【名师推荐】2019年北京中考数学习题精选：全等三角形

A 一、选择题
1.（2018北京市东城区初二期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线。

此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 △ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
答案：D 2．（2018北京市海淀区八年级期末）如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，△ABD ≌△ACE ，其中B ，C 为对应顶点，D ，E 为对应顶点，下列结论不一定成立的是
A ．AC =CD
B ．BE= CD
C ．∠ADE=∠AE
D D ．∠BAE=∠CAD 答案：A
3.（2018北京市平谷区初二期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB,则下图中共
有几对全等三角形
A ．2 B.3 C ．4 D ．5
答案：B
二、填空题
4.（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）如图，在长方形ABCD 中， AF BD ，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，
连接DF ．图中有全等三角形 对，有面 积相等但不全等的三角形 对．
答案：1,4
5．（2018北京市东城区初二期末）如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，已知BF =CE ，AC //DF ，请你添
加一个适当的条件 使得△ABC ≌△DEF ．
解：
,AC DF ABC FED
=∠=∠或 或A D ∠=∠
6.（2018北京市东城区初二期末）如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_______．
E
C
A
第15题 图
解：70° 7
、（
2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）
8.（2018北京市怀柔区初二期末）如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点 F ，只添加一个条件使△ABE ≌△ACD ，添加的条件是:__________ (添加一个即可)．
答
案：AE=AD ∠B=∠C ∠BEA=∠CDA
9.（2018北京市平谷区初二期末）如图，线段AE ，BD 交于点C ，AB=DE ，请你添加一个条件______________，使得△ABC ≌△DEC ．
解：E A ∠=∠（或D B ∠=∠，或DE ∥AB )
10．（2018北京市西城区八年级期末）如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，
AB
=DE ，
∠B =∠DEF ．要使△ABC ≌△DEF ，则需要再添加的一个条件是 ．（写出一个即可）
答案：答案不唯一．如：∠A =∠D
11. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；
答案：∠E=∠F 两角及夹边对应相等的两个三角形全等
∠ECA=∠FBD 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 AB=CD ,AC=BD, 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 三 解答题
12.（2018北京昌平区初二年级期末） 已知：如图，点A ，F ，C ，D 在同一条直线上，点B 和点E 在直线AD 的两侧，且AF ＝DC ，BC ∥FE ，∠A =∠D ．
求证：AB =DE ．
证明：∵BC ∥FE ，
∴∠1 =∠2. …………………………………………… 1分 ∵AF=DC ， ∴AF+F C=DC+CF.
∴AC =DF . ……………………………………………2分 在△ABC 和△DEF 中，
12,,AC DF A D ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
Q ， ………………………………………………………………… 3分 ∴△ABC ≌△DEF (ASA). ……………………………………………………4分 ∴AB =DE . ……………………………………………………………5分
13.（2018北京昌平区初二年级期末） 如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF. （1）求证：△ABE ≌△CBF ；
（2）若∠BAE =25°，求∠ACF 的度数．
解：（1）证明：∵∠ABC =90°，
∴∠CBF =180°-∠ABC = 90°. …………………… 1分
A
B
C
D
F
A
B
C F
E
在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，
∵.AE CF AB BC =⎧⎨
=⎩
，
……………………………………… 2分 ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF .（HL ） ……………………………………… 3分
（2）∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∠BAE =25°，
∴∠BCF =∠BAE =25°. ………………………………………………… 4分 ∵△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，
∴∠BAC =∠BCA =45°. …………………………………………………… 5分 ∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =70°. …………………………………………… 6分
14．（2018北京市朝阳区初二期末）已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥CE ，AC CE =，
B CDE ∠=∠．
求证：BC DE =．
证明：∵AB ∥CE ，
∴=A DCE ∠∠ …………………………………………………1分 在ABC ∆和CDE ∆中，
B CDE
∠=∠, A DCE ∠=∠， AC CE =,
∴ABC CDE ∆≅∆． ……………………………………………………4分 ∴BC DE =． ……………………………………………………………5分
15．（2018北京市东城区初二期末）（5分）如图，点E ，F 在线段AB 上，且AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：DF =CE .
