四川省成都市锦江区2020-2021学年八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1．（3分）许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（）
A．B．C．D．
2．（3分）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）
A．a（x+y）＝ax+ay B．10x2﹣5x＝5x（2x+1）
C．y2﹣4y+4＝（y﹣2）2D．t2﹣16＝（t+8）（t﹣8）
3．（3分）下列各数是不等式x﹣1≥0的解的是（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
4．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则该多边形的边数是（）A．六B．七C．八D．九
5．（3分）下列分式变形一定成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，作AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE＝3，则BD的长度是（）
A．3B．2C．D．
7．（3分）已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＞5B．x＜5C．x＞2D．x＜2
8．（3分）下列命题是真命题的是（）
A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．若a＞b，则2﹣a＞2﹣b
C．平行四边形对角线相等
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAO＝80°，点F为AD 中点，连接FO，若OD平分∠FOC，则∠ABD的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
10．（3分）如图，A为x轴负半轴上一点，过点A作AB⊥x轴，与直线y＝x交于点B，将△ABO沿直线y＝x向上平移5个单位长度得到△A′B′O′，若点A的坐标为（﹣3，0），则点B′的坐标是（）
A．（1，1）B．（2，2）C．（3，3）D．（5，5）
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上)
11．（4分）分解因式：4x2﹣9＝．
12．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E为线段AB上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点B′落在DA的延长线上，若∠B′CD＝90°，则AB′＝．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，射线BP与AC交于点D，若AD＝BD，则∠A＝．
三、解答题(本大题共6个小题,共54分,解答过程写在答题卡上)
15．（12分）（1）分解因式：2ax2+4ax+2a；
（2）解方程：＝﹣3．
16．（6分）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
18．（8分）如图，每个小方格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且B的坐标是（﹣4，0），C的坐标是（﹣1，0）．
（1）在图中画出平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC关于原点O的对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（3）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，延长BA至点E，使AE＝AB，连接CE 交AD于F，且FE＝FC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，求证：AD＝CE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求△CAF的面积．
20．（10分）如图，AC为▱ABCD的对角线，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，F为射线BC 上一点．
（1）如图1，F在BC延长线上，连接AF与CD交于点G，若AC＝8，CD＝6；
①当G为CD中点时，求证：CF＝BC；
②当CF＝CA时，求CG长度；
（2）如图2，F在线段BC上，连接AF与CE交点于H，若∠D＝3∠ACE，FA＝FC，试探究AD，AC，AH三条线段之间的数量关系，并说明理由．
四、填空题
21．（5分）已知＝，则＝．
22．（5分）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P，若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是．
23．（5分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，且关于y的方程+1＝
的解为正数，则m的取值范围是．
24．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝4，四边形ABCD的面
积为3，连接对角线BD，则BD+CD的最小值为．
25．（5分）如图，在Rt△OAB中，OA＝8，AB＝6，C为线段AB上一点，将△OAC沿OC
＝S△翻折，点A落在点D处，延长CD至点E，连接OE，且∠COE＝45°，若S
△BCE ODE，则DE2+AC2的值是．
五、解答题
26．（7分）劳动教育是国民教育体系的重要内容，具有树德、增智、强体、育美等综合育人价值，某校密切联合家庭开展劳动教育课程．暑假期间，部分家长组织学生到户外开展劳动实践活动，一名学生带一名家长，家长联系了甲乙两家组织机构，他们的报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元．
（1）求家长和学生报价分别是多少元？
（2）经协商，甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按七折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m（m为整数）折收费，他们选择了总费用较少乙机构，请问m的最大值为多少？
27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，M为AB中点，D为射线AB上一动点，在CD右侧作等边△CDE，直线DE与直线CB交于点F，连接BE．（1）如图1，当点D与点M重合时，求证：CE＝BE；
