系统稳定性及其判定(罗斯阵列)

6-6 系统的稳定性及其判定
所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。

本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。

一、系统稳定性的意义
若系统对有界激励f(t)产生的零状态响应也是有界的，即当时，若有(式中和均为有界的正实常数)，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。

这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。

，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。

可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h(t)绝对可积，即
＜∞（6-36)
证明设激励f(t)为有界，即
式中，为有界的正实常数。

又因有
故有
(6 -37)
由此式看出，若满足
＜∞
则一定有证毕
即也一定有界。

式中为有界的正实常数。

由式(6-36)还可看出，系统具有稳定性的必要条件是
(6-38)
式(6-36)和式(6-38)都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。

若系统为因果系统，则式(6-36)和式(6-38)可写为
＜∞( 6-39)
(6-40)
二、系统稳定性的判定
判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s域中进行。

在时域中就是按式(6-36)和式(6-38)判断，已如上所述。

下面研究如何从s域中判断。

1.H(s)的极点［即D(s)=0的根］分布来判定
若系统函数H(s)的所有极点均位于s平面的左半开平面，则系统是稳定的。

若H(s)在jω轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。

若H(s)的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在jω轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。

2.
用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s)的极点值。

但当H(s)分母多项式D(s)的幂次较高时，此时要具体求得H(s)的极点就困难了。

所以必须寻求另外的方法。

其实，在判定系统的稳定性时，并不要求知道H(s)极点的具体数值，而是只需要知道H(s)极点的分布区域就可以了。

利用罗斯准则即可解决此问题。

罗斯判定准则的内容如下：
多项式D(s)的各项系数均为大于零的实常数；多项式中无缺项(即s的幂从n到0，一项也不缺)。

这是系统为稳定的必要条件。

若多项式D(s)各项的系数均为正实常数，则对于二阶系统肯定是稳定的；但若系统的阶数n＞2时，系统是否稳定，还须排出如下的罗斯阵列。

设
则罗斯阵列的排列规则如下(共有n+1行)：
阵列中第1、第2行各元素的意义不言而喻，第3行及以后各行的元素按以下各式计算：
如法炮制地依次排列下去，共有(n+1)行，最后一行中将只留有一个不等于零的数字。

若所排出的数字阵列中第一列的(n+1)个数字全部是正号，则H(s)的极点即全部位于s 平面的左半开平面，系统就是稳定的；若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同，则符号改变的次数即等于在s平面右半开平面上出现的H(s)极点的个数，因而系统就是不稳定的。

在排列罗斯阵列时，有时会出现如下的两种特殊情况：
(1) 阵列的第一列中出现数字为零的元素。

此时可用一个无穷小量ε(认为ε是正或负均可)来代替该零元素，这不影响所得结论的正确性。

(2) 阵列的某一行元素全部为零。

当D(s)=0的根中出现有共轭虚根时，就会出现此种情况。

此时可利用前一行的数字构成一个辅助的s多项式P(s)，然后将P(s)对s 求导一次，再用该导数的系数组成新的一行，来代替全为零元素的行即可；而辅助多项式P(s)=0的根就是H(s)极点的一部分。

例6-22已知H(s)的分母D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。

试判断系统的稳定性。

解：因D(s)中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
可见阵列中的第一列数字符号无变化，故该H(s)所描述的系统是稳定的，即H(s)的极点全部位于s平面的左半开平面上。

例6-23已知。

试判断系统的稳定性。

解：因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
可见阵列中的第一列数字符号有两次变化，即从+2变为-2，又从-2变为+21。

故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上，故该系统是不稳定的。

例6-24已知。

试判断系统是否稳定。

解：因D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10中的系数均为大于零的实常数且无缺项，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
由于第3行的第一个元素为0，从而使第4行的第一个元素成为(-∞)，使阵列无法继续排列下去。

对于此种情况，可用一个任意小的正数来代替第3行的第一个元素0，然后照上述方法继续排列下去。

在计算过程中可忽略含有,的项。

最后将发现，阵列第一列数字符号改变的次数将与ε无关。

按此种处理方法，继续完成上面的阵列：
可见阵列中第一列数字的符号有两次变化，即从变为,又从变为6。

故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上，故系统是不稳定的。

例6-25已知。

试判断系统的稳定性。

解：因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
可见第4行全为零元素。

处理此种情况的方法之一是：以前一行的元素值构建一个s的多项式P(s)，即
将式(6-41)对s求一阶导数，即
现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行(行)的元素，然后再按原方法继续排列下去。

即
可见阵列中的第一列数字符号没有变化，故H(s)在s平面的右半开平面上无极点，因而系统肯定不是不稳定的。

但到底是稳定的还是临界稳定的，则还须进行下面的分析工作。

令
解之得两个纯虚数的极点：。

这说明系统是临界稳定的。

实际上，若将D(s)分解因式，即为
可见H(s)共有4个极点：,位于轴上；，位于s 平面的左半开平面。

故该系统是临界稳定的。

例6-26 图6-38所示系统。

试分析反馈系数K对系统稳定性的影响。

图6-38
解：
解之得
欲使此系统稳定的必要条件是中的各项系数均为大于零的实常数，故应有K＞-1。

但此条件并不是充分条件，还应进一步排出罗斯阵列如下：
可见，欲使该系统稳定，则必须有10K＞0,即K＞0。

若取K=0，则阵列中第三行的元素即全为0，此时系统即变为临界稳定(等幅振荡)，其振荡频率可由辅助方程
求得为,即振荡角频率为=rad／s。