安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高二上学期12月月考理科数学试题

马鞍山市第二中学2020-2021学年度
第一学期高二年级12月月考
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共12题，每题5分，共60分）
1. 设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 A
“若1x >且1y >则2x y +>”是真命题，其逆命题是假命题，故p 是q 的充分不必要条件,故选A.
2. 已知命题:p 对任意x ∈R ，总有0x ≥；
:1q x =是方程20x +=的根
则下列命题为真命题的是( ) A .
p q ∧⌝ B. p q ⌝∧
C. p q ⌝∧⌝
D. p q ∧
A
由绝对值的意义可知命题p 为真命题；由于
，所以命题q 为假命题；因此为假命题，
为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A ． 3. 动点M 在圆2225x y +=上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是().
A.
22
412525
+=x y B. 22
412525+
=x y C.
22
412525-=x y D. 22
412525
-
=x y B
设出M （x 0，y 0），P （x ，y ），D （x 0，0），由中点坐标公式把M 的坐标用P 的坐标表示，代入圆的方程得答案．
解：设线段MD 中点为P ()x y ， 设M （x 0，y 0），D （x 0，0）， ∵P 是MD 的中点，
∴00
2x x y y =⎧⎨=⎩，
又M 在圆2225x y +=上，
∴x 02
+y 02
＝25，即x 2
+4y 2
＝25， 22
412525
x y +=．
∴线段MD 的中点P 的轨迹方程是： 22
412525
x y +=．故选B ．
本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．
4. 双曲线22
1259
x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A. 22或2
B. 7
C. 22
D. 2
A
设双曲线22
1259
x y -
=的左右焦点分别为12,F F ，利用双曲线的定义12||||210PF PF a -==，即可求得答案．
设双曲线22
1259
x y -
=的左右焦点分别为12,F F ，则 5,3,34a b c === 设P 为双曲线上一点，不妨令112PF =（12534a c >+=， ∴点P 可能在左支，也可能在右支， 由12||||210PF PF a -==，得21210PF -=， 所以222PF =或2．
所以点P 到另一个焦点的距离是22或2． 故选：A ．
本题考查双曲线的定义，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题．
5. 已知椭圆C ：22
16439
x y +=的左、
右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若16PF =，则12PF F ∠的余弦值为（ ） A. 310
B.
710
C.
25 D. 35
A
首先根据椭圆的定义求出2PF ，12F F 的值，再利用余弦定理计算可得. 解：
22
16439x y +=，16PF = 21216PF PF a +==
210
PF ∴=，而1210F F ==， 故2
2
2
1122
12112
361001003
cos 2261010
PF F F PF PF F PF F F +-+-∠=
=
=⋅⨯⨯，故选：A ．
本题考查椭圆的定义及余弦定理的应用，属于基础题.
6. 已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )
A. 22
143
x y +=
B. 22143y x +=
C. 2211615
x y += D. 22
11615
y x +=
A
由题得c=1,再根据△MF 2N 的周长＝4a ＝8得a ＝2，进而求出b 的值得解.
∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1，又根据椭圆的定义，△MF 2N 的周长＝4a ＝8，
得a ＝2，进而得b ，所以椭圆方程为22
143x y +
=. 故答案为A
本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7. 若直线2
2
44mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194
x y +=的交点个
数为（ ） A. 2个 B. 至多一个 C. 1个 D. 0个
A
直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，故
2222
202m n m n >∴<+<+
点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22m n +=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆
内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194
x y +=的交点个数为2个
8. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为
9
4
，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A. 512
π
B.
3
π C.
4
π D. 6
π
B
根据三棱柱111ABC A B C -的体积公式，求得3OP =，结合线面角的定义，即可求解.
如图所示，底面是边长为3的正三角形，可得133
S 33sin 6024
ABC =⨯⨯⨯︒=△，
设O 点是ABC 的中心，所以111339
44
ABC A B C ABC V S OP OP -=⋅=
⋅=△，解得3OP =， 又由32
313
OA =⨯
⨯=， 直角OAP △中，可得3
tan 3OP OAP OA ∠===， 又02
OAP π
<∠<
，所以3
OAP π
∠=
.故选：B.
9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上下顶点分别为,A B ，右顶点
为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若,,,O F P A 四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. 21
2
- B.
31
2
- C.
51
- D.
52
2
- C
由,,,O F P A 四点共圆，可得AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，列等式即可求解.