（2）如图2，当点D在线段AM上（不包括端点A，M），CE＝BE是否仍然成立，请说明理由；
（3）点D在射线AB运动过程中，当△BEF为等腰三角形时，请直接写出∠ABE的度数．
28．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，将线段OB以点O为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点C处，且△OBC的面积为10．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）点D在直线AB上第二象限内一点，在△BCD中有一个内角是45°，求点D的坐标；
（3）过原点O的直线，与直线AB交于点P，与直线BC交于点Q，在O，P，Q三点中，当其中一点是另外两点所连线段中点时，求△OCP的面积．
2020-2021学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
2．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【解答】解：A．a（x+y）＝ax+ay，从左边到右边的变形，属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），故本选项不符合题意；
C．y2﹣4y+4＝（y﹣2）2，从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；D．t2﹣16＝（t+4）（t﹣4），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．3．【分析】移项即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．
4．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
故选：C．
【点评】此题考查根据多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是利用不变的数量即多边形的外角和360°．
5．【分析】根据分式的基本性质化简即可判断求解．
【解答】解：A、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、＝，原变形正确，故此选项符合题意；
C、当m＝0时，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、当m＝0时，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0的分数（或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键．6．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD ＝∠A＝30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BCD，根据角平分线的定义证明结论．【解答】解：∵DE是AC边上的中垂线，∠A＝30°，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD，
∴CD平分∠BCA．
∴BD＝DE，
∵DE＝3，
∴BD＝3．
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
7．【分析】结合图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＞2时，y＜0，
所以不等式kx+b＜0的解集为x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．【分析】根据真命题的定义，逐个选项进行判断，根据直角三角形的全等，平行四边形的性质和判定，不等式的性质即可得出结果．
【解答】解：A、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；
B、若a＞b，则2﹣a＜2﹣b，原命题是假命题；
C、平行四边形对角线平分，原命题是假命题；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查了真命题与假命题的概念，真命题：判断正确的命题叫真命题，假命题：判断错误的命题叫假命题，比较简单．
9．【分析】由平行四边形的性质得OB＝OD，AB∥CD，则∠OCD＝∠BAO＝80°，∠ABD ＝∠CDO，再由三角形中位线定理得OF∥AB，则∠AOF＝∠BAO＝80°，然后求出∠
COD＝∠FOC＝50°，最后由三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD，
∴∠OCD＝∠BAO＝80°，∠ABD＝∠CDO，
∵点F为AD中点，
∴OF为△ABD的中位线，
∴OF∥AB，
∴∠AOF＝∠BAO＝80°，
∴∠FOC＝180°﹣80°＝100°，
∵OD平分∠FOC，
∴∠COD＝∠FOC＝50°，
∴∠CDO＝180°﹣∠OCD﹣∠COD＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠ABD＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠COD＝50°是解题的关键．10．【分析】求得B的坐标，根据题意，将△ABO向右平移5个单位，向上平移5个单位得到△A′B′O′，从而得到B′的坐标为（﹣3+5，﹣3+5），即B′（2，2）．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，0），AB⊥x轴，与直线y＝x交于点B，
∴B（﹣3，﹣3），
将△ABO沿直线y＝x向上平移5个单位长度得到△A′B′O′，实质上是将△ABO 向右平移5个单位，向上平移5个单位，
∴B′的坐标为（﹣3+5，﹣3+5），即B′（2，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，点的平移问题，能根据题意得出平移的实质是本题的关键．
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上)
11．【分析】先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式进行分解因式．【解答】解：4x2﹣9＝（2x﹣3）（2x+3）．
