高中数学选修2-3知识与题型章章清

高中数学选修2-3知识与题型章章清
第一章 计数原理
一、知识要点
1．排列：()()()()!
!121m n n m n n n n A m n -=+---= ，规定1!0= 2．组合：()().1!!!!0=≥-==n m n m
n C m n m n m n m A C 规定
3．组合数的性质：.;11-+-+==m n
m n m n m n n m n C C C C C 4．排列组合应用歌：计数有原理，排组方针记。

分类用加法，分步用乘法。

有序就排列，无序组合解。

分析有两思，元素和位置。

先选后排数，整体再局部。

特殊优先法，正难则反法。

相邻捆绑法，相离插空法。

同元隔板法，两类选位法，异元分组法，多类分步法。

重元重幂法，不重选排法。

分类主元法，多排单排法。

定序除序法，或用逐插法。

简单穷举法，复杂转化法。

5．二项式定理：()().110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n
∈+++++=+-- 6．通项公式：r r n r n r b a C T -+=1，第r+1项二项式系数为r n C ，二项展开式系数为该项化简后字母前的
系数。

7．二项展开式系数的性质：n n n n n C C C 210=+++ ，15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C
二、重点题型
1．计数应用题：
特优法，元素分析法，位置分析法——例1、由0,1,2,3,4,5可组成 个没有重复数字五位奇数。

（288）
排除法，先选后排法——例2．从4名男生和3名女生中选3人分别从事不同工作，若这3人中至少有1
名女生，则选派方案共有 种。

（186）
相邻捆绑法，相离插空法——例3、7人排成一排，甲、乙相邻、且不与丙相邻有 种排法（960） 隔板法——例4、有10个三好生名额，分给7个班，每班至少一个,有 种分配方案。

（84）
选位法——例5、一个楼梯共12阶,每步走1级或2级,一共有 走法。

（233） 分组法，先选后排法——例6、5名志愿者分到3所学校支教，每所学校至少去一名，则不同的分派方
法有 种。

（150）
重幂法——例7、某8层大楼一楼电梯上8名乘客,他们到各自的一层下电梯,共有 种下法。

（8
7） 主元法——例8、在一次演唱会上共10名演员,其中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员。

现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有 选派方法。

（199）
单排法——例9、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排, 逐插法，除序法——例10、7人排一列, 穷举法——例11、有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,子内,要求每个盒子放一个球，有 种投法。

（20）
转化法——例12、某市街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径共有 B
种。

(3735C =)
2．排列、组合计算题——①公式法；②性质法。

3．求二项展开式某项的系数——①通项法；②配凑法；③分类法。

4．求二项展开式的系数和（或奇数项、偶数项系数）——①通项法；②赋值法
5．整除问题——①二项式法；②因数分解法。

三、思维训练
1．某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 。

2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目
插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 。

3．10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有510C 排法。

4．把6名实习生分配到7个车间实习,共有6
7种不同的分法。

5．6颗颜色不同的钻石，可穿成 种钻石圈。

（120）
6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，
并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 。

7．有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有2454C A 不同的装法。

8．一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且
正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种。

9．用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位
数有
222222A A A 个。

10．100x y z w +++=，这个方程的自然数解的组数有3
103C 。

11．将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有544213842/C C C A 分法。

12．马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,
不能关掉两端的2盏,则满足条件的关灯方法有35C 种。

13．给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种。

14．30030能被 31 个不同的偶数整除。

15．正方体的8个顶点可连成 174 对异面直线。

16．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成297个没有重复的比324105大的数。

17．用0,1,2,3,4,5六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
18．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传
球方式有 10 。

19．四名学生争夺三项比赛中的冠军，获得冠军的所有可能的种数为 （ B ）种。

Ａ、12 Ｂ、64 Ｃ、81 Ｄ、24
20．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，一共可以组成 种币值。

（24-1）
21. 012345C C C +++…1821C +的值等于 。

22．92)21(x
x -展开式中9x 的系数是 . 23．n 1x x ⎫⎪⎭的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是( ) A .第8项 B .第9项 C .第8项或第9项 D .第11项或第12项
24．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）
A ．－40
B ．10
C ．40
D ．45
25．若52345012345(1)
x a a x a x a x a x a x -=+++++,则012345a a a a a a -+-+-= 26．求证：32n +2
-8n -9(n ∈N *)能被64整除. 第二章 随机变量及其分布
一、知识要点
1．随机变量、离散型随机变量、概率分布列、两点分布（0—1分布）、超几何分布（()n N
k n M N k M C C C k X P --==） 2．条件概率：()()()
A P A
B P A B P =|，()()()A
C P A B P A C B P |||+= （B 、C 是互斥事件）。

