概率论分赌注全概率公式巴格达窃贼问题PPT
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现在回过头再来思考“巴格达窃贼问题”:如果窃贼每次选择未选择过 的门的可能性总相等，问窃贼为获得自由而奔走的平均时间?
数学模型的建立与求解
这样 ,同样令随机变量X为窃贼每次对3个门的选择,Y为窃贼到 达地面需走的时间,则: E(YIX=1)=3 E(YIX=2)=5+1/2x3+1/2x(7+3) E(YIX=3)=7+1/2x3+1/2x(5+3）
由全期望公式：
∵E(YIX=1) =yi ,E(YIX=i) =yi+E(Y),(i=2…n)
代入式(1)有：
E(Y)=1/n【y1+y2+E(Y)+···+yn+E(Y)】 =1/n【y1+y2+···+yn+(n-1)E(Y)】
从而得E(Y) =y1+y2+···+yn
在巴格达窃贼问题中取n=3,y1=3,y2=5,y3=7,
P( A) P(Bi )P( A | Bi ) i 1
上式即为全概率公式（formula of total probability)
回顾
全概率公式
全概率公式 全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi)
(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。 思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然 后相加从而求得事件A的概率。 而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到 样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件 AB1,AB2,...,ABn分解成了n部分， 即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)， 由加法公式得
解：设....， P(B1|A)= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923
全期望公式
全期望公式
全期望公式
全期望公式
[1]王秀丽.全期望公式在求解某些复杂概率问题方面的应用[J].山东师范大学学报（自然科学 版）,2011,26(1):121-123. DOI:10.3969/j.issn.1001-4748.2011.01.035.
E(Y) =y1/2+sum/2
[2]胡康秀,王兵贤.巴格达窃贼问题模型改进及应用研究[J].江西科学,2014,32(06):854-855+918.
完！
30 emoticon.
30 social.
课堂展示·第二组
小
组
成
员
全期望公式 02
01 分赌注问题 03 巴格达窃贼问题
01
分赌注问题
产生背景
17世纪，法国贵族德．梅勒在掷骰 子赌博中，有急事必须中途停止赌博。 双方各出的赌资要靠对胜负的预测进行 分配，但不知用什么样的比例分配才算 合理。
德．梅勒写信向当时法国的最具声 望的数学家帕斯卡请教，帕斯卡又和当 时的另一位数学家费尔马长期通信。
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)
回顾
全概率公式
例
某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产， 各台机床次品率分别为5%，4%，2%， 它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%， 将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
ey11nyy11y22eyynney11nyy11y22ynnn11ey从而得eyy11y22ynn在巴格达窃贼问题中取n33yy1133yy2255yy3377则ex33557715在窃贼每次选择nn个门的可能性一样的前提下窃贼为获得自由而奔走的平均时间为15hh事实上在实际生活中假如窃贼在选择第ii个门并尝试失败后在后面选择的过程中是不会再选择此门所以窃贼每次选择nn个门的可能性总相等这一假设虽然简单但并不科学
于是，一个新的数学分支一率论产 生了，这就是历史上著名的“分赌注问 题”。
问题的提出 与解决
又有人提出了“分赌注”问 题：甲、乙两人各有赌金32枚 金币，两人每局获胜概率都为 1/2，约定先赢三局者可获得全 部赌金，赌博终止时，甲赢两局 输一局，此时，如何分配赌注？
若继续赌下去，最多再进行2局可知结果 甲获胜的概率为
数 学 模 型 的 建 立 与 求 解
模型结果分析
当n=3,y1=3,y2=5, y3=7时，代入得： E(Y) =y1+(y2+y3)/2=3+(5+7)/2=9 跟之前的结果一致。 从推导的结果可以看 原模型中，窃贼为获得自由而奔走的平均时间为： E(Y) =y1+y2+···+yn =sum, 而在改进的模型中，窃贼为获得自由而奔走的平均时间为：
代入
得：
EY E(Y | X xi )P{X xi}
xi
=E（Y|X=1）p|X=1|+E（Y|X=2）p|X=2|+E（Y|X=3）p|X=3|
=1/3[3+5+1/2x3+1/2x(7+3)+7+1/2x3+1/2x(5+3)]
=9
从结果可以看出9<15，可见将条件“窃贼每次选择个门的可能性总相等”，改 为“窃贼每次选择未选择过的门的可能性总相等”大大改善了结果
