别了，分形之父

别了，分形之⽗
曼德博（中）出席2008年搞笑诺贝尔奖颁奖仪式。

科学艺术家制作的“门格尔海绵”。

科赫曲线
塞宾斯基三⾓
⼏个著名的分形图形，⾃上⽽下依次是：科赫曲线、塞宾斯基三⾓、塞宾斯基地毯（图）。

10⽉15⽇，被称为“分形之⽗”的曼德博（Benoit Mandelbrot）因胰腺癌在美国马萨诸塞州⼀所临终关怀医院中去世，享年85岁。

消息传出后，悼念他的不光是科研⼈员，还有很多⽂化艺术界的⼈⼠。

曼德博以卓越的⼯作同时揭⽰了数学和⼤⾃然的美，⽽这美就美在“分形”。

1 怪题英国的海岸线有多长？
1967年，曼德博提出了⼀个有趣的问题“英国的海岸线有多长？”这个问题看起来很简单，但实际上却很难回答。

以1千⽶为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1千⽶的迂回曲折都忽略掉了，若以1⽶为单位，则能测出被忽略掉的迂回曲折。

如果测量单位进⼀步变⼩，那么测得的长度将愈来愈⼤。

这些愈来愈⼤的长度将趋近于⼀个确定值。

答案似乎解决了，但曼德博发现，当测量单位变⼩时，所得的长度是⽆限增⼤的。

因此，他认为海岸线的长度是不确定的，或者说在⼀定意义上海岸线是⽆限长的。

原因很简单，海岸线是不规则和不光滑的，每块⼩⽯头的边缘都是⼀个微缩的海岸线，这些“⼩海岸线”⾥⼜有很多更⼩的“⽯头”……
1975年，曼德博发表论⽂《分形、形态、机遇和维度》，第⼀次提出“分形”这个概念。

“分形”（fractal）这个词来源于拉丁语，意思是“破碎的”。

⼀个分形就是“⼀个粗糙或者碎⽚状的⼏何形状，它的每部分都是（⾄少⼤体）整体的缩⼩复制品”。

这个特性被称为“⾃相似”。

2 起源有些曲线就是怪
对于分形的研究起源于魏尔施特拉斯、康托、豪斯多夫等⼈的研究。

他们发现有些曲线是连续变化的，但不可以求导数，即它在⼀个点上的变化率。

如果线上有⼀个尖刺，它尖端的变化率就是不能得出的，也就是“不可导”。

在很长⼀段时间⾥，“求导数”是描述曲线的基本⽅法，但有些曲折线，虽不可导，但⼜有规律的连续变化。

于是，数学家发明了各种⽅法来描述这些曲线，主要的⽅式就是反复迭代。

1872年，魏尔施特拉斯描述了连续却不可导的曲线；1904年，因为对魏尔施特拉斯过于抽象的描述不满意，科赫（Helge von Koch）⽤⼏何⽅法做出了最简单的“分形”———科赫曲线。

后来，⼜有⼏个数学家描述了各种“分形”，⽐如“塞宾斯基三⾓”、“塞宾斯基地毯”、“门格尔海绵”等等，但当时“分形”⼀词还没有出现。

法国巴黎⾼师信息学研究⽣⽅⽂杰说，在曼德博之前已经有⼈发现了⼀些“分形”，不过当时⼈们普遍认为这个只是⼀些零星的病态集合，⼜或者是计算误差导致。

曼德博的贡献就在于他正视了这个现象，并且对它进⾏了开拓性的研究和宣传。

1975年，曼德博总结说，“分形”⼀般具有以下特征：它在任何⼤⼩的局部都具有完整清晰的结构；它的形状太不规则，以⾄于⽤欧⼏⾥德⼏何学⽆法描述；它是⾃相似的（⾄少是近似的或随机的）；它可以⽤简单的迭代法进⾏描述；它的豪斯多夫维数都⼤于它的拓扑维数。