证明：∵点E ，F 在线段AB 上，AE ＝BF .， ∴AE +E F ＝BF +EF ，
即：AF ＝BE ．………1分 在△ADF 与△BCE 中，
E
D
C
B
A
,,,AD BC A B AF BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
………3分 ∴△ADF ≌△BCE (SAS ) ………4分
∴ DF=CE （全等三角形对应边相等）………5分
16．（2018北京市丰台区初二期末）如图, △ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连
接BE ，CF ，且BE ∥CF . 求证：DE ＝DF ．
答案：
17．（2018北京市丰台区初二期末）如图，△ABC 是等边三角形．点D 是BC 边上一动点，点E ，F 分别
在AB ，AC 边上，连接AD ，DE ，DF ，且∠ADE =∠ADF ＝60°．
小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE ＝AF ．小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：利用AD 是∠EDF 的角平分线，构造△ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识
获证．
想法2：利用AD 是∠EDF 的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形
的相关知识获证．
想法3：将△ACD 绕点A 顺时针旋转至△ABG ，使得AC 和AB 重合，然后通过全等三角形的相关知识
获证．
…….
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE ＝AF ．（一种方法即可）
D
A B
C F A E
F
B
答案：
18．（2018北京市海淀区八年级期末）如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC=BD，AE∥DF，∠1=∠2．求证：BE = CF．
证明：∵AC=AB+BC，BD=BC+CD，AC=BD，
∴AB=DC．---------------------------------------------1分∵AE∥DF，
∴∠A=∠D．-------------------------------------------2分在△ABE和△DCF中，
2
1
E
D F
C B
A
F E
D
C B A ,,1=2,A
D AB DC ∠=∠=∠∠⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△ABE ≌△DCF ．---------------------------------------------------------------------3分 ∴BE =CF ．------------------------------------------------------------------------------4分
19．（2018北京市怀柔区初二期末）如图，△ABC 中，D 为BC 边上一点，BE ⊥AD 的延长线于E ，CF ⊥AD 于F ，BE=CF.求证：D 为BC 的中点.
证明：∵BE ⊥AD 的延长线于E ，CF ⊥AD 于F ，
∴∠CFD=∠BED=90°. ………………… 1分 又∵BE=CF ，………………… 2分 ∠CDF=∠BDE ，………………… 3分
∴△CDF ≌△BDE(AAS). ………………… 4分 ∴CD=BD.
∴D 为BC 的中点. ………………… 5分
20．（2018北京市怀柔区初二期末）如图，已知△ABC 中,∠ABC=45°,点D 是BC 边上一动点(与点B,C
不重合), 点 E 与点D 关于直线AC 对称，连结AE ，过点B 作BF ⊥ED 的延长线于点F. （1）依题意补全图形；
（2）当AE=BD 时，用等式表示线段DE 与BF 之间的数量关系，并证明.
(1) 依题意补全图形如图所示：………………… 2分
(2) DE=2BF ………………… 3分 证明：连接AD ………………… 4分 ∵点E 、D 关于AC 对称，
E
∴AC 垂直平分DE.
∴AE=AD. ………………… 5分 ∵AE=BD, ∴AD=DB.
∴∠DAB=∠ABC=45°.
∴∠ADC=90°. ………………… 6分
∴ ∠ADE+ ∠BDF=90°
∵BF ⊥ED , AC ⊥ED, ∴∠F=∠AHD=90°.
∴∠DBF+ ∠BDF=90°. ∴∠DBF=∠ADH .
