课时作业28：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算

3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算
A 组 基础巩固练
一、选择题
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →
，则λ等于( )
A ．23
B ．13
C ．－13
D ．－23
3．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1
D ．±1
4．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝3OA →－2OB →－OC → B ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＝14OB →－OA →＋12
OC →
5．已知在长方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →
＝( ) A ．AA 1→＋12AB →＋12AD →
B ．12AA 1→＋12AB →＋12
AD →
C ．12AA 1→＋16AB →＋16A
D →
D ．13AA 1→＋16AB →＋16
AD →
二、填空题
6．在四面体O ­ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________．(用a ，b ，c 表示)
7．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →
确
定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________．
8．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →
，则x ＋y ＋z ＝________． 三、解答题
9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．
10．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →
共面．
B 组 素养提升练
1．给出下列命题：
①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →
共线，则AB ∥CD ；
④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
2．如图是一平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，E 为BC 延长线上一点，BC →＝2CE →，则D 1E →
＝( )
A ．A
B →＋AD →＋AA 1→ B ．AB →＋12AD →－AA 1→
C ．AB →＋A
D →－AA 1→
D ．AB →＋13
AD →－AA 1→
3．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →
＋mOB →＋nOC →
＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．
4．如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG →＝λAM →与OG →＝12OA →＋14OB →
＋
14
OC →
同时成立，则实数λ的值为_________________________．
5．如图所示，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝1
3
BB 1，
DF ＝2
3
DD 1．
(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；
(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→
，求x ＋y ＋z 的值．
参考答案
A 组 基础巩固练
一、选择题 1．【答案】B
【解析】因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B ．
2．【答案】A
【解析】∵CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →
，∴λ＝23．
3．【答案】D
【解析】若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝λ，
λk ＝1，∴k ＝±1． 4．【答案】C
【解析】∵MA →＋MB →＋MC →
＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →， ∴M 与A ，B ，C 必共面． 5．【答案】D
【解析】如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，
A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16A
B →＋16AD →
，故选D ．
二、填空题
6．【答案】12a ＋14b ＋1
4c
【解析】OE →＝OA →＋AE →
＝a ＋12AD →
＝a ＋12
(OD →－OA →)
＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c ． 7．【答案】2
15
【解析】根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →
＋zOC →
成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215．
8．【答案】7
6
【解析】如图所示，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →
．
又∵AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，
∴xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1，2y ＝1，3z ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝12
，z ＝－13，
∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝7
6
．
三、解答题
9．解：如图所示，
(1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →)
＝PQ →－12P A →－12PC →，
∴x ＝y ＝－1
2．
(2)∵P A →＋PC →＝2PO →，
∴P A →＝2PO →－PC →． 又∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →．
从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →
) ＝2PO →－2PQ →＋PD →． ∴x ＝2，y ＝－2．
10．证明：∵A 1B →＝AB →－AA 1→
， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，
AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，
∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23
(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →
共面．
B 组 素养提升练
1．【答案】C
【解析】显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →
共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C ． 2．【答案】B
【解析】取BC 的中点F ，连接A 1F ，则A 1D 1綊FE ，所以四边形A 1D 1EF 是平行四边形，所以A 1F 綊D 1E ，所以A 1F →＝D 1E →．又A 1F →＝A 1A →＋AB →＋BF →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →，所以D 1E →＝AB
→＋12
AD →－AA 1→
，故选B ．
3．【答案】0
【解析】由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →
＝－m λOB →－n λOC →
由A ，B ，C 三点共线知－m λ－n
λ＝1，则λ＋m ＋n ＝0．
4．【答案】1
2
【解析】OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋λAM →＝OA →＋λ2(AB →＋AC →)＝OA →＋λ2(OB →－OA →＋OC →－OA →
)＝(1－
λ)OA →＋λ2OB →＋λ2OC →
，所以1－λ＝12，λ2＝14，解得λ＝12
5． (1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→
＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝()AB →＋BE →＋()
AD →＋DF
→＝AE →＋AF →，所以A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→
＝－AB →＋AD →＋13AA 1→
，
所以x ＝－1，y ＝1，z ＝1
3，
所以x ＋y ＋z ＝1
3．。