故答案为：（2x﹣3）（2x+3）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．12．【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x﹣3≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣3≠0，
解得：x≠，
故答案为：x≠．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13．【分析】由翻折的性质，可得B'C＝BC＝2，在Rt△B'CD中，B'C＝2，CD＝1，可求B'D ＝，则可求AB'＝﹣2．
【解答】解：由翻折的性质，可得B'C＝BC，
∵BC＝2，
∴B'C＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵∠B′CD＝90°，AB＝1，
在Rt△B'CD中，B'D＝，
∵AD＝2，
∴AB'＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】本题考查翻折的性质，平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质，运用勾股定理是解题的关键．
14．【分析】证明∠A＝∠ABD＝∠DBC，再利用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：由作图可知，DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC，
∵∠C＝60°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴3∠A＝120°，
∴∠A＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
三、解答题(本大题共6个小题,共54分,解答过程写在答题卡上)
15．【分析】（1）原式提取2a，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2a（x2+2x+1）
＝2a（x+1）2；
（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
去括号得：1＝x﹣1﹣3x+6，
移项合并得：2x＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握分式方程的解法及因式分解的方法是解本题的关键．
16．【分析】，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＜4，
解不等式②，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）根据B，C两点坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）根据旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示．
（2）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标（3，﹣2）．
（3）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标（2，3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
19．【分析】（1）由三角形中位线定理得AF∥BC，则AD∥BC，再由AD＝BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接DE，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证四边形ACDE是平行四边形，然后证平行四边形ACDE是矩形，即可得出结论；
（3）由平行四边形的性质得△ACD的面积＝△ABC的面积＝，AF＝DF，则△CAF
的面积＝△ACD的面积＝．
【解答】（1）证明：∵AE＝AB，FE＝CF，
∴AF是△BCE是中位线，
∴AF∥BC，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：连接DE，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝AB，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
又∵AB⊥AC，
∴∠CAE＝90°，
∴平行四边形ACDE是矩形，
∴AD＝CE；
（3）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积＝AB×AC＝×3×5＝，
由（2）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴AF＝DF，
∴△CAF的面积＝△ACD的面积＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定与性质，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
20．【分析】（1）①由“ASA”可证△ADG≌△FCG，可得AD＝CF＝BC；
②先证四边形AECG是平行四边形，可得AE＝CG，由“AAS”可证△ACE≌△NCE，
可得AC＝CN＝8，AE＝EN，在Rt△EBN中，由勾股定理可求EN的长，即可求解；
（2）由角的数量关系和三角形内角和定理可求∠ACE＝∠BCE＝18°，∠B＝54°，由等腰三角形的性质可求∠CAF＝∠ACF＝36°，由余角的性质可求∠B＝∠BAF＝54°，
可得AF＝BF＝CF＝BC＝AD，以C为顶点作∠BCP＝36°，交AF的延长线于P，由三角形的外角性质可证∠CHP＝∠PCH，∠CFP＝∠P，可得CP＝CF＝PH，可得结论．【解答】解（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AD∥BF，
∴∠D＝∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG＝CG，
∵∠FGC＝∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD＝FC，
∴FC＝BC．
②在Rt△ABC中，AC＝8，CD＝6，
∴AD＝＝＝10，
∴BC＝10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵AC＝AF，
∴∠F＝∠CAF，
∵∠ACB＝∠F+∠CAF＝2∠F＝∠ACE+∠BCE＝2∠BCE，∴∠F＝∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE＝CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE＝∠ECN，∠EAC＝∠ENC＝90°，CE＝CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC＝CN＝8，AE＝EN，