∴△ADH ≌△DBF. ………………… 7分
∴DH=BF. 又∵DH=EH,
∴DE=2BF. ………………… 8分 21．（2018北京市门头沟区八年级期末）已知：如图，∠BAC =∠DAC ．请添加一个条件 ，使
得△ABC ≌△ADC ，然后再加以证明．
解：（1）添加条件正确；………………………………………………………………1分 （2）证明正确. ……………………………………………………………………5分
22.（2018北京市平谷区初二期末）已知：如图，B ，A ，E 在同一直线上， AC ∥ BD ，AB BD =，
ABC D ∠=∠．
求证：AC=BE ．
证明：∵AC ∥ BD
∴DBE BAC ∠=∠…………………………………....……1 在△ABC 和△BDE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠D ABC BD AB DBE BAC (3)
∴ABC ∆≌BDE ∆)(ASA .......................................4 ∴BE AC = (5)
23.（2018北京市平谷区初二期末）随着几何部分的学习，小鹏对几何产生了浓厚的兴趣，他最喜
欢利用手中的工具画图了.如图，作一个∠AOB ，以O 为圆心任意长为半径画弧分别交OA ，OB 于点C 和点D ，将一副三角板如图所示摆放，两个直角三角板的直角顶点分别落在点C 和点D ，直角边中分别有一边与角的两边重合，另两条直角边相交于点P ，连接OP ．小鹏通过观察和推理，得出结论：OP 平分∠AOB.
你同意小鹏的观点吗？如果你同意小鹏的观点，试结合题意写出已知和求证，并证明。

已知：∠AOB 中，___=___，___⊥___，___⊥___.
E B
A
C
D D
A
E
C
B
D
A
E
C
B
求证：OP 平分∠AOB.
证明： PC ⊥OA ，PD ⊥OB
∴∠PCO=∠PDO=90°…………………………………3 在Rt △PCO 和Rt △PDO 中
⎩
⎨
⎧==OP OP OD OC
∴Rt △PCO ≌Rt △PDO （HL)…………………..4 ∴∠COP=∠POD
∴OP 平分∠AOB (5)
24．（2018北京市石景山区初二期末）如图，E 是AC 上一点，AB=CE ，AB
∥CD ，∠ACB=∠D ．求证：BC=ED ．
证明： ∵AB ∥CD （已知）
∴A ACD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
在△ABC 和△CED 中
（已知）（已证）（已知）
ACB D
A ACD
AB CE ∠=∠∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△ABC ≌△CED （AAS ） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ∴BC ED =（全等三角形的对应角相等） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
25．（2018北京市石景山区初二期末）在△ABC 中，90C ∠=
︒，AC BC =．作射线AP ，过点B 作
BD ⊥AP 于点D ，连接CD ．
（1）当射线AP 位于图1所示的位置时
①根据题意补全图形； ②求证：AD BD +=．
（2）当射线AP 绕点A 由图1的位置顺时针旋转至BAC ∠的内部，如图2，直接写出此时AD ，BD ，
CD 三条线段之间的数量关系为 ．
E
D
C
B A
图1 图2
A
解：（1）①补全图形如图所示： ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
②证明：过点C 作CE CD ⊥,交DB 的延长线于点E ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∴90DCE ACB ∠=∠=︒．
∴12∠=∠． ∵BD AP ⊥于点D , ∴3490∠+∠=︒．
∵490E ∠+∠=︒， ∴3E ∠=∠．
在△ACD 和△BCE 中
∵123E AC BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （AAS ） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
∴=CD CE ,=AD BE ．
∴=AD DB DE +
且DE
∴AD BD +=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（2）线段AD ，BD ，CD
之间的数量关系为：AD BD -=
.⋯⋯8分
说明：其他证法请对应给分.
26.（2018北京市顺义区八年级期末）(5分).已知： 如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，BD=AE ，BC ∥E F ，∠C ＝∠F ． 求证：AC ＝DF ．
证明：∵BD AE =，
∴BD AD AE AD -=-． 即
AB DE =． ……………………………………………………………… 1分
∵BC ∥EF ，
∴B E ∠=∠． ……………………………………………………………… 2分 又∵C F ∠=∠ ……………………………………………………………… 3分
在ABC ∆和DEF ∆中，
A
,,,B E C F AB DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ ABC ∆≌DEF ∆． ………………………………………………………4分
∴ AC DF =． …………………………………………………………… 5分 27.（2018北京市顺义区八年级期末）（6分）已知：如图，D 是ABC ∆的边BA 延长线上一 点，且AD AB =，E 是边AC 上一点，且DE BC =.
