平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进

(17)
·590 ·
鞍 山 科 技 大 学 学 报 第 29 卷
1 2
CD
=
ν∞ x ν=
1 2
α1
dF dη
η= 0
=
1 - 01215β 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
基本边界条件式 。
把式 (14) 带入边界层积分方程中 ,确定边界层中的特征量和 CD ,并确定近似速度剖面对应的β值 。
对应式 (14) 的 α1 ,α2 和ddηF η= 0 的值分别为
∫ ∫ α2 =
1
(1 - F) dη =
0
1
1-
0
βsin
πη 2
+
(1
-
β) (2η -
2η3
+ η4 )
01005
420
55β2
这是边界层厚度δ的一阶常微分方程 ,根据边界条件 δ| x = 0 = 0 ,积分上式可得
δ
ν∞ νx
=
2 (2 - 0143) 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
(15)
由式 (3) 和式 (15) 以及 α1
,α2
和
dF dη
(8)
文献[ 1 ] 给出的公式
F (η) = 11635η - 01905η3 + 0127η4
(9)
文献[ 2 ] 给出的公式
F (η) = 11674 9η - 01769 3η3 + 01061 3η6 + 01033η8
(10)
满足边界层条件 F (0) = 0 , F (1) = 1 , F′(1) = 0 , F″(0) = 0 。
边界层微分方程的精确解 ,数学上的求解相当复杂 ,在工程计算中 ,往往寻求解边界层微分方程的 近似方法 ,以期迅速地得到满足工程需求的计算结果 。
在应用边界层积分方程近似求解零攻角平板绕流问题时 ,为了得到与微分方程精确解更接近的摩 擦阻力计算公式 ,关键在于选择近似速度分布 。经典的方法是选择一个最佳的速度分布函数 ,使之满足 基本的边界条件 。通常 ,边界层理论中描述无因次速度分布与无因次坐标关系的近似函数 ,有一次多项 式 、二次多项式 、三次多项式 、四次多项式或正弦函数等 。与微分方程的精确解相比 ,由这些近似速度分 布所得出摩擦阻力公式的误差较大[4] 。在已有的资料中 ,彭一川[1] 和袁镒吾[2] 提出的方法得出的公式 , 其计算结果精度高于原有的方法 。
应用式 (2) - (10) ,可以计算出不同速度分布下的α1 ,α2 , F′(0) ,δ,δ3 ,δ3 3 和 CD 的值 。计算结果
见表 1 ,以便于和布拉修斯精确相比较 。
表 1 布拉修斯精确解与积分关系式近似解的比较
Tab. 1 Comparison between Blasius exact solution and polynomials
2150
三次式
39 280
3 8
115
F(η) 解法
四次式 三角式
37
4 -π
315
2π
3
π- 2
10
π
π
2
2
文献[ 1 ] 文献[ 2 ] 01135 01129 6 01355 01342 4 11635 11674 9
本文 01134 2 01358 2 11642 7
41641
51836
41795
114
01400 0 01624 3 0. 587 5 01697 6 01606 1
116
01457 1 01696 6 01657 6 01766 8 01676 1
118
01514 3 01761 0 01722 5 01826 5 01740 1
210
(19)
把 β = 01831 代入 α1 ,α2 和 F′= 0 的表达式以及式 (15) - (18) ,可得
α1 = 01134 201 α2 = 01352 8 F′= 11642 7
δ
ν∞ νx
=
41947 8 δ3
ν∞ νx
= α2δ
ν∞ νx
=
11745 6
δ3 3
ν∞ νx
(14)
ห้องสมุดไป่ตู้
显然 ,式 (4) 和式 (8) 分别为式 (14) 在 β = 1 和 β = 0 时的特例 。式 (14) 中的β是待定常数 ,适当选择 β
