 的增大而增大，学过的知识里二次函数满足题意，故写出以1x =-对称轴，开口向上的二次函数解析式即可
【详解】依题意，当1x <-时，y 随x 的增大而减小，且当1x >-时，y 随x 的增大而增大，则该函数的解析式可以为()2
1y x =+，答案不唯一
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．13．45︒##45度
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得EB C '∠和C ∠的度数，然后根据三角形内角和定理可求得CEB '∠的度数．
【详解】解： 平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒，得到平行四边形AB C D '''，点B '恰好落在BC 边上，B C ''与CD 交于点E ，
30,BAB AB AB ''∴∠=︒=，B AB C ''∠=∠，
75B AB B '∴∠=∠=︒，
75AB C B ''∴∠=∠=︒，
18075230EB C '∴∠=-︒⨯=︒，
平行四边形ABCD ，
AB CD ∴∥，
180105C B ∴∠=︒-∠=︒，
1801801053045CEB C EB C ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
故答案为：45︒．
【点睛】此题考查了旋转的性质、平行四边形的性质和三角形内角和定理，熟练运用相关性质和定理求得EB C '∠和C ∠的度数是解此题的关键．
14．2525168
π-【分析】连接BE 、CF 交于点O ，连接OG ，由圆周角定理可得BE ，CF 是圆的直径，O 为圆的圆心，由勾股定理可得圆的半径为
52，由∠CBM =45°可得扇形圆心角为90°，再由阴影面积=扇形COG 面积-△COG 面积计算求值即可；
【详解】解：如图，连接BE 、CF 交于点O ，连接OG ，设BG 、CE 交于格点M ，
B 、
C 、E 、F 均在小正方形的顶点上，则ECBF 是矩形，
∵∠BCE =90°，∠CBF =90°，
∴BE ，CF 是圆的直径，O 为圆的圆心，
BC =3，BF =4，则FC
，圆的半径为52
，
∵BC =CM =3，∠BCM =90°，
∴∠CBM =45°，即∠CBG =45°，
∴∠COG =90°，
∴阴影面积=扇形COG 面积-△COG 面积=2
9053602π︒⎛⎫⨯⨯ ⎪︒⎝⎭-12OC •OG =2525168
π-，故答案为：
2525168π-；
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算等知识；正确作出辅助线是解题关键．
15．134
或1【分析】先求出翻折部分的解析式，利用数形结合找出当y =x +b 经过点A 或者y =x +b 与y =-x 2+2x +3相切时，直线y =x +b 与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y =x +b 经过点A （-1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b 值；②当y =x +b 与y =-x 2+2x +3相切时，将一次函数解析式代入抛物线解析式中，利用根的判别式Δ=0，即可求出b 值．综上即可得出结论
【详解】解：将抛物线()2
14y x =--=x 2-2x -3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，则翻折上来的部分解析式为y =-x 2+2x +3．
∵直线y =x +b 平行于y =x ，
∴当y =x +b 经过点A 或者y =x +b 与y =-x 2+2x +3相切时，直线y =x +b 与新图象恰好有三个不同的交点．
①当直线y =x +b 经过点A （-1，0）时，0=-1+b ，
∴b =1；
②当y =x +b 与y =-x 2+2x +3相切时，
223y x b y x x +⎧⎨-++⎩
＝＝只有一组公共解，即方程x 2-x +b -3=0中判别式等于0，
∴△=（-1）2-4（b -3）=0，
∴b =134
．综上，b =1或b =
134．故答案为：134
或1【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y =x +m 有三个不同公共点的条件是解题的关键．
16．(1)123,22
x x =-=
(2)12x x ==【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【详解】（1）解：()2346
x x x +=+移项得，(23)2(23)0x x x +-+=，
分解因式得，(23)(2)0x x +-=，
所以，230x +=或20x -=，解得，123,22
x x =-=；（2）解：2221
x x -+=-
整理得，22210,
x x -++=这里2,2,1,
a b c =-==48120,
∆=+=> 2
4
x -±∴=-
∴12x x =