求证：DEA C ∠=∠.
证明：过点D 作BC 的平行线交CA 的延长线于点
F ．……………… 1分
∴C F ∠=∠．
∵点A 是BD 的中点，
∴AD=AB ． …………………………… 2分 在△ADF 和△ABC 中，
,,,C F DAF BAC AD AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △ADF ≌△ABC ．………………… 3分 ∴DF=BC ．…………………………… 4分 ∵DE=BC ， ∴DE=DF ．
∴F DEA ∠=∠． ………………………………………………………… 5分
又∵C F ∠=∠，
∴C DEA ∠=∠． …………………………………………………………… 6分 其它证法相应给分
F
E
D
A B
C
28．（2018北京市西城区八年级期末）如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，AE ∥BC ，连接ED 并延长交
BC 于点F ．
若AD =CD ，求证：ED =FD ．
证明：如图．
∵AE ∥BC ， ∴∠1 =∠C ，
E D C B A
F E
D
A B
C
D
∠E =∠2． ……………………………2分 在△AED 和△CFD 中， ∠1 =∠C ， ∠E =∠2， AD =CD ，
∴△AED ≌△CFD ． ……………………………………………………………4分 ∴ ED =FD ． ……………………………………………………………………5分
29. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ，∠B =∠E ，
AF=DC.
求证：BC =EF .
证明：∵AB ∥DE ，
∴∠A =∠D . -------------------1分 ∵AF=DC ， ∴AF+FC=DC+FC
∴AC =DF . -------------------2分 在△ABC 和△DEF 中，
==B E A D AC DF ⎧⎪
⎨⎪=⎩
∠∠，∠∠，
， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）. ………………4分 ∴BC =EF . ………………5分
30. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，
DE ⊥AB 于E, 当时，求DE 的长。

解：∵∠C=90°， ∴
∴AB=10 …………………………… 1分
设DE=CD=x ，则BD = 在Rt △DEB 中，有勾股定理，得
解得 x = 3 ……………………………………………………………5分
D
在Rt AD = AD CD = DE
∴DE=3
31．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，
AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．
（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．
E
D
C
B
A
（1）证明：如图1．
∵ AD 平分∠BAC ，
∴ ∠1= ∠2．………………………………………1分
∵ BD ⊥AD 于点D ， ∴ 90ADB ∠=︒．
∴ △ABD 为直角三角形． ∵ AB 的中点为E ，
∴ 12AE AB =
，1
2
DE AB =． ∴ DE AE =． …………………………… 2分 ∴ ∠1= ∠3．
∴ ∠2= ∠3．……………………………………………………………… 3分 ∴ DE ∥AC ．……………………………………………………………… 4分
（2）△ADE ．…………………………………………………………………………… 5分
32．（2018北京燕山地区一模）如图， 点A ，B ，C ，D 在同一条
直线上，CE ∥DF,EC=BD,AC=FD, 求证：AE=FB
证明： ∵CE ∥DF
∴∠ECA=∠FDB ……………………….2′
在△ ECA 和△ FDB 中
A
B C
D
E
F
F
E
D
C
B A
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=FD AC F
ECA BD EC ……………………….3′ ∴ △ ECA ≌△ FDB ……………………….4′
∴AE=FB ……………………….5′ 33．（2018北京房山区一模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．
求证：BD CE =．
解：法1：
∵AB =AC
∴∠B =∠C ………………………………………………………………………1分 ∵AD =CE
∴∠ADE =∠AED …………………………………………………………………2分 ∴△ABE ≌△ACD ………………………………………………………………3分 ∴BE =CD …………………………………………………………………………4分 ∴BD =CE ……………………………………………………………………………5分
法2：如图，作AF ⊥BC 于F ∵AB =AC
∴BF =CF …………………………………2分 ∵AD =AE
∴DF =EF ………………………………………………………………………………4分
∴BF －DF =CF －EF
即BD =CE ………………………………………………………………………………5分
34.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）27．已知，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为
BC 边上的一点.