值 ,可使由上述速度分布所得摩擦阻力系数公式与布拉修斯精确解的公式完全一致。因此 ,把该 β值所
对应的速度剖面成为近似速度分布的改进式。容易验证 ,式 (14) 所确定的速度分布满足边界层的四个
本文根据通用的正弦函数式和四次多项式的线性组合 ,推出平板边界层的近似速度分布多项式 。 利用已有数值解的某些结果来确定速度函数式中的待定系数 ,计算简单 ,工作量小 ,而所得结果的精度 令人满意 。
本文方法与彭一川[1] 和袁镒吾[2] 的方法理论基础基本上一致 ,均是模仿权残法的思想 。
1 边界层积分方程
表 2 速度分布 Tab. 2 Velocity distribution
ξ
η
νxΠν∞ = F(η)
精确解 正弦函数 四次式 本文式
0
0
0
0
0
0
012
01057 1 01093 9 01089 5 01113 8 01093 6
014
01114 3 01187 6 01178 5 01225 8 01186 4
= α1δ
ν∞ νx
=
01664
1 2
CD
ν∞ x ν
= 01332
为比较方便 ,把改进的速度分布多项式 (19) 及其计算结果列入表 1 中 。由表 1 可见 ,与精确解相比 ,改
进的速度分布多项式 (19) 对应的δ3 3 和 CD 计算没有误差 ,对应的其它几项的计算误差也很小 。可见 ,
- (13) 的基础上 ,来构造新的速度分布函数是合理的 。本文采用正弦函数式 (4) 和四次多项式 (8) 的线
性组合 ,来构成改进的速度分布多项式 。
2 近似速度分布多项式的改进
由式 (4) 和式 (8) 可构成下述新的多项式
F (η)
= βsin
πη 2
+
(1
-
β)
(2η -
2η3
+ η4 )
α1
α2
F′(0)
δ
ν∞ νx
δ3
ν∞ νx
δ3 3
ν∞ νx
1 2
CD
ν∞ x ν
δ3 δ3 3 = H
精确解
510 11721 01664 01332 2159
一次式 1 6 1 2 1
31464
11732
01577
01289
3100
二次式 2 15 1 3 2
51477
11825
01730
01365
dη = 013 + 01063 564 5β
dF dη η= 0
=
(πΠ2 -
2)β + 2
=
2-
0143β
将 α1 和ddηF η= 0 的值带入式 (2) 中 ,推出
dF
δ dδ dx
ν
=
x
ν∞
dη η= 0 α1
即
δ dδ dx
ν
=
x
ν∞
01117
46
+
2 01024
- 0143β 649 3β -
第 29 卷 第 6 期 2006 年 12 月
鞍山科技大学学报 Journal of Anshan U niversity of Science and Technology
Vol. 29 No. 6 Dec. ,2006
平板层流边界层近似速度分布 计算方法的改进
王婷婷 ,马庆元 ,郭继平
(辽宁科技大学 资源与土木工程学院 ,辽宁 鞍山 114051)
η= 0
的值
,可得
δ3
ν∞ νx
= α2δ
ν∞ νx
=
(013 + 01063 564 5β)
4 - 0186β 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
(16)
δ3 3
ν∞ νx
= α1δ
ν∞ νx
=
4 - 0186β 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
41923
51084 41947 8
11740
11751
11741
11747 11740 8 11745 6
01646
01685
01655
01664 01658 9 01664
01323
01343
01328
01332 01329 4 01332
2168
2155
2166
2163
2164
21629
顺流放置平板边界层流动 ,沿整个平板压强与势流流速均不变 。应用动量积分方程求解此问题时 ,
无因次速度分布函数 F (η) 。通常 , F (η) 选为如下几种形式
正弦函数
F (η)
= sin
πη 2
(4)
一次多项式
F (η) =η
(5)
二次多项式
F (η) = 2η - η2
(6)
三次多项式
F (η) = 115η - 015η3