P(Bi | A)
P(Bi )P( A | Bi )
n
P(Bj)P(A | Bj)
j 1
上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi 常被视为导致试
验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可
能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产
生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概
率。
回顾
贝叶斯公式 Bayes formula
例： 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。 由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以 概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收 报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。 求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。
模型的推广
从解决的过程中可以看出, 如果门的个数比较多,问题变得更为复杂， 上述方法不能很好的将问题的一般解找出。 下面通过建立数学模型,寻求规律, 找出问题的一般解。
推广问题
设窃贼关在有n个门的地牢里，其中第一扇门花x小时便回到地面，
第i扇门花xi小时后又回到地牢(i=1,2,...,n ), 如果窃贼每次选择未选择过的门的可能性总相等，问窃贼为获得自由而奔 走的平均时间?
解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345
回顾
贝叶斯公式 Bayes formula
与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概
率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条
件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω
的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有
第i扇门花xi小时后又回到地牢(i=1,2,...,n ), 如果窃贼每次选择n个门的可能性一样，
求窃贼为获得自由而奔走的平均时间?
数学模型的建立与求解
设随机变量X为窃贼每次对n个门的选择， Y为窃贼到达地面需走的时间， 由于窃贼每次选择n个门的可能性一样，
1
所以随机变量X取到Xi(i=1,2···)的概率均为 n ,
02
全期望公式
回顾
条件概率
条件概率 设A,B是两个事件，且P(A)>0, 则在事件A发生的条件下， 事件B发生的条件概率（conditional probability)为：
P(B | A) P( AB) P( A)
回顾
乘法定理
乘法定理
1.由条件概率公式得： 设P(A)>0,P(B)>0,则
全概率公式
全概率公式 如果事件组B1，B2，.... 满足
①B1，B2....两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅，i≠j ， i,j=1，2，....，且
P(Bi)>0,i=1,2,....;
②B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分
设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
P(AB) P(B | A)P(A) P(A | B)P(B)
上式即为乘法公式；
乘法公式的推广：
对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：
P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)
回顾
则E(X) =3+5+7=15,
∴在“窃贼每次选择n个门的可能性一样”的前提下，窃贼为获得自由而奔走的平均时间为15 h
模型的改进
事实上，在实际生活中,假如窃贼在选择第i个门并尝试失败后，在后 面选择的过程中是不会再选择此门,所以“窃贼每次选择n个门的可能性 总相等”这一假设虽然简单，但并不科学。如果将该假设改为“窃贼每次 选择未选择过的门的可能性总相等" ,则问题的解决要更为复杂,但更具 实际意义。
则甲可获金币为64×3/4＝48
问题推广
发展
后来，帕斯卡和费马的通信引 起了荷兰数学家惠更斯（ C.Huygens，1629-1695）的兴 趣，后者在1657年发表的《论赌博 中的计算》是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的 第一批概率论概念（如数学期望） 与定理（如概率加法、乘法定理） 标志着概率论的诞生。
03
巴格达窃贼问题
问题的提出
一窃贼被关在3个门的地牢中。 其中第一扇门通向自由，出这个门后3个小时便回到地面; 第二扇门通向一个地道,在此地道中走5个小时后将返回地牢; 第三扇门通向一个更长的地道,沿这个地道走7个小时后也返回地牢。 问窃贼为获得自由而奔走的平均时间?
