开方公式的推导

开方公式的推导
一、问题的提出
在数学中，再也没有比开方更加自然的事了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，一个数自身相乘的逆行运算是一件不太容易的事情。

一个整数自身相乘以后是比较容易找到原来那个整数的，例如2自身相乘5次是32，从32我们也容易找到2，但是，如果是31，30，呢，开5次方就不太容易了。

自从牛顿发现二项式定理以后，人们知道开方是依据二项式定理展开的。

但是，毕竟太麻烦。

有没有一个简单的方式或者公式来开方呢？
二、一个意外
设A=，
X n ,n A X =,我们想求X ，即开方n 次，当：
A ，
X 1
-n @÷=X。

（1）
我们把右下角标打上了（@）的，
X @表示我们预设的那个X ，把右下角没有@的X 视
作A ，
X 1-n @÷以后得出的商。

有三种情况：
一，我们取的初始值，X 1
-n @与等式右边的，
X
一致时，问题就解决了，例如32/，
42=2；
二，我们取的初始值，X 1-n @偏小，A/，X 1-n @>，X @，例如45/，
42=2.8125>2。

（1）式
A/，X 1-n @=，X 0，于是，X @<，X 0，，X 0-，
X @=E ，例如;2.8125-2=0.8125,是一个正值，我们把
这个正值分解E/n 再加回去就可以调节原来取了偏小的初始值，使之变大；（因为A 开n 次方，就是将X 自乘n 次的数值分解n 次，所以也就自然而然地想到其误差E 也要分解n 份,即E/n ）。

三，我们取的初始值，X 1-n @偏大，A/，X 1
-n @<，X @例如30/，
42=1.875<2,（1）式
A/，X 1-n @=，X 0，于是，，X @>，X 0，，X 0-，
X @= —E 。

例如1.875-2= —0.125，我们把这个
负值-E 分解-E/n 再加回去，就可以调节原来取得偏大的初始值，使之变小。

四，于是我们得到：
，X 1k +=，k X +（A/，
X 1
-n K -，X k ）n
1.，(2) （K=0，1，2，3，4，…...。

） 五，我们用（2）式来开方。

例如我们开平方，即n=2。

A X =
,公式：
，X 1k +=，k X +（A/，
X 1
-2K -，X k ）2
1.，（3）
设A=5。

5介于，
22至，
23之间，我们可以取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，
2.8，2.9.。

随便取一个值输入，得出来的都是正确的，一般要求取中间值2.5.
第一步：2.5+（5/2.5-2.5）/2=2.2;(用其它值也一样，例如2.8；2.8+（5/2.8-2.8）/2=2.2。

第二部：2.2+（5/2.2-2.2）/2=2.23。

每一次多取一位数。

第三步：2.23+（5/2.23-2.23）/2=2.236.。

即5236.2=。

计算次数与计算精确度成为正比。

开3次方也一样，即n=3，3A X =,公式：
，X 1k +=，k X +（A/，
X 2
K -，X k ）3
1.。

（4） 设A=5，5介于，
31至，
32之间，我们可以取初始值1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，
1.8，1.9，都是一样。

例如取1.9。

第一步：1.9+（5/，
29.1-1.9）/3=1.7。

取其它值也是一样，例如取1.5；1.5+（5/，
25.1-1.5）
/3=1.7.。

输入值大于输出值，负反馈；
第二步：1.7+（5/，
27.1-1.7）/3=1.71;输入值小于输出值，正反馈；
第三步：1.71+（5/，
271.1-1.71）/3=1.709;输入值大于输出值，负反馈；
第四步;1.709+(5/，
2709.1-1.709)/3=1.7099.每一步多取一位数。

要多精确都可以。

如果输入值与输出值一致：
289开平方，289介如10的平方至20平方之间，我们取20为初始值，于是：第一步20+（289/20-20）/2=17；第二步17+（289/17-17）/2=17.说明17是个精确值。

以上方法是作者1980年发现的，找到江西师范大学数学系，一位教授看过之后，觉得面熟，将这个公式反推回去，原来是牛顿切线法。

但是，他不知道是怎么得出来的。

原来这
可以用二项式定理推出。

牛顿先生
三，二项式定理与（2）式巧合
设A=，Y X n )(±=，0n C ，X n ±，C 0n ，X 1-n ，Y ＋，n C 2，
n X
2-，Y 2±…±n
n C ，n Y （5）
X 是假定值，Y 是误差值。

，X 1k +=，
Y X )(±）=，k X +（A/，X 1
-n K -，
X k ）n
1
.。

（6） 由（6）式得：
±Y=（A/，X 1
-n K -，
X k ）n
1
.。

（7） 我们把（5）式等号右边按照（7）式程序进行：
(一)（7）式右端第一步是A/，
X 1
-n K ,相当于（5）式中的：
1
-n 222
11
n X
...C n n
n n n n n n Y Y X Y X X C C C ±±+±--
=X ±n
1Y ，n C 2(+，n X 2-，Y 2±…±n n C ，n Y )/，X 1-n 。

（8）
（二），（7）式右端第二步是减去X,即A/，X 1-n K -，
X k 。

（8）式右端减去X 得：±n
1Y ，n C 2
(+，n X 2-，Y 2±…±n n C ，n Y )/，X 1-n 。

（9） （三），（7）式右端第三步是除以n ，即：（A/，
X 1
-n K -，X k ）n
1。

（9）式除以n 得：
±Y ，n C 2
(+，n X
2-，Y 2±…±n n C ，n Y )/n ，
X 1-n 。

（10） （10）式是由（5）式得来的，现在（7）式左端只剩下一个Y,而（10）式却是多出来一个：
，n C 2(，n X 2-，Y 2±…±n n C ，n Y )/n ，
X 1-n 。

（11） （11）式就是我们碰到的误差。

我们在实际计算中把（11）式不要了。

当我们取X 值偏大，A=(X-Y)；当我们取值偏小是A=X+Y 。

四，为什么（2）式是牛顿切线法 我们把（2）式展开：
，X 1k +=，k X +（A/，X 1-n K -，X k ）n
1.=，k X -（，X n K -A ）/（n ，
X 1
-n K ）.， 注意：f （x ）=，
X n
K -A ； f”（x ）= n ，
X 1
-n K 。

即，X 1k +=，k X -
）
（（）（x f ')x f (（牛顿切线法，求X=n A ，A>0, ，X n K -A ，
X n
K ⇔-A=0.
牛顿
本文的公式作者已经发到(百度网站的)百度词条：开平方，开立方，立方根，。

但是没有公式的推导过程。

作者希望把推导过程通过贵刊发表出来。

本文完全符合控制论中的自动控制原理.。