如图，()0,A b ，()0,B b -，(),0C a ，(),0F c ， 因为,,,O F P A 四点共圆，2
AOC π
∠=,
所以2
APF π
∠=
，所以AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，
()00100
b b a
c ---⋅=---，整理可得2b ac =， 所以22a c ac -=，210e e +-=，解得15
e -±=
因为01e <<，所以51
e -=. 故选：C
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.
10. 已知函数()log (|1|)a f x x a =--（0a >且1a ≠），则“()f x 在[3,)+∞上是单调函数”是“12a <<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
条件 B
很明显函数1y x a =--和函数1y x =-在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增. 函数()f x 有意义，则：10x a -->恒成立，即：()min 1312a x <-=-=. 结合复合函数的单调性可得当01a <<时，函数()f x 在定义域内单调递减； 当12a <<时，函数()f x 在定义域内单调递增，
即若()f x 在[)3,+∞上是单调函数，则01a <<或12a <<， “()f x 在[)3,+∞上是单调函数”是“12a <<”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.
点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．
11. 已知椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上
有一个动点P ，P 不同于A 、B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则
PB
QF
k k 的取值范围是（ ） A. 33044⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
， B. ()3004⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭
，
， C. ()()101-∞-，
， D. ()()001-∞⋃，
， D
椭圆焦点在x 轴上，由P 在圆224x y +=，则PA PB ⊥，有11
,PB PB PA QF QF PA
k k k k k k =-
=-⋅
，设(2cos )Q θθ，求出22
3(1cos )
4cos 2cos 2
QF PA
k k θθθ-⋅=+-，令cos (1,1)t θ=∈-，224223(1)PB QF k t t k t +-=--，分离常数，求解得出结论.
椭圆C ：22
143x y +
=的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -， 右焦点(1,0)F ，点P 圆224x y +=上且不同于,A B ，
11,1,,PB PB PA PB PA QF QF PA
k PA PB k k k k k k k ∴⊥⋅=-∴=-
=-⋅，
设(2cos )Q θθ，
22
3(1cos )
2cos 22cos 14cos 2cos 2
QF PA
k k θθθθθθθ-⋅=⋅=+-+- 令cos (1,1)t θ=∈-，
222242222(1)1421
3(1)31331PB QF k t t t t k t t t +--++=-=⋅=+⋅--- 1111,210,
12
t t t -<<-<-<<--， (,1)PB
QF
k k ∈-∞且不等于0.故选:D. 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
12. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
2a =，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直
线与C 相交于,A B 两点，若3AF FB =，则k =（ ） A
B. 1
C. 2
D. A
【分析】根据条件可得椭圆为22
14
x y +=，为简化计算，令1t k =，直线x ty =+与椭圆联立，设()
()1122,,A B x y x y ，，根据条件可得
1
2
y y ，再由2
1212
()y
y y y +化简结合韦达定理求解即可.
2
c c
a ==
，解得c =222431b a c =-=-=， 所以椭圆2
2:14
x C y +=，
过右焦点)F 且斜率为(0)k k >的直线为：(y k x =，即1
x y k
=
， 为简化计算，令()1
0t k k
=
>，则x ty =+，
由22
44
x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立可得：(
)22410t y ++-=， ① 设()()1122,,A B x y x y ，，由3AF FB =可得123y y =-，
由①可得：121222
1
,44
y y y y t t --+=
=++， 因为
212121221()1423233y y y y y y y y +=++=-+-=-
，所以2
2
413
4
t ⎝⎭=--+， 解得2
1
2
t =
，所以22k =，由0k >
，可得k =故选：A . 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，解题的关键点是通过韦达定理解决方程，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13. 已知椭圆221369
x y +=和点(4,2)P ，直线l 经过点P 且与椭圆交于A
B 、两点．当P 点恰好为线段AB 的中点时，直线l 的方程为__________
280x y +-=
【分析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程 解：由题意得
164
1369
+<，知点(4,2)P 在椭圆内， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则
22
111369
x y +=， ① 22
221369
x y +=， ② 因为(4,2)P 恰好为线段AB 的中点， 所以12128,4x x y y +=+=， 由①②作差得
12121212()()()()
0369
x x x x y y y y +-+-+=，
所以12
12
12
AB y y k x x -=
=--， 所以直线方程为
1
242
()y x -=--，即280x y +-=， 故答案为：280x y +-=
关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长和直线方程的求法，解题的关键是利用点差法求出直线的斜率，考查运算能力，属于中档题
14. 设正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是_______. 23
如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点1D 到平面1A BD 的距离. 如图建立空间直角坐标系，
则1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，(0,0,0)D ，2,20B （，）， ∴11(2,0,0)=D A ，1(2,0,2)DA =，(2,2,0)DB =， 设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，
1220
220
n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨
⋅=+=⎩，令1x =，则(1,1,1)n =--， ∴点1D 到平面1A BD 的距离11||23
||33
D A n d n ⋅=
==
. 23
. 本题主要考查点到平面的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光
辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.