（1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE ，请你画出旋转后的图形； （2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE ；
（3）若AC
BF =1，连接CF ，则CF 的长度为 .
E
C
B
A
F E D C B A
备用图
A
A
C
D
B D
C
答案：（1）补全图形…………………… 2分 （2）证明：
∵ΔCBE 由ΔCAD 旋转得到，
∴ΔCBE ≌ΔCAD ，……………… 3分
∴∠CBE =∠CAD ，∠BCE =∠ACD =90°，……………4分 ∴∠CBE +∠E =∠CAD +∠E ， ∴∠BCE =∠AFE =90°，
∴AF ⊥BE ．……………………………………5分
（3
………………………………………………7分
35、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）△ACB 中，∠C =90°，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆
时针旋转60°得到线段AD ，AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F . （1）如图1，若∠B =30°，∠CFE 的度数为 ； （2）如图2，当30°<∠B <60°时，
①依题意补全图2；
②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明.
图1 图2
答案： （1）120°； …………………………………………………………………………1分
（2）① 如图.
……………………………………………3分 ② AC CF 3
3
. 证明：如图，连接AF ， ∵∠BAD ＝∠CAE ， ∴∠EAD ＝∠CAB ， ∵AD ＝AB ，AE ＝AC ， ∴△ADE ≌△ABC . ∴∠AED ＝∠C ＝90°. ∴∠AEF ＝90°.
A
C
B
D
F E
D
∴Rt △AEF ≌Rt △ACF .
∴∠CAF ＝
2
1
∠CAE ＝30°. Rt △ACF 中，AF CF 2
1=，且2
22AF CF AC =+.
∴AC CF 3
3
=. …………………………………………………………………………6分 36、（2018北京朝阳区二模）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF . （1）∠CAD = 度； （2）求∠CDF 的度数；
（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.
解：（1）45 ……………………………………………………………………1分 （2）如图，连接DB.
∵90 AB AC BAC =∠=，°，M 是BC 的中点， ∴∠BAD=∠CAD =45°.
∴△BAD ≌△CAD . ………………………………2分 ∴∠DBA =∠DCA ，BD = CD . ∵CD =DF ,
∴B D =DF . ………………………………………3分 ∴∠DBA =∠DFB =∠DCA . ∵∠DFB +∠DFA =180°, ∴∠DCA +∠DFA =180°. ∴∠BAC +∠CDF =180°.
∴∠CDF =90°. ………………………………………………………………4分
（3）CE
=
)
1CD . ……………………………………………………………5分
证明：∵90 EAD ∠=°， ∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，
∴△EAF ≌△DAF . …………………………………………………………6分 ∴DF =EF .
由②可知，CF
. ………………………………………………7分 ∴CE
=
)
1C D .
37、（2018北京房山区二模）如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，DC ⊥BC 于C 点，AE ⊥BD 于E ，且DB =DA .
求证：AE=CD ．
答案.解：∵AD ∥BC
∴∠ADB =∠DBC
∵DC ⊥BC 于点C ，AE ⊥BD 于点E
∴∠C =∠AED =90°………………………………………………………………2′ 又∵DB =DA
∴△AED ≌△DCB ………………………………………………………………4′ ∴AE =CD …………………………………………………………………………5′
A
38.（2018北京丰台区二模）如图，E，C是线段BF上的两点，BE = FC，AB∥DE，∠A=∠D，AC=6，
求DF的长.
答案．证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF. ………………………1分
∵BE = FC，
∴BE +EC=FC+EC，
∴BC=EF．………………………2分
又∵∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF，………………………3分
∴AC=DF．………………………4分
又∵AC=6，
∴DF=6．………………………5分
F
D
E C
A。