∴BN＝2，
∵BE2＝BN2+EN2，
∴（6﹣EN）2＝EN2+4，
∴EN＝，
∴AE＝CG＝；
（3）AC＝AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC，
∵∠D＝3∠ACE，
∴∠B＝3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC＝180°，
∴∠ACE＝∠BCE＝18°，∠B＝54°，
∵AF＝CF，
∴∠CAF＝∠ACF＝36°，
∴∠B＝∠BAF＝54°，
∴AF＝BF＝CF＝BC＝AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP＝36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP＝72°，
又∵∠CAF＝36°，
∴∠P＝72°＝∠ACP，
∴AC＝AP，
∵∠CHP＝∠ACE+∠CAF＝54°，∠PCH＝∠BCE+∠BCP＝54°，
∴∠CHP＝∠PCH，
∴CP＝PH，
∵∠CFP＝∠ACF+∠FAC＝72°，
∴∠CFP＝∠P，
∴CP＝CF＝PH，
∵AC＝AP＝AH+PH，
∴AC＝AH+AD．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
四、填空题
21．【分析】根据分式的基本性质，由，得．
【解答】解：
＝
＝
＝．
∵，
∴原式＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式求值，熟练掌握分式的基本性质进行分式的运算是解决本题的关键．
22．【分析】根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【解答】解：在y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
在y＝4x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴C点坐标为（0，﹣4），
联立方程组，
解得：，
∴P点坐标为（2，4），
设Q点坐标为（x，0），
∵点Q在x轴上，
∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线，
∴，
解得：x＝4，
∴Q点坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点评】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质，理解一次函数的图象性质，掌握平行四边形对角线互相平分，利用数形结合思想解题是关键．
23．【分析】先解不等式，求出解集，进行比对，列出关于a，b的方程，求出a、b的值．然
后解分式方程，根据解为正数和方程最简公分母不等于零，可以确定m的取值范围．【解答】解：不等式组，
解得，
即2b+3＜x＜，
∵﹣1＜x＜1，
∴2b+3＝﹣1，＝1，
解得：a＝1，b＝﹣2．
∴分式方程为：，
去分母得：2﹣y+1﹣2y＝m，
解得：y＝，
∵解为正数，
∴＞0，且1﹣≠0．
∴m＜3，．
故答案为m＜3，且．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，解题时注意分式方程的最简公分母不等于零．
24．【分析】分别求出S△ABC＝2，△ACD的面积为，则可确定D点的轨迹是与AC平行的直线，且与AC的距离为1的直线l，作B点关于l的对称点B'，连接B'C，交l于点
D，此时BD+CD的值最小，由DE∥AC，可得＝，设B'D＝3x，CD＝x，DF＝y，过点C作CF⊥ED交于点F，在Rt△CDF中，x2＝y2+1，在Rt△B'ED中，9x2＝9+，即可求出B'C＝4x＝2．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝2，
＝×2×2＝2，
∴S
△ABC
∵四边形ABCD的面积为3，
∴△ACD的面积为，
△ACD以AC为底时，D点到AC的距离是1，
∴D点的轨迹是与AC平行的直线，且与AC的距离为1的直线l，
作B点关于l的对称点B'，连接B'C，交l于点D，
∴BD＝B'D，
∴BD+CD＝B'D+CD＝B'C，此时BD+CD的值最小，
∵AE＝1，BA＝2，
∴BE＝B'E＝3，
∵DE∥AC，
∴＝，
∴＝，
设B'D＝3x，CD＝x，DF＝y，
过点C作CF⊥ED交于点F，
在Rt△B'ED中，9x2＝9+，
在Rt△CDF中，CF＝1，x2＝y2+1，
解得x＝，y＝，
∴B'C＝4x＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，能够根据三角形面积确定D的运动轨迹是解题的关键．
25．【分析】如图，过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于Q，过点O作OT⊥QE交QE的延长线于T，设AC＝CD＝x，DE＝y．构建方程组求解即可．
【解答】解：如图，过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于Q，过点O作OT⊥QE交QE
的延长线于T，设AC＝CD＝x，DE＝y．
∵∠T＝∠Q＝∠A＝90°，
∴四边形AOTQ是矩形，
∴∠AOT＝90°，
∵∠COE＝45°，
∴∠AOC+∠EOT＝45°，∠COD+∠EOD＝45°，
∵∠AOC＝∠DOC，
∴∠EOD＝∠EOT，
∵OD⊥EC，
∴∠T＝∠ODE＝90°，
在△OET和△OED中，
，
∴△OET≌△OED（AAS），
∴OA＝OT，ET＝DE＝y，
∴四边形AOTQ是正方形，
∴AO＝TQ＝AQ＝8，
在Rt△CEQ中则有（x+y）2＝（8﹣y）2+（8﹣x）2①，
＝S△ODE，
∵S
△BCE
∴（6﹣x）•（8﹣y）＝××y×8②，
由①②，x2+y2＝33，
∴DE2+AC2＝33，
故答案为：33．
【点评】本题考查翻折变换，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题．
五、解答题
26．【分析】（1）设家长的报价为x元，学生的报价为（x﹣20）元，由题意：一名学生带一名家长，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元，列出分式方程，解之即可；
（2）由题意：甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按七折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m（m为整数）折收费，他们选择了总费用较少乙机构，列出一元一次不等式，解不等式，进而求解．