51-
ABC ，6AC =，sin 2sin C A =,即
2c
a
=．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4,进而求得ABC 的面积，根据内切圆的性质，计算可得半径，进而得出结论．
∵sin 2sin C A =，∴
sin 2sin AB C
CB A
==为非零常数，故点B 的轨迹是圆. 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()30A -,，()3,0C ，设(),B x y ， ∵2AB CB =()
()
2
2
2232
3x y x y ++=-+
221090x y x +-+=，整理得()2
2516x y -+=，
因此，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4.此时222425BC =+=，
45AB =
设内切圆的半径为r ，则()
11
644525622
r ⨯⨯=⨯，解得
5151r ==+. 51
本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 已知椭圆()22
2222210,x y a b c a b c a b
+=>>>=+的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心
b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且||PT 的最小值不小于3
() 2
a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是_________．
3,52⎡⎢⎣⎭
【分析】由于)PT b c =>，而2PF 的最小值a c -，可得PT
的最小值为
，
()2
a c ≥
-，化简可得2a c b +≥，两边平方后可得25230e e +-≥，再由b c >可得221e <，从而可求出椭圆的离心率e 的取值范围
解：因为)PT b c =>，而2PF 的最小值a c -， 所以PT
的
，
)a c -， 所以22()4()a c b c -≥-，所以2()a c b c -≥-， 所以2a c b +≥，
所以()2
224()a c a c +≥-， 所以225302c ac a +-≥，
所以25230e e +-≥，解得1e ≤-（舍去），或3
5
e ≥，
因为b c >，所以22b c >，所以222a c c ->， 所以221e <，解得0e <<
， 所以352
e ≤<，
故答案为： 3,52⎡⎢⎣⎭
三、解答题
17. 已知命题22
:114x y p m m +=--表示双曲线，命题2
2
:124x y q m m
+=--表示焦点在x 轴上的椭
圆；
（1）若p 且q 为真命题，则p 是q 的什么条件？ （2）若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．
（1）必要而不充分条件；（2）1m 或4m ≥.
（1）根据p 为真命题，q 为真命题可得两者对应的集合之间的包含关系，从而可得它们之间的条件关系.
（2）根据p 为假命题，q 为假命题可得实数m 的取值范围. （1）因为p 且q 为真命题，故p 为真命题，q 为真命题.
所以22:114
x y p m m +=--表示双曲线是真命题，
所以()()140m m --<．解得14m <<．
又命题22
:124x y q m m
+=--表示焦点在x 轴的椭圆是真命题，
所以204024m m m m ->⎧⎪
->⎨⎪->-⎩
，解得34m <<．
因为{}34m
m <<│ {}14m m <<∣，所以p 是q 的必要而不充分条件． （2）∵p 或q 假命题，∴p 假且q 假． 当p 假时，由（1）可知，有1m 或4m ≥①， 当q 为假，有 3m ≤或4m ≥②， 由①②解得1m 或4m ≥.
本题考查必要不充分条件的判断以及已知复合命题的真假求参数的范围，前者应利用对应集合的包含关系来判断，后者应根据复合命题的真假得到简单命题的真假，从而求出参数的取值范围.
18. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在y 轴上，长轴长
10，焦距为4；
（2）焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F
，且经过点1,24A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
． （1）2212521y x +=（2）22
143
x y +
= （1）由题意a =5,c =2,结合222a b c =+，即得解；
（2）利用椭圆定义122a AF AF =+，可求解a ,结合c =1,222 a b c =+，可得解. （1）因为长轴长210a =，焦距24c =，
所以5a =，2c =，
设半焦距为()0b b >，因为222a b c =+，
所以b =． 又因为焦点在y 轴上，
所以椭圆的标准方程为22
12521
y x +=上．
（2）因为焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ， 所以该曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且半焦距1c =，
设椭圆的长轴长1224a AF AF =+==， 故2a =，1c =，
设短半轴长为b ，因为222a b c =+，所以b =
所以该椭圆的标准方程为22
143
x y +
=． 本题考查了椭圆的标准方程求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
19. 已知平面上的三点(52)P ，
、1(60)F -， 、2(60)F ， . （1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y x = 的对称点分别为P ' 、1F ' 、2F ' ，求以1F ' 、2F ' 为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.