=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程----因式分解法、公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
17．（1）()217124y x =-+，（2）顶点坐标为71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称轴1x =，（3）二次函数图像开口向上，当1x <时，函数为减函数，y 随x 增大而减小，当1x >时，函数为增函数，y 随x 增大而增大，
【分析】（1）用配方法整理即可；
（2）根据顶点式解析式写出顶点坐标与对称轴即可．
（3）利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）()()222111174214122224
y x x x x x =-+=-++-=-+，（2）由（1）可得顶点坐标为71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称轴1x =，（3）①二次函数图像开口向上，②当1x <时，函数为减函数，y 随x 增大而减小，③当1x >时，函数为增函数，y 随x 增大而增大．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系及二次函数的性质，解题关键是掌握对称轴方程及判断函数的增减性．
18．（1）k =-1，另一根为x =2；(2)见解析．
【分析】（1）把x =-1代入方程可求得k 的值，再解方程可求得另一根；
（2）由方程根的情况可得到关于m 的不等式，可求得m 的取值范围．
【详解】解：（1）把x =-1代入方程可得1+（k +2）+k -1=0，
解得k =-1，
当k =-1时，原方程为x 2-x -2=0，
解得x 1=-1，x 2=2，
即k 的值为-1，方程的另一根为2；
（2）∵a =1，b =-（k +2），c =k -1，
∴△=b 2-4ac =[-（k +2）]2-4×1×（k -1）=k 2+8＞0，
∴不论k 为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析，2(2,1)A -、2(1,2)B -；（3）2.54
h <<【分析】（1）先描出A ，B 关于原点对称点1A ，1B ，再连接即可得到11OA B ；
（2）先描出A ，B 关原点O 按逆时针方向旋转90°所对应的2A ，2B ，再连接即可；
（3）结合所画图象即可得出．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
由图可得：2(2,1)A -、2(1,2)B -；
（3）点1A 向上平移h 个单位，使其落在22OA B △的内部，由图：
当2.54h <<，会使得点1A 落在22OA B △的内部．
【点睛】本题考查了中心对称、图形的旋转、平移，解题的关键是掌握图形旋转、平移的特征．
20．(1)证明见详解；
(2)13
．【分析】（1）连接OD ，利用圆周角定理得90ADB ∠=︒，再利用等腰三角形性质得BD CD =，AD 平分BAC ∠，然后用三角形中位线定理得OD AC ∥，利用切线得OD DE ⊥，然后利用等角的余角相等得出结论；
（2）先利用勾股定理求出CD ，再利用三角形面积公式求出DE ，再用勾股定理可计算出CE ．
【详解】（1）证明：连接OD ，如图，
AB 是直径，
90ADB ∴∠=︒，
AB AC = ，
,BD CD AD ∴=平分BAC ∠，
AO BO = ，
DO ∴为ABC ∆的中位线，
OD AC ∴∥，
DE 为切线，
OD DE ∴⊥，
DE AC ∴⊥，
90ABD BAD ∠+∠=︒ ，90ADE DAE ∠+∠=︒，
而BAD DAE ∠=∠，
ABD ADE ∴∠=∠；
（2）解： O 的半径为2
，3AD =，AC AB ∴==，
2CD ∴===，
1122ADC S DE AC AD CD ∆=
⋅=⋅ ，
AD CD DE AC ⋅∴==，
13CE ∴==
．【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质进行推理论证计算是解题的关键．
21．(1)每件玩具的售价为80元；(2)售价为85元时，商店平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元．
【分析】(1)根据题意，可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：(1)设每件玩具的售价为x 元，
(x ﹣60)[20+105
(100﹣x )]＝1200，解得：x 1＝90，x 2＝80，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x ＝80，
答：每件玩具的售价为80元；
(2)设每件玩具的售价为a 元时，利润为w 元，
w ＝(a ﹣60)[20+2(100﹣a )]＝﹣2(a ﹣85)2+1250，
∵﹣2＜0
∴w 有最大值
即当a ＝85时，w 有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元．