【解答】解：（1）设家长的报价为x元，学生的报价为（x﹣20）元，
由题意得：＝，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是分式方程的解，
则x﹣20＝480，
答：家长的报价为500元，学生的报价为480元；
（2）由题意得：（50000+48000）×＜50000+48000×0.7，
解得：m＜8，
∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．【分析】（1）想办法证明DF⊥BC，CF＝BF，可得结论．
（2）结论不变，证明ME垂直平分线段BC即可．
（3）分三种情形：如图3﹣1中，当BE＝BF时，设∠EBC＝∠ECB＝x，如图3﹣2中，当FE＝FB时，设∠EBC＝∠ECB＝∠FEB＝m，如图3﹣3中，当BE＝BF时，设∠EBC ＝∠ECB＝n，分别构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠ACB＝90°，
AD＝DB，
∴CD＝AD＝BD，
∵∠A＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠EDB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CDF＝∠BDF，
∵DC＝DB，
∴DF⊥BC，CF＝FB，
∴EC＝EB．
（2）解：结论仍然成立．
理由：连接CM，EM．
∵AM＝BM，∠ACB＝90°，
∴CM＝AM＝BM，
∵∠A＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴∠AMC＝∠ACM＝60°，CA＝CM，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ACM＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠MCE，
在△ACD和△MCE中，
，
∴△ACD≌△MCE（SAS），
∴∠A＝∠CME＝60°，
∴∠CME＝∠BME＝60°，
∵MC＝MB，
∴ME垂直平分线段BC，
∴EC＝EB．
（3）解：如图3﹣1中，当BE＝BF时，设∠EBC＝∠ECB＝x，则∠BFE＝60°+x＝（180°﹣x），
∴x＝20°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝30°+20°＝50°．
如图3﹣2中，当FE＝FB时，设∠EBC＝∠ECB＝∠FEB＝m，则∠EFB＝60°+m＝180°﹣2m，
∴m＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝30°+40°＝70°．
如图3﹣3中，当BE＝BF时，设∠EBC＝∠ECB＝n，
则有∠BEF＝n＝60°﹣（180°﹣2n），
∴n＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝30°+80°＝110°，
如图3﹣4中，当FE＝FB时，设∠ABE＝z，则∠EBF＝
∠FEB＝∠ECB＝30°﹣z
∵∠CFE＝∠FEB+∠FBE＝60°﹣2z，∠CEF＝120°，
∴30°﹣z+60°﹣2z＝60°，
解得z＝10°，
综上所述，∠ABE的值为10°或50°或70°或110°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平
分线的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
28．【分析】（1）由△OBC的面积＝×OB×|x C|＝5×（﹣x C）＝10，求出x C＝﹣4，由OC2＝（﹣4）2+t2＝OB2＝52＝25，进而求解；
（2）①当∠DCB为45°时，证明△HMR≌△CNH（AAS），得到点R的坐标为（﹣7，﹣6），进而求解；②当∠CD′A＝45°时，过点D′作D′K⊥x轴于点K，当x＝﹣4时，y＝﹣x+5＝9，即可求解；
（3）分点O是中点、点P是中点、点Q是中点三种情况，利用一次函数的性质，求出点P的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，
故点A、B的坐标分别为（5，0）、（0，5），则OB＝5，
则△OBC的面积＝×OB×|x C|＝5×（﹣x C）＝10，
解得x C＝﹣4，
则设点C的坐标为（﹣4，t），
则OC2＝（﹣4）2+t2＝OB2＝52＝25，
解得t＝3，
故点C的坐标为（﹣4，3），
设BC的表达式为y＝kx+b，则，
解得，
故直线BC的表达式为y＝x+5；
（2）令y＝x+5＝0，解得x＝﹣10，
设直线BC交x轴于点H（﹣10，0），
在△BCD中有一个内角是45°，这个角不可能是∠DBC，
①当∠DCB为45°时，
过点H作RH⊥CD于点R，过点H作y轴的平行线NM，交过点R与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N，
∵∠HCR＝∠DCB＝45°，
∴△CHR为等腰直角三角形，则∠CHR＝90°，CH＝CR，
∵∠RHM+∠CHN＝90°，∠CHN+∠HCN＝90°，
∴∠RHM＝∠HCN，
∵∠HMR＝∠CNH＝90°，CH＝RH，
∴△HMR≌△CNH（AAS），
∴HM＝CN＝﹣4+10＝6，MR＝NH＝3，
故点R的坐标为（﹣7，﹣6），
由点C、R坐标，同理可得，直线CR的表达式为y＝3x+15，
联立y＝3x+15和y＝﹣x+5并解得，
故点D的坐标为（﹣，）；
②当∠CD′A＝45°时，
过点D′作D′K⊥x轴于点K，
当x＝﹣4时，y＝﹣x+5＝9，
即点D′（﹣4，9）；
综上，点D的坐标为（﹣，）或（﹣4，9）；
（3）设点P的坐标为（m，﹣m+5），
则OP的表达式为y＝x，
联立上式与y＝x+5并解得x＝，
即点Q的横坐标为，
①当点O是中点时，
则点P、Q的横坐标互为相反数，
即＝﹣m，
解得m＝0（舍去）或，
故点P的坐标为（，﹣），
②当点P是中点时，
同理可得：2m＝，
解得m＝0（舍去）或，
故点P的坐标为（，）；
③当点Q是中点时，
同理可得，点P（﹣，）；
当点P的坐标为（，）时，如图2，
设直线CP交y轴于点K，
由点C、P的坐标得：直线CP的表达式为y＝+，
故OK＝，
则△OCP的面积＝×OK×（x P﹣x C）＝××（+4）＝；
当点P的坐标为（，﹣）时，
同理可得：△OCP的面积＝；
当点P的坐标为（﹣，）时，
同理可得：△OCP的面积＝，
综上，△OCP的面积为或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。