3 维数有零有整为哪般？
啥叫“维数”呢？这个纯粹由⼈⼯定义的概念要理解起来还颇费功夫。

我们知道，在欧⽒⼏何中，点是零维的，直线是⼀维的，正⽅形是⼆维的，正⽅体是三维
的。

我们⼀般⼈认识的维数也就到三维，还有更多的维数吗？爱因斯坦把时间算作⼀维。

当然，这只是⼀种定义⽅法，爱因斯坦也不认为时间和其他⼏维空间是⼀回事。

还有物理学家说三维空间外还有更⾼的维度，⽐如霍⾦就说世界存在着“⼗⼀维空间”。

引⼊⾼于三维的空间的概念是为了抹平微观世界物理规律的⼀些“错误”，谁也说不清那些“超三维空间”是什么样的。

⽆论是霍⾦还是爱因斯坦，所定义的维数都是整数。

但是数学家豪斯多夫却提出了⾮整数的维数概念。

这个“维数”是在拓扑学的概念基础上定义的。

传统的拓扑维度概念认为，有长度没⾯积的线就是⼀维的，有⾯积没体积的⾯就是⼆维的，有体积的物体是三维的。

但是有些形状很奇怪，⽐如科赫曲线，它由⼀系列，⽆限多个⾃相似的折线组成，曲线本⾝将是⽆限长的，虽然是⼀条线，但因为在平⾯上不断衍⽣，⼜有点像“占有⾯积”。

说它是⼀维的吧，找不到任何⼀条直线段可以量它；说它是⼆维的吧，⼜没法找到合适的⽅块量它。

为了描述这么⼀种奇怪的情况，豪斯多夫把它定义为“处在1维和2维之间”。

利⽤豪斯多夫定义的计算⽅法，科赫曲线的维数约为1.2618。

从⼀般的感性理解来说，这么⼀条“粗糙”的线的维数就是要⽐“光滑”的线维数多⼀点。

4 ⾃然世界⽆处不分形
好了，我们看看豪斯多夫维数和分形有什么密切关系。

⼤家已经知道分形是“⾃相似图形”，但每⼀⼩段都和整体相似的图形并不⼀定是分形，⽐如直线和螺旋线都符合这个条件，但它们不符合“不可导”和“豪斯多夫维数多于拓扑维数”的条件———感性地说，就是这些形状“不够粗糙”。

分形就是脑袋上长出⼩脑袋，⼩脑袋上⼜长出⼩⼩脑袋，以⾄⽆穷，由于长出了⽆数个⽑刺⼀样的⼩脑袋，所以分形“摸”上去⼀定是很粗糙的。

曼德博曾说，柏拉图称⼈类的感知包
括“轻重、⼤⼩、冷热、颜⾊、⾳调和粗糙度”，除了粗糙度之外，对其他各种感知的研究都曾经掀开物理学的新篇章，⽽分形恰恰补上了这⼀缺环。

曼德博利⽤电脑制图为⼿段，制作出⼀系列⾮常漂亮的分形图案，其中包括著名的的“曼德博集合”。

1982年，曼德博在《⾃然中的分形⼏何学》⼀⽂中更新和扩展了他的理论。

这部论⽂把分形带⼊了专业和通俗的数学领域，也让那些轻蔑地把分形斥为“程序员⼿艺活⼉”的数学家们闭了嘴。

⾃然界有很多“⾃相似”的东西，⽐如说海岸线是⽆数块⼩⽯头组成的，仔细看每块⼩⽯头，它的边缘⼜像海岸线；闪电的每个⼩分叉都像⼤闪电的缩⼩版，河流、⾎管和叶脉也是如此；把花椰菜的⼀簇⼩花蕾掰下来，看看和整个的花椰菜差不多……
开始的时候，分形学和⾃然的联系受到很多数学物理学家的怀疑，他们认为这只是巧合⽽已。

但随着研究的深⼊，科学家发现了两者更深的联系，⽐如说树⽊就是按照类似“数学迭代”的⽅式⽣长的，同样能够激发地震的⼭体裂纹也符合类似的规律。

分形学逐渐变成了热门领域。

正如曼德博所说：“云不是球体，⼭不是锥体，海岸线不是圆圈，树⽪不是光滑的，连闪电都不⾛直线。

”⼤⾃然“⽆处不分形”。