问题的分析
首先将“巴格达窃贼问题”一般化。 设窃贼关在有n个门的地牢里， 其中第一扇门花x小时便回到地面，
数学模型的建立与求解
这样 ,同样令随机变量X为窃贼每次对3个门的选择,Y为窃贼到 达地面需走的时间,则: E(YIX=1)=3 E(YIX=2)=5+1/2x3+1/2x(7+3) E(YIX=3)=7+1/2x3+1/2x(5+3）
由全期望公式：
∵E(YIX=1) =yi ,E(YIX=i) =yi+E(Y),(i=2…n)
代入式(1)有：
E(Y)=1/n【y1+y2+E(Y)+···+yn+E(Y)】 =1/n【y1+y2+···+yn+(n-1)E(Y)】
从而得E(Y) =y1+y2+···+yn
在巴格达窃贼问题中取n=3,y1=3,y2=5,y3=7,
P( A) P(Bi )P( A | Bi ) i 1
上式即为全概率公式（formula of total probability)
回顾
全概率公式
全概率公式 全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi)
(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。 思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然 后相加从而求得事件A的概率。 而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到 样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件 AB1,AB2,...,ABn分解成了n部分， 即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)， 由加法公式得
解：设....， P(B1|A)= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923
全期望公式
全期望公式
全期望公式
全期望公式
[1]王秀丽.全期望公式在求解某些复杂概率问题方面的应用[J].山东师范大学学报（自然科学 版）,2011,26(1):121-123. DOI:10.3969/j.issn.1001-4748.2011.01.035.
E(Y) =y1/2+sum/2
[2]胡康秀,王兵贤.巴格达窃贼问题模型改进及应用研究[J].江西科学,2014,32(06):854-855+918.
完！
30 emoticon.
30 social.
课堂展示·第二组
小
组
成
员
全期望公式 02
01 分赌注问题 03 巴格达窃贼问题
01
分赌注问题
产生背景
17世纪，法国贵族德．梅勒在掷骰 子赌博中，有急事必须中途停止赌博。 双方各出的赌资要靠对胜负的预测进行 分配，但不知用什么样的比例分配才算 合理。
德．梅勒写信向当时法国的最具声 望的数学家帕斯卡请教，帕斯卡又和当 时的另一位数学家费尔马长期通信。
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)
回顾
全概率公式
例
某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产， 各台机床次品率分别为5%，4%，2%， 它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%， 将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
ey11nyy11y22eyynney11nyy11y22ynnn11ey从而得eyy11y22ynn在巴格达窃贼问题中取n33yy1133yy2255yy3377则ex33557715在窃贼每次选择nn个门的可能性一样的前提下窃贼为获得自由而奔走的平均时间为15hh事实上在实际生活中假如窃贼在选择第ii个门并尝试失败后在后面选择的过程中是不会再选择此门所以窃贼每次选择nn个门的可能性总相等这一假设虽然简单但并不科学
于是，一个新的数学分支一率论产 生了，这就是历史上著名的“分赌注问 题”。
问题的提出 与解决
又有人提出了“分赌注”问 题：甲、乙两人各有赌金32枚 金币，两人每局获胜概率都为 1/2，约定先赢三局者可获得全 部赌金，赌博终止时，甲赢两局 输一局，此时，如何分配赌注？
若继续赌下去，最多再进行2局可知结果 甲获胜的概率为
数 学 模 型 的 建 立 与 求 解
模型结果分析
当n=3,y1=3,y2=5, y3=7时，代入得： E(Y) =y1+(y2+y3)/2=3+(5+7)/2=9 跟之前的结果一致。 从推导的结果可以看 原模型中，窃贼为获得自由而奔走的平均时间为： E(Y) =y1+y2+···+yn =sum, 而在改进的模型中，窃贼为获得自由而奔走的平均时间为：
代入
得：
EY E(Y | X xi )P{X xi}
xi
=E（Y|X=1）p|X=1|+E（Y|X=2）p|X=2|+E（Y|X=3）p|X=3|
=1/3[3+5+1/2x3+1/2x(7+3)+7+1/2x3+1/2x(5+3)]
=9
从结果可以看出9<15，可见将条件“窃贼每次选择个门的可能性总相等”，改 为“窃贼每次选择未选择过的门的可能性总相等”大大改善了结果
P(Bi | A)
P(Bi )P( A | Bi )
n
P(Bj)P(A | Bj)
j 1