3．相互独立事件： ()()()B P A P AB P =，()()B P A B P =|
4．二项分布：独立重复试验、二项分布()p n B X ,~，()()n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,1 =-==-。

5．离散型随机变量的均值（数学期望）：n n p x p x p x EX +++= 2211，(),b aEX b aX E +=+，()p n B X ,~中np EX =
6．离散型随机变量的方差：()∑=-=n
i i i p EX x DX 1
2，()p n B X ,~中()p np DX -=1；标准差：DX X =σ。

7．正态分布：X~N （μ,σ2），正态曲线22()2(),(,)2x f x x μσπσ--=∈-∞+∞，
P(a<Х≤b)≈dx x f b a )(⎰ 8．正态曲线的性质：位置、对称、最值、单调、形状（由σ确定）。

标准正态分布N （0，1）
9．“3σ”原则：P(μ-σ<X ≤μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ-3σ<X ≤μ+3σ
二、重点题型
1．求离散型随机变量的概率——①列举法；②排列组合法；③模型法。

2．求条件概率——①公式法；②图解法。

3．概率分布列——一变量，二概率，三列表。

4．求离散型随机变量的数学期望——①公式法；②性质法；③模型法。

5．求离散型随机变量的方差——①公式法；②性质法；③模型法。

6．求正态分布在某区间的概率——①对称法；②验证法。

7．求正态分布的均值或方差——①解析法；②图象法。

三、思维训练
1．袋中有4个红球3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为
随机变量ξ,则P(ξ≤6)= .
2.掷红、蓝两个骰子,事件A=“红骰子出现4点”,事件B=“蓝骰子出现偶数点数”,则P(A|B)为( )
A .12
B .536
C .112
D .16
3．若随机变量ξ～B(n,0.6),且E(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为 ( )
A 4
B .2×5
C 4
D 4
4．已知ξ～N(0,82)且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于( )
A B . C D
5．牧场的10头牛，因误食含疯牛病毒的饲料被感染，，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)= 。

6．某车间在两天内,每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品,而质检部
每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.
(1)求两天全部通过检查的概率;
(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天、2天分别奖
300元、900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元?
第三章 统计案例
1．回归分析：①判断相关关系（画散点图或求相关系数），②求回归方程，③残差分析。

2．线性回归直线：a bx y +=，样本点的中心()y x ,， ，x b y a -=。

3．残差分析：残差，残差图，残差平方和，总偏差平方和，相关指数R 2（R 2越大模型的拟合效果越好）。

2．独立性检验：分类变量；列联表；三维柱形图、二维条形图、等高条形图；()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
4．独立性检验的一般步骤：①设分类变量无关系，②列联表，③计算随机变量K 2，④查表得无关概率。

二、重点题型
1．判断相关关系——①直觉法；②散点图；③相关系数。

2．线性回归直线——①公式法；②样本点中心；③验证法。

3．残差分析——①残差图；②相关指数。

4．独立性检验——①列联表；②柱（条）形图；③卡方法。

三、思维训练
1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关
系数r 与残差平方和m 如下表: 则 同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性。

2．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其
数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程a bx y
+=ˆ中的b ≈6℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为_______件。

3．面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企
业市场部对该企业9月份的产品销量(单位:千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析,结果如下:
甲 乙 丙 丁 r
m 106 115 124 103
∑∑∑∑====--=---=n i i n
i i i n i i i n i i x n x y x n y x x x
y y x x b 1221121)()
)((
x =72,y =71,62i i 1x =∑=79,6i 1=∑x i y i =1 481. ˆb =271481671277962-⨯⨯⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭
≈-1.818 2, ˆa =71-(-1.818 2)×72
≈77.36, 则销量每增加1 000箱,单位成本下降 元.
4.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时,采用独立性检验法抽查了 3 000人,计算发现k=6.023,则根据这一数据查阅下表,市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是
A .90%
B .95%
C .97.5%
D .99.5%
5.:
为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到k=250(1320107)23272030
⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.84. .。