(7)
四次多项式
F (η) = 2η - 2η3 + η4
其公式为
dδ3 3 dx
τ = ρν2∞
求解边界层的近似方法首先假定一个适当的边界层内部的流速分布表达式 ,这个流速分布要满足边界
层的边界条件 ,即 y = 0 ,ν = 0 ; y = δ,ν = ν∞ 。但并不要求在边界层内逐点的流速与实际流速相符
合。
设νΠν∞ = F (η) ,而 η = yΠδ ,边界条件相应写为
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鞍 山 科 技 大 学 学 报 第 29 卷
∫ ∫ 1
1
式中 : a1 = F (1 - F) dη, a2 = (1 - F) dη ,则有
0
0
δ3 = α2δ δ3 3 = α1δ
1 2
CD
=
ν x
dF
ν∞δdη
η=
0
(3)
由式 (2) 和式 (3) 可见 ,为了确定边界层中的特征量 δ,δ3 ,δ3 3 和 CD ,关键在于合理地给出边界层中的
对于二维不可压缩定常流动 ,且忽略质量力 ,零攻角纵向绕流平板的边界层积分方程可写成
dδ3 3 dx
=
CD 2
引入无因次速度和无因次坐标
ν
x
ν∞
=
F (η)
η
=
y
δ
(1)
可将边界层积分方程改写成
α1
dδ dx
=
ν x
dF
ν∞δdη
η= 0
(2)
收稿日期 :2006210214 。 作者简介 :王婷婷 (1981 - ) ,女 ,辽宁本溪人 。
第 6 期 王婷婷 ,等 :平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进
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η = 0 F (η) = 0
η = 1 F (η) = 1
(11)
假定一个速度分布后 ,可分别计算 α1 ,α2 , F′(0) ,δ,δ3 ,δ3 3 和 CD 等值 。F (η) 除满足边界层的边
界条件以外 ,还可以进一步要求在边界层外缘处边界层内的流速分布与势流流速的分布相衔接 ,即
y = δ F′(η) = 0
(12)
对于平板 , d pΠd x = 0 ,所以在壁面处
y = 0 F″(η) = 0
(13)
式 (11) - (13) 这四个边界层条件分别反映了物面上无滑动条件 。因此 ,在满足基本边界层条件式 (11)
016
01171 4 01280 5 01265 9 01333 6 01277 3
018
01228 6 01371 9 01351 2 01436 0 01365 6
110
01285 7 01460 6 01433 7 01531 4 01450 2
112
01342 9 01545 2 01512 7 01619 0 01530 7
(18)
计算表明 ,当 β =
01831
时
,由式 (16)
(17)
(18)
可得
1 2
CD
=
ν∞ x ν
= 01332 ,它与布拉修斯精确解相
同 。把 β = 01831 带入式 (14) 中 ,可得改进的速度分布多项式为
F (η)
= 01831sin
πη 2
+ 01619 (2η -
2η3
+ η4 )
在平板边界层近似计算中 ,与其它的速度分布关系式 (4) - (10) 相比 ,式 (19) 对应的速度分布多项式更
理想 。
表 2 把速度分布函数式 (19) 与正弦函数式 (4) 、四次多项式 (8) 以及布拉修斯精确解进行了比较 。
图 1 绘出了布拉修斯精确速度分布以及正弦函数式 、四次式和本文多项式速度分布 。由图 1 可见 ,速度 分布与精确速度分布拟合最理想 (为使图清晰 ,省略了其他几种速度分布曲线) 。
摘 要 :根据模仿权残法的思想 ,用积分方程近似求解零攻角平板边界层层流问题 。在满足四个基本边界
层条件的基础上 ,推出改进的平板边界层的近似速度分布多项式 。其对应的摩擦阻力计算公式与精确解完全 相同 。同时 ,该多项式对应的曲线与精确解的速度分布曲线拟合很好 。
关键词 :平板 ;层流 ;边界层 ;速度分布 中图分类号 :O35714 文献标识码 :A 文章编号 :167224410 (2006) 0620587205