上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi 常被视为导致试
验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可
能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产
生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概
率。
回顾
贝叶斯公式 Bayes formula
例： 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。 由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以 概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收 报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。 求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。
模型的推广
从解决的过程中可以看出, 如果门的个数比较多,问题变得更为复杂， 上述方法不能很好的将问题的一般解找出。 下面通过建立数学模型,寻求规律, 找出问题的一般解。
推广问题
设窃贼关在有n个门的地牢里，其中第一扇门花x小时便回到地面，
第i扇门花xi小时后又回到地牢(i=1,2,...,n ), 如果窃贼每次选择未选择过的门的可能性总相等，问窃贼为获得自由而奔 走的平均时间?
解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345
回顾
贝叶斯公式 Bayes formula
与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概
率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条
件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω
的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有
第i扇门花xi小时后又回到地牢(i=1,2,...,n ), 如果窃贼每次选择n个门的可能性一样，
求窃贼为获得自由而奔走的平均时间?
数学模型的建立与求解
设随机变量X为窃贼每次对n个门的选择， Y为窃贼到达地面需走的时间， 由于窃贼每次选择n个门的可能性一样，
1
所以随机变量X取到Xi(i=1,2···)的概率均为 n ,
02
全期望公式
回顾
条件概率
条件概率 设A,B是两个事件，且P(A)>0, 则在事件A发生的条件下， 事件B发生的条件概率（conditional probability)为：
P(B | A) P( AB) P( A)
回顾
乘法定理
乘法定理
1.由条件概率公式得： 设P(A)>0,P(B)>0,则
全概率公式
全概率公式 如果事件组B1，B2，.... 满足
①B1，B2....两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅，i≠j ， i,j=1，2，....，且
P(Bi)>0,i=1,2,....;
②B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分
设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
P(AB) P(B | A)P(A) P(A | B)P(B)
上式即为乘法公式；
乘法公式的推广：
对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：
P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)
回顾
则E(X) =3+5+7=15,
∴在“窃贼每次选择n个门的可能性一样”的前提下，窃贼为获得自由而奔走的平均时间为15 h
模型的改进
事实上，在实际生活中,假如窃贼在选择第i个门并尝试失败后，在后 面选择的过程中是不会再选择此门,所以“窃贼每次选择n个门的可能性 总相等”这一假设虽然简单，但并不科学。如果将该假设改为“窃贼每次 选择未选择过的门的可能性总相等" ,则问题的解决要更为复杂,但更具 实际意义。
则甲可获金币为64×3/4＝48
问题推广
发展
后来，帕斯卡和费马的通信引 起了荷兰数学家惠更斯（ C.Huygens，1629-1695）的兴 趣，后者在1657年发表的《论赌博 中的计算》是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的 第一批概率论概念（如数学期望） 与定理（如概率加法、乘法定理） 标志着概率论的诞生。
03
巴格达窃贼问题
问题的提出
一窃贼被关在3个门的地牢中。 其中第一扇门通向自由，出这个门后3个小时便回到地面; 第二扇门通向一个地道,在此地道中走5个小时后将返回地牢; 第三扇门通向一个更长的地道,沿这个地道走7个小时后也返回地牢。 问窃贼为获得自由而奔走的平均时间?
问题的分析
首先将“巴格达窃贼问题”一般化。 设窃贼关在有n个门的地牢里， 其中第一扇门花x小时便回到地面，