【点睛】此题考查的是一元二次方程和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
22．(1)BD EC BD EC
=⊥；
(2)成立，理由见解析
(3)90︒
(4)90︒或270︒
【分析】（1）由AB AC AD AE ==，，则AB AD AC AE -=-，可得答案；
（2）利用“边角边”证明ABD ACE ≅ ，得BD EC =，作BD 的延长线交EC 于点F ，交AC 于点G ，由全等知ABD ACE ∠=∠，又AGB FGC ∠=∠，则90GAB GFC ∠=∠=︒，从而证明；（3）由BAD CAE ≌△△，得180135ADB AEC ADE ∠=∠=︒-∠=︒，则
451354590BEC AEC ∠=∠-︒=︒-︒=︒；
（4）点D 的轨迹是以A 为圆心AD 为半径的圆，在ABD △中，当AB 为底时，点D 到AB 的距离最大时，ABD △的面积最大，从而得出答案．
【详解】（1）∵AB AC AD AE ==，，
∴AB AD AC AE -=-，
∴BD EC =；
∵AB AC ⊥，点D E ，分别在AB AC ，上，
∴BD EC ⊥；
故答案为：BD EC BD EC =⊥；；
（2）成立，
证明：根据旋转的性质可得：AD AE AB AC BAD CAE ==∠=∠，，，
∴ABD ACE ≅ ，
∴BD EC =，
作BD 的延长线交EC 于点F ，交AC 于点G ，
∵ABD ACE ≅ ，
∴ABD ACE ∠=∠，
∵AGB FGC ∠=∠，
∴90GAB GFC ∠=∠=︒，
∴BD EC ⊥；
（3）当点D 在线段BE 上时，
∵90BAD BAC DAC DAC
∠=∠-∠=︒-∠，90CAE DAE DAC DAC ∠=∠-∠=︒-∠，∴BAD CAE ∠=∠，
又AB AC AD AE ==，，
∴BAD CAE ≅△△，
∴180135ADB AEC ADE ∠=∠=︒-∠=︒
，∴451354590BEC AEC ∠=∠-︒=︒-︒=︒，
故答案为：90︒；
（4）由题意知，点D 的轨迹是以A 为圆心AD 为半径的圆，
在ABD △中，当AB 为底时，点D 到AB 的距离最大时，ABD △的面积最大，
当AD AB ⊥时，ABD △的面积最大，
∴旋转角为90︒或270︒，
故答案为：90︒或270︒．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识，证明BAD CAE ≅△△是解题的关键．
23．
（1）y=x 2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D （2，1），使△BCD 的周长最小；（3）△ACE 的最大面积278
，此时E 点坐标为（52，34-）．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．
（2）利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D ．
（3）方法1：过点E 作EF x ⊥轴，垂足为G ，交直线AC 于点F ，过点C 作CH EF ⊥，垂
足为H ．设点E 的坐标为()2,43x x x -+，则点F 、G 的坐标均可表示出来，且可得EF 的长，
由ACE AEF CEF S S S =+ 即可得关于x 的二次函数，从而可求得结果；
方法2：过点E 作EP ∥x 轴，并分别过点A ，C 作AP EP ⊥、CQ EQ ⊥于点P 、Q ，设点E
的坐标为()2,43x x x -+，则点P 、Q 的坐标均可表示出来，AP 、CQ \、PQ 、EP 、EQ 的长度
均可表示出来，由()ACE AEP CEQ APQC S S S S =-+ 梯形即可得关于x 的二次函数，从而可求得结果；
方法3：过点E 作EF x ⊥轴，垂足为G ，交直线AC 于点F ，过点E 作EM AC ⊥，垂足为
M ．由已知得AC 这定值，设点E 的坐标为()2,43x x x -+，则点F 的坐标为(),1x x -，点G
的坐标为(),0x ．可得AG =FG ，AGF 为等腰直角三角形，从而得EMF V 为等腰直角三角形，
)2sin 45542
ME EF x x =⋅︒=-+-，由三角形面积公式即可得关于x 的二次函数，从而可求得结果；
方法4：根据直线AC 的解析式，设出过点E 与AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y 得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE 的面积最大，然后求出此时与AC 平行的直线，然后求出点E 的坐标，并求出该直线与x 轴的交点F 的坐标，再求出AF ，再根据直线l 与x 轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵抛物线()2
30y ax bx a =++≠经过点()1,0A 、()4,3C ，代入得3016433a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得14
a b =⎧⎨=-⎩．∴抛物线的表达式为243y x x =-+．
（2）∵点A ，B 关于对称轴对称，
∴点D 为直线l 与对称轴的交点时BCD △的周长最小．
设直线l 的解析式为()0y kx b k =+≠，则043k b k b +=⎧⎨+=⎩
，解得11k b =⎧⎨=-⎩．∴直线l 的解析式为1y x =-．
∴()2
24321y x x x =-=+--，
∴抛物线的对称轴为直线2x =，当2x =时，211y =-=，
∴抛物线对称轴上存在点()2,1D ，使BCD △的周长最小．
（3）方法1：
如图所示，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为G ，交直线AC 于点F ，过点C 作CH EF ⊥，垂足为H ．
由（2）得，直线AC 的表达式为1y x =-．
设点E 的坐标为()2,43x x x -+，则点F 的坐标为(),1x x -，点G 的坐标为(),0x ．
∴()()2214354EF x x x x x =---+=-+-．
∴ACE AEF CEF
S S S =+ ()111222
EF AG EF CH EF AG CH =⋅+⋅=+()()2213527544122
28x x x ⎛⎫=-+-⨯-=--+ ⎪⎝⎭，当52x =，即点E 的坐标为54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
时，ACE △的最大面积为278·方法2：
如图所示，过点E 作EP ∥x 轴，并分别过点A ，C 作AP EP ⊥、CQ EQ ⊥于点P 、Q ，设点
E 的坐标为()2,43x x x -+，则点P 的坐标为()21,43x x -+，点Q 的坐标为()24,43x x -+．
∴243AP x x =-+-，24CQ x x =-+，3PQ =，1EP x =-，4EQ x =-．∴()
ACE AEP CEQ APQC S S S S =-+ 梯形()111222PQ AP CQ AP EP CQ EQ ⎛⎫=
⋅+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭()()1122AP PQ EP CQ PQ EQ =
⋅-+⋅-1122AP EQ CQ EP =
⋅+⋅()()()()22114344122
x x x x x x =-+--+-+-23527228
x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =，即点E 的坐标为54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
时，ACE △的最大面积为278·方法3：
如图所示，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为G ，交直线AC 于点F ，过点E 作EM AC ⊥，垂足为M ．
∵点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()4,3，
∴AC =由（2）得，直线AC 的表达式为1y x =-．
设点E 的坐标为()2,43x x x -+，则点F 的坐标为(),1x x -，点G 的坐标为(),0x ．
∴1AG FG x ==-，254EF x x =-+-．
∴AGF 为等腰直角三角形，
∴45AFG ∠=︒，
∵90EMF ∠=︒，
∴EMF V 为等腰直角三角形．
∴()2sin 45542ME EF x x =⋅︒=
-+-．
∴()()2211354542222
ACE S AC EM x x x x =⋅=⋅⋅-+-=-+- 23527228
x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =，即点E 的坐标为54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
时，ACE △的最大面积为278·方法4：
如图，设过点E 与直线AC 平行的直线为y x m =+，
∴由243
y x m y x x =+⎧⎨=-+⎩，得2530x x m -+-=，当()()2Δ54130m =--⨯⨯-=，即134
m =-
时，点E 到AC 的距离最大，ACE △的面积最大，此时52x =，5133244y =-=-，
∴点E 的坐标为54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
．设过点E 的直线与x 轴交点为F ，则点F 的坐标为13,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
．∴139144
AF =-=．∵直线AC 的解析式为1y x =-，
∴45CAB ∠=︒．
∴点F 到AC 的距离为99sin 454428
⨯︒=⨯=．
又∵AC ==
∴ACE △的最大面积为127288⨯=，此时点E 的坐标为54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭．。