（1）221459x y += （2）22
12016
x y -=.
试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出
a =，从而可得2229
b a
c =-=，进而可得椭圆的标准方程；（2）点
()52P ， 、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为
()25P '， 、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为
22
22
11
1y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ，由双曲线定义得''
1122a P F P F =-=''
得1a =从而可得22211116b c a =-=，进而可得'
1F 、'2F 为焦点且过点P ' 的双曲线的标
准方程.
试题解析：（1）由题意知，焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为22221x y
a b
+= （0a b >> ）
其半焦距6c =
由椭圆定义得122a PF PF =+
=
∴a =
∴22245369b a c =-=-=
故椭圆的标准方程为22
1459
x y +
= . （2）点()52P ，
、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为()25P '， 、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为 22
2
211
1y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ， 由双曲线定义得''
1122a P F P F =-''
=
=
∴1a =，∴222
111362016b c a =-=-= ，
故所求的双曲线的标准方程为
22
12016
x y -=. 20. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F. （1）详见解析（2）详见解析
试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，
在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE AC ，于是11DE AC ，
又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE//平面11AC F .
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，
又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .
因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.
又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.
因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平
行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.
21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，
90ABC BAD ∠=∠=︒，2AP AD AB ===，BC t =，PAB PAD α∠=∠=.
（1）当32t =PA 上确定一个点E ，使得//PC 平面BDE ，并求出此时AE
EP
的值； （2）当60α=︒时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长． （1）见解析（2）2
(1)当32t =AC ，BD 交于点F ，由平行可以证得1
3
AF AD AC BC ==，结合线面平行的判定定理在棱PA 上确定一个点E
(2)取BC 上一点G 得2BG =DG ，构造四边形ABGD 为正方形，作PO ⊥平面ABCD ，由60α=︒证得等边三角形继而得点O 为正方形ABGD 对角线的交点，建立空间坐标系，求出两个面的法向量，计算出结果 （1）在棱PA 上取点E ，使得1
3
AE EP =， 连接AC ，BD 交于点F ， 因为//AD BC ，所以13AF AD CO BC ==，所以AE AF
EP CO
=， 所以//EF PC ，
因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ；
（2）取BC 上一点G 得2BG =DG ，则ABGD 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连接OA ，OB ，OD ，OG ，
AP AD AB ==，，
所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形， 因此PA PB PD ==，
所以OA OB OD ==，
即点O 为正方形ABGD 对角线的交点， 以O 为坐标原点，
分别以OG ，OB ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz ，
则()0,0,0O ，()0,0,1P ，()1,0,0A -，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()1,0,0G ，
由于棱BC 的长为t ，则22,1,0C ⎫-⎪⎪⎝⎭
， ()1,0,1PA =--，()0,1,1PB =-，22
,1,122PC t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，()0,1,1PD =--，
设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，
则0
x z y z --=⎧⎨
-=⎩，取()1,1,1m =-， 同理平面PCD 的法向量2211n t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
， 由0m n ⋅=，解得22t =， 即BC 的长为22本题考查了确定点的位置使得线面平行，在找点时结合线面平行的判定定理，先确定线线平行，然后证得结果，在第二问中需要构造正方形，建立空间坐标系，运用法向量的知识求解结果，本题较为综合，需要综合运用所学知识求解
22. 已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点
A ，
B ，线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，
求此时l 的斜率，若不能，说明理由． （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+．
试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；
（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9
y x k
=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点
的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果
有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.
试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
∴由2
229y kx b
x y m =+⎧⎨+=⎩得
2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kb
x k +=
=-+，299
M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9
M OM M y k x k
=
=-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(
,)3
m
m ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9
y x k
=-
．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,
y x k x y m =-
+=得，即
将点(
,)3
m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)
3m k b -=，因此2
(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239
k =+2(3)
23(9)
mk k k -⨯
+．解得147k =247k =．
∵0,3i i k k >≠，1i =，2，
∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用 第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点
是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直
线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设
,，代入椭圆方程
，两式相减，化简为
，两边同时除以得
，而
,